Khóa luận tốt nghiệp toán một số kết quả của tích ten xơ

Là kiến thức cơ sở rất quan trọng của Đại số đa tuyến tính, tuynhiên có không nhiều tài liệu, công trình nghiên cứu đầy đủ, chi tiết vềtích ten xơ, do đó để có thể nghiên cứu sâu sắc hơn

Lời cảm ơn

Bài khóa luận được hoàn thành là một thành công rất lớn đối vớibản thân tôi trên con đường tiếp cận với nghiên cứu khoa học Để cóđược kết quả đó, ngoài những nỗ lực luôn cố gắng học hỏi, tìm tòi của

bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn tận tình từ cácthầy cô; sự ủng hộ, động viên từ gia đình và bạn bè

Qua bài khóa luận này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất

đến quý thầy cô trong Ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Bình, cácthầy cô trong khoa Khoa học Tự nhiên nói chung và các thầy cô trong

bộ môn Toán nói riêng đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt bốn

năm học tập và rèn luyện tại trường

Đặc biệt, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.sNguyễn Quốc Tuấn, người đã luôn theo sát hướng dẫn tôi trong suốt

quá trình thực hiện bài khóa luận, thầy đã cho tôi những ý kiến đónggóp quý báu, giúp tôi lĩnh hội được kiến thức chuyên môn và rèn luyệntác phong nghiên cứu khoa học Đồng thời tôi xin được chân thành cảm

ơn thầy giáo Th.s Trần Mạnh Hùng đã góp ý để bài khóa luận đượcđầy đủ, hoàn thiện hơn

Tôi xin được cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng phản biện đã góp

ý, giúp tôi có thể khắc phục những sai sót và hoàn thiện khóa luận.Cuối cùng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc nhất đến gia đình, người

thân và bạn bè đã luôn bên tôi, động viên, khuyến khích tôi trong suốtquá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Không gian véc tơ 7

1.2 Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 11

1.3 Tổng trực tiếp các không gian véc tơ 13

1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp 15

1.5 Bài toán phổ dụng 16

2 Một số kết quả của tích ten xơ 20 2.1 Ánh xạ đa tuyến tính 20

2.2 Tích ten xơ của hai không gian véc tơ 24

2.2.1 Định nghĩa 24

2.2.2 Cách xây dựng tích ten xơ của hai không gian véc

tơ 27

2.2.3 Một số tính chất của tích ten xơ 30

2.2.4 Một số ví dụ về tích ten xơ 41

2.3 Tích ten xơ của ánh xạ, tính khớp 45

2.3.1 Định nghĩa 45

2.3.2 Tính chất 46

2.3.3 Một số ví dụ 48

2.4 Tích ten xơ của không gian con và không gian thương 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mở rộng trực tiếp của Đại số tuyến tính là Đại số đa tuyến tính

mà kiến thức trọng tâm là ten xơ và các vấn đề liên quan đến nó Ten

xơ liên quan mật thiết đến các lĩnh vực khác Ten xơ là một khái niệmquan trọng trong vật lí bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ toán họcngắn gọn cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lí trong nhiều

lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lí thuyết đàn hồi và đặc biệt

là thuyết tương đối rộng Ten xơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các

nhà toán học Tullo Levi - Civita và Gregorio Ricci - Curbasto trongmột nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối Ten xơ cũng chophép thiết lập lên cách phát biểu khác của hình học vi phân nội tại của

một đa tạp trong dạng của ten xơ độ cong Riemann

Một khía cạnh quan trọng của ten xơ là tích ten xơ và tích ten xơcủa hai không gian véc tơ chính là cơ sở để xây dựng nên khái niệm

tích ten xơ của các đối tượng khác

Nhận xét rằng nếu V và W là hai không gian véc tơ thì trên V × Wtồn tại một cấu trúc không gian véc tơ làm cho nó đẳng cấu với V ⊕ W

Tuy nhiên một ánh xạ tuyến tính từ V × W tới U nói chung không làmột ánh xạ tuyến tính từ V ⊕ W tới U và ngược lại, tức là hai tậphợp B(V × W, U ) và L(V ⊕ W, U ) không đẳng cấu với nhau Tích ten

xơ V ⊗ W của hai không gian V và W được xây dựng để thay thế cho

V ⊕ W để hai không gian B(V × W, U ) và L(V ⊕ W, U ) đẳng cấu vớinhau

Là kiến thức cơ sở rất quan trọng của Đại số đa tuyến tính, tuynhiên có không nhiều tài liệu, công trình nghiên cứu đầy đủ, chi tiết vềtích ten xơ, do đó để có thể nghiên cứu sâu sắc hơn các vấn đề của Đại

số đa tuyến tính cũng như cung cấp cho bạn đọc một tài liệu về vấn đềnày, tôi đã chọn "Một số kết quả của tích ten xơ" làm đề tài khóa luậntốt nghiệp

quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề toán học

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tích ten xơ của hai không gian véc tơ và

của một số đối tượng khác

Phạm vi nghiên cứu: Các đối tượng trong Đại số tuyến tính Ngàynay tích ten xơ cũng đã được định nghĩa trực tiếp cho hai mô đun, tuy

nhiên trong phạm vi khóa luận này không đề cập đến

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tàiliệu làm rõ nội dung lí thuyết, trình bày, chứng minh các tính chất theomột hệ thống khoa học, logic và đưa ra các ví dụ làm rõ

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của

bản thân, của bạn học, các anh chị khóa trước để tổng hợp, hệ thốnghóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ, khoa học.

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảng

viên hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thành về mặt nội dungcũng như hình thức của khóa luận

5 Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn

Ten xơ có ứng dụng hữu ích trong các lĩnh vực khác như cơ họcmôi trường liên tục, trong hình học vi phân với các ví dụ quen thuộc làcác dạng bậc hai như ten xơ mê tric và ten xơ độ cong Riemann Đại số

ngoài cũng là một lí thuyết ten xơ mang nhiều đặc tính hình học Cácdạng vi phân là một trong những ứng dụng cơ bản của ten xơ trong

toán học Do đó, hiểu rõ về tích ten xơ sẽ có cơ sở để nghiên cứu sâusắc các ứng dụng của nó và các vấn đề liên quan đến ten xơ

6 Bố cục khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo,nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này là hệ thống một số kiến thức, các kết quả cơ bản

của đại số tuyến tính cần thiết cho các chương sau: không gian véc tơ,không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính, không gian con, không gian

thương, tổng trực tiếp các không gian véc tơ, không gian véc tơ thương,dãy khớp và giới thiệu khái niệm bài toán phổ dụng

Chương 2: Một số kết quả của tích ten xơ

Chương này trình bày một cách hệ thống về cách xây dựng tíchten xơ của hai không gian véc tơ, các ví dụ, tính chất của tích ten xơ,mối liên hệ của tích ten xơ với một số đối tượng khác: tích ten xơ với

ánh xạ, tổng trực tiếp, dãy khớp, với không gian con và không gianthương

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này nhằm mục đích nhắc lại một số kiến thức, kết quả cơbản của đại số tuyến tính cần thiết cho chương 2 của khóa luận

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian véc tơ).Cố định một trường K Mộtkhông gian véc tơ trên K là một tập hợp V cùng với các phép toán cộngvéc tơ và phép nhân vô hướng

thõa mãn các điều kiện sau:

i) (V, +) là một nhóm giao hoán với phần tử trung hòa là 0,

ii) Phép nhân với vô hướng có tính đơn vị:

iii) Phép nhân với vô hướng được thực hiện như các phép toán trong K:

Quy ước: Phép nhân với vô hướng được thực hiện trước phép cộng véc

tơ, cũng như sẽ bỏ dấu ” · ” khi kí hiệu phép nhân với vô hướng

Ví dụ

i) Trong mặt phẳng tọa độ, các véc tơ tự do với phép cộng véc tơ và

nhân véc tơ với số thực lập nên một không gian véc tơ thực

ii) Tập hợp các đa thức K[X] (của một ẩn X, với hệ số trong K) với

phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thông thườnglập nên một không gian véc tơ trên trường K

iii) Tập hợp các ma trận m hàng n cột với các phần tử trong K, kí hiệu

M (m × n; K) cùng với hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận

với vô hướng lập nên một K-không gian véc tơ

iv) Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R là mộtkhông gian véc tơ thực với các phép toán thông thường

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian con) Tập con U khác rỗng trong không

gian véc tơ V được gọi là không gian con của V nếu U là đóng đối vớiphép cộng véc tơ và phép nhân với vô hướng, tức là với mọi u, v ∈ U , λ

∈ K ta có

u + v ∈ U, λu ∈ U.

Nhận xét: Từ định nghĩa, chọn λ = -1, ta có -u ∈ U với mọi u ∈ U

Từ đó (U, +) là nhóm con của (V, +) Vậy U cũng là một không gianvéc tơ (với các phép toán được hạn chế từ V)

Định nghĩa 1.1.3 (Ánh xạ tuyến tính) Cho hai không gian véc tơ V

và W trên trường K Một ánh xạ f: V −→ W được gọi là ánh xạ tuyếntính nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V,

ii) f(λu) = λf(u), với mọi λ ∈ K, u ∈ V

Phép cộng các ánh xạ tuyến tính và phép nhân với vô hướng được địnhnghĩa như sau:

Đây là một không gian con của W

Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ tuyến tính f: V −→ W được gọi là:

i) Đơn cấu nếu Ker (f) = 0;

ii) Toàn cấu nếu Im (f) = W;

iii) Đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính khả nghịch g: W −→ V saocho gf : V −→ V và fg : W −→ W là các ánh xạ đồng nhất

Mệnh đề 1.1.5 Ánh xạ tuyến tính f: V −→ W là

i) Đơn cấu khi và chỉ khi nó là đơn ánh;

ii) Toàn cấu khi và chỉ khi nó là toàn ánh;

iii) Đẳng cấu khi và chỉ khi nó là song ánh (hoặc đồng thời là đơn cấu

và toàn cấu)

Định nghĩa 1.1.6 Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong V là mộttổng dạng

λ1v1 + λ2v2 + + λnvn;λi ∈ K và vi ∈ V

Các véc tơ (vi) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các phần

tử λi ∈ K, i = 1, 2, , n, không đồng thời bằng 0 sao cho

i) B là một cơ sở của V ;

ii) B là tập sinh tối tiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực sự của Bkhông là tập sinh của V );

iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính

Hệ quả 1.1.9 Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãn tính chấtphổ dụng sau: Với mọi không gian véc tơ W , mọi ánh xạ f : B −→ W

có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến tính ϕ : V −→ Wthỏa mãn sơ đồ sau:

một cơ sở Hai cơ sơ bất kì có cùng lực lượng Hơn thế nữa, nếu chomột tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì ta luôn cóthể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của không gian đó

Định nghĩa 1.1.11 Lực lượng của cơ sở trong một không gian véc tơđược gọi là số chiều của không gian véc tơ đó

Kí hiệu: dimK V (hoặc dim V)

Trong phần này ta chỉ xét các không gian véc tơ hữu hạn chiều Giả sử

V và W là hai không gian véc tơ với số chiều tương ứng là n và m Ta

đã biết tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được kí hiệu là

L(V, W ) Với phép cộng các ánh xạ tuyến tính và phép nhân với vôhướng được định nghĩa như ở định nghĩa 1.1.3 thì L(V, W ) có cấu trúcmột không gian véc tơ.

Nếu cố định hai cơ sở (x) = (xi) và (y) = (yj) tương ứng trong V và

W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận Vì f là một ánh xạtuyến tính nên nó được xác định một cách duy nhất bởi ảnh của các

véc tơ xi Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viết v = P vixi, từ đó

với cột thứ i là tọa độ véc tơ f (xi) theo cơ sở (y) Dễ thấy rằng nếu [v]

kí hiệu véc tơ cột mô tả tọa độ của v theo cơ sở (x) thì

[f (v)] = A · [v]

Định nghĩa 1.2.1 Ma trận A thu được ở trên được gọi là ma trận biểu

diễn của ánh xạ f theo hai cơ sở (x) và (y)

Ma trận biểu diễn của ánh xạ hợp thành là tích của ma trận biểu diễncủa từng ánh xạ

Mệnh đề 1.2.2 Chiều của không gian L(V, W ) là tích số chiều của V

và W

Trong trường hợp V = W ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được gọi làmột tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến tính Khi đókhông gian L(V, W ) được kí hiệu là L(V, V ) và thường được viết tắt là

E(V )

Giả sử U1, U2 là các không gian con của V Khi đó tổng U = U1+ U2 làtập hợp các véc tơ có dạng u1 + u2 với ui ∈ Ui Ta thấy rằng đây cũng

là một không gian con của V

Định nghĩa 1.3.1 Giả thiết U1, U2 là các không gian con của mộtkhông gian véc tơ V Tổng U = U1 + U2 được gọi là tổng trực tiếp nếu

mọi véc tơ trong U được biểu diễn một cách duy nhất ở dạng u1 + u2

với ui ∈ Ui Ta nói U là tổng trực tiếp (trong) của U1 và U2, kí hiệu

U = U1 ⊕ U2

Mệnh đề 1.3.2 Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp (trong)

của hai không gian con U1 và U2 là V = U1 + U2 và U1 ∩ U2 = 0

Định nghĩa 1.3.3 Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gian véc tơ

V1 và V2 là một không gian V cùng các ánh xạ tuyến tính:

ji : Vi −→ V , pi : V −→ Vi, i = 1, 2,

thỏa mãn các hệ thức sau:

được thực hiện theo thành phần.

ii) Khi V là tổng trực tiếp (ngoài) của V1 và V2, ta có thể đồng nhất Vivới ảnh của nó trong V qua ji Khi đó V là tổng trực tiếp trong của V1

và V2

Tương tự ta có thể định nghĩa tổng trực tiếp của nhiều không gian véc

tơ, thậm chí vô hạn các không gian véc tơ

Đối với một họ hữu hạn các không gian véc tơ Vi, i = 1, 2, , n, theonhận xét (i) ở trên, ta có thể định nghĩa tổng trực tiếp ngoài của chúngnhư là tập các bộ (v1, v2, , vn) với vi ∈ Vi, với các phép toán được

1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp

Giả sử U ⊂ V là các không gian véc tơ Với mỗi v ∈ V xét tập con códạng

v + U = {v + u | u ∈ U }

của V Một tập như vậy được gọi là một lớp ghép của v theo U Lớpghép của các véc tơ v và v0 theo U hoặc trùng nhau hoặc không giaonhau Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập

thương của V theo U , kí hiệu V /U

Điều kiện để v + U và v0 + U trùng nhau là v − v0 ∈ U

Ta trang bị cho V /U hai phép toán sau:

(v + U ) + (v0 + U ) = (v + v0) + U ,

λ(v + U ) = (λv) + U

Khi đó V /U là một không gian véc tơ

Định nghĩa 1.4.1 Không gian véc tơ V /U được gọi là không gian

thương của V theo không gian U

Ánh xạ q : V −→ V /U, v 7−→ v + U gọi là ánh xạ thương, là một ánh

//Vi−1 fi //Vi fi+1//Vi+1 //

được gọi là khớp nếu tại mỗi Vi (không kể hai đầu mút, nếu có) ta có

Im(fi) = Ker(fi+1)

Định nghĩa 1.4.3 Một dãy khớp dạng

được gọi là dãy khớp ngắn

Dãy khớp được gọi là chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho

gh = idW Khi đó h được gọi là ánh xạ chẻ

Mệnh đề 1.4.4 Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đều chẻ ra.Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất Mỗi ánh xạ chẻ h xác địnhmột đẳng cấu giữa V và U ⊕ W

pri : S1 × S2 −→ Si(s1, s2) 7−→ si, i = 1, 2.

Tập hợp S1 × S2 và hai ánh xạ pri, i = 1, 2 này có tính chất hiển nhiên

sau: Với mọi cặp ánh xạ fi : T −→ Si, i = 1, 2, tồn tại duy nhất ánhxạ: f : T −→ S1 × S2 thỏa mãn

∀(f1, f2), ∃!f thỏa mãn sơ đồ trên

Ta cũng nói bộ ba này thỏa mãn bài toán phổ dụng

Ví dụ 2 (Đối tích của hai tập hợp) Giả sử hai tập hợp S1, S2 là hoàn

toàn không liên hệ gì với nhau Xét hợp của chúng ta thu được hợp rời

S1q S2 Kí hiệu các ánh xạ nhúng là ji : Si −→ S1q S2 Khi đó S1q S2cùng với các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: Với mọi cặp ánh

xạ gi : Si −→ T , tồn tại duy nhất ánh xạ g : S1 q S2 −→ T thỏa mãn

gi = gji Mô tả bằng sơ đồ:

∀(g1, g2), ∃!g thỏa mãn sơ đồ trên.

Ví dụ 3 (Tổng trực tiếp) Tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ

thỏa mãn bài toán phổ dụng Cụ thể, nó là tích trực tiếp của hai khônggian véc tơ thỏa mãn bài toán của Ví dụ 1, thể hiện bằng sơ đồ:

Chương 2

Một số kết quả của tích ten xơ

Cho p + 1 không gian véc tơ V1, V2, , Vp, U cùng xác định trên một

trường K Ánh xạ đa tuyến tính là ánh xạ tuyến tính theo từng biến(véc tơ) khi ta cố định các biến còn lại Cụ thể

f (v1, , vi−1, αvi + βui, vi+1, , vp) =

αf (v1, , vi−1,vi, vi+1, , vp) + βf (v1, , vi−1, ui, vi+1 , vp)

Khi U = K thì ta gọi f là dạng đa tuyến tính

Ví dụ

i) Khi p = 1 ta có khái niệm ánh xạ tuyến tính thông thường

ii) Định thức của ma trận vuông cấp n là dạng n-tuyến tính trên tập

các véc tơ cột (dòng) (tính chất của định thức) Ví dụ khi n = 2, ánh

xạ f : K2 × K2 → K cho bởi

f (a, b; c, d) =

a b

c d

... phổ dụng tích ten xơ ởtrên) cho f = g⊗ hay f ∈ Im(ϕ) Suy B(V × W, U ) ⊂ Im(ϕ).Vậy ϕ đẳng cấu hay hai không gian L(V ⊗ W, U ) B(V × W, U )

đẳng cấu với

Nhận xét Tích ten xơ tồn

Chứng... minh: Giả sử cặp (T,⊗) thỏa mãn điều kiện tíche

ten xơ V W Theo định nghĩa (V ⊗ W, ⊗) tồn... giaohoán sau:

Để chứng minh θ đẳng cấu ta xây dựng ánh xạ ngược Theo

giả thiết (T,⊗) tích ten xơ V W , nghĩa thỏa mãn tính phổedụng, tức tồn ánh xạ θ0 thỏa mãn sơ đồ giao hoán