Tích ten xơ về các mặt spline và ứng dụng

Möc löc1.1 Khæng gian vectì... Tr¶n ¥y l ành ngh¾a khæng gian vectì thüc.. N¸u trong ànhngh¾a §y ta thay c¡c sè thüc b¬ng sè phùc th¼ ta câ khæng gian vectìphùc... Ta công kþ hi»u khæng

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

NGUY™N CÛ

TCH TEN-XÌ V— CC MT SPLINE V€ ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh : TON GIƒI TCH

ho n th nh luªn v«n n y.

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi Pháng Sau ¤i håc,c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch, Tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

v  ho n th nh luªn v«n tèt nghi»p

T¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b±,ng÷íi th¥n ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡cgi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

H  Nëi, th¡ng 6 n«m 2016

T¡c gi£

Nguy¹n Cû

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n V«n Tu§n,luªn v«n Th¤c sÿ chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch vîi · t i T½ch Ten-xìv· c¡c m°t spline v  ùng döng do tæi tü l m C¡c k¸t qu£ v  t i li»utr½ch d¨n ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng

th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 6 n«m 2016

T¡c gi£

Nguy¹n Cû

Möc löc

1.1 Khæng gian vectì 5

1.1.1 ành ngh¾a 5

1.1.2 Mët sè t½nh ch§t ìn gi£n 6

1.2 Khæng gian metric 7

1.2.1 ành ngh¾a 7

1.2.2 Mët sè t½nh ch§t cì b£n 7

1.3 Khæng gian ành chu©n 8

1.3.1 ành ngh¾a 8

1.3.2 Mët sè t½nh ch§t cì b£n 9

1.4 Khæng gian Hilbert 10

1.4.1 Nhúng ki¸n thùc mð ¦u 10

1.4.2 ành ngh¾a 11

1.5 Ph÷ìng ph¡p nëi suy 12

1.5.1 a thùc nëi suy Lagrange 12

1.5.2 a thùc nëi suy Hermitte 13

1.6 Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu 14

1.6.1 ành ngh¾a 14

1.6.2 Nëi dung ph÷ìng ph¡p 14

2 MT SPLINE TCH TEN-XÌ 17 2.1 Spline v  mët sè t½nh ch§t cì b£n 17

2.1.1 X¥y düng ÷íng cong spline 21

2.1.2 ành ngh¾a B-spline 27

2.1.3 Mët sè t½nh ch§t cì b£n 28

2.2 M°t spline t½ch ten-xì 38

2.2.1 ành ngh¾a 382.2.2 Mët sè t½nh ch§t 432.3 X§p x¿ h m sè b¬ng m°t bªc hai spline t½ch ten-xì 442.3.1 X§p x¿ spline gi£m bi¸n ph¥n 442.3.2 Nëi suy h m spline t½ch ten-xì 492.4 Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu sû döng c¡c m°t

spline t½ch ten-xì 532.4.1 B¼nh ph÷ìng tèi thiºu vîi dú li»u d¤ng iºm 532.4.2 B¼nh ph÷ìng tèi thiºu vîi dú li»u d¤ng ph¥n l÷îi 56

3.1 X§p x¿ h m sè 613.2 Gi£i mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh 68

Mð ¦u

1 L½ do chån · t i

Trong thüc t¸, chóng ta g°p nhi·u b i to¡n d¨n tîi x¡c ành gi¡ tràcõa h m sè ho°c t¼m nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n hay ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng

Vi»c t½nh óng c¡c gi¡ trà cõa h m sè ho°c gi£i óng c¡c ph÷ìngtr¼nh nâi tr¶n g°p nhi·u khâ kh«n

Do â, ng÷íi ta ph£i t¼m c¡c c¡ch gi£i g¦n óng kh¡c nhau º gi£iquy¸t c¡c v§n · tr¶n Ph÷ìng ph¡p g¦n óng sû döng c¡c h m spline

câ ÷u iºm: T½nh to¡n ìn gi£n v¼ xû lþ sè li»u tr¶n c¡c a thùc, lªptr¼nh ÷a l¶n m¡y t½nh d¹ d ng Bði vªy sû döng h m spline ang ÷ñcc¡c nh  to¡n håc quan t¥m ([6], [7])

Sû döng h m spline t½ch ten-xì º x§p x¿ cho h m sè hai bi¸n ho°cgi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng câ nhi·u ÷u iºm t÷ìng tü vîi h mspline

Do vªy, còng sü gióp ï tªn t¼nh cõa TS Nguy¹n V«n Tu§n, tæi

¢ chån nghi¶n cùu · t i: "T½ch Ten-xì v· c¡c m°t spline v  ùngdöng"

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu kh¡i ni»m m°t spline ÷ñc t¤o th nh bði t½ch ten-xì v mët sè t½nh ch§t

-Sû döng m°t spline t½ch ten-xì nëi suy h m hai bi¸n

- Sû döng m°t bªc hai t½ch ten-xì gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

- Chùng minh, l m rã mët sè t½nh ch§t cõa m°t spline t½ch ten-xì.

- T¼m mët sè v½ dö v· x§p x¿ h m hai bi¸n b¬ng h m spline t½ch ten-xì,

v  ùng döng m°t ten-xì gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: H m spline, m°t spline t½ch ten-xì

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: M°t spline t¤o th nh bði h m hai bi¸n

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch, têng hñp, tham kh£o þ ki¸n chuy¶n gia

6 Dü ki¸n âng gâp

- L m rã mët sè ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa m°t spline t½ch ten-xì

- Sû döng ph÷ìng ph¡p nëi suy m°t spline t½ch ten-xì v o x§p x¿ c¡c

h m hai bi¸n v  gi£i x§p x¿ ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

1.1 Khæng gian vectì

1.1.1 ành ngh¾a

ành ngh¾a 1.1.1 Mët tªp X ÷ñc gåi l  mët khæng gian vectì, n¸u:

• Ùng vîi méi ph¦n tû x, y cõa X ta câ, theo quy t­c n o â, mët ph¦n

tû cõa X, gåi l  têng cõa x vîi y , ÷ñc kþ hi»u l  x + y; ùng vîi méiph¦n tû x cõa X v  méi sè thüc α ta câ, theo mët quy t­c n o â, mëtph¦n tû cõa X gåi l  t½ch cõa x vîi α v  kþ hi»u l  αx

• C¡c quy t­c nâi tr¶n thäa m¢n 8 ti¶n · sau:

Tr¶n ¥y l  ành ngh¾a khæng gian vectì thüc N¸u trong ànhngh¾a §y ta thay c¡c sè thüc b¬ng sè phùc th¼ ta câ khæng gian vectìphùc Ng÷íi ta cán gåi khæng gian vectì l  khæng gian tuy¸n t½nh.C¡c ph¦n tû cõa mët khæng gian vectì gåi l  vectì.

V½ dö 1.1.1

Trong m°t ph¯ng thüc E2, tªp X = E2 l  tªp

E2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R} Vîi méi sè thüc α v  c¡c vectì x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ X, ph²p cëng

C[ab] = x = x (t) : x (t)l  h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]

Vîi méi sè thüc α v  f (t) , g (t) ∈ C[a,b], ph²p cëng v  ph²p nh¥n væh÷îng ÷ñc ành ngh¾a:

1 d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, x, y ≥ 0 (ti¶n · çng nh§t);

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X(ti¶n · èi xùng);

3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X(ti¶n · tam gi¡c)

nh x¤ d gåi l  metric tr¶n X, sè d (x, y) gåi l  kho£ng c¡ch giúahai ph¦n tû x v  y C¡c ph¦n tû cõa X gåi l  c¡c iºm; c¡c ti¶n d· 1),2), 3) gåi l  h» ti¶n · metric

Khæng gian metric ÷ñc kþ hi»u l  M = (X, d)

ành ngh¾a 1.2.2 Cho khæng gian metric M = (X, d), d¢y iºm (xn) ⊂

X, iºm x0 ∈ X D¢y iºm (xn) gåi l  hëi tö tîi iºm x0 trong khænggian M khi n → ∞, n¸u (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) d (xn, x0) < ε,

kþ hi»u:

lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0(n → ∞)

ành ngh¾a 1.2.3 Cho khæng gian metric M = (X, d) D¢y iºm(xn) ⊂ X gåi l  d¢y cì b£n trong M, n¸u

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀m, n ≥ n0), d(xn, xm) < εhay:

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

D¹ d ng th§y måi d¢y iºm (xn) ⊂ X hëi tö trong M ·u l  d¢y cì b£n

ành ngh¾a 1.2.4 Khæng gian metric M = (X, d) gåi l  khæng gian

¦y, n¸u måi d¢y cì b£n trong khæng gian n y ·u hëi tö

ành ngh¾a 1.2.5 Cho hai khæng gian metric M1 = (X, d1) v  M2 =(X, d2) nh x¤ A : M1 → M2 gåi l  mët ¡nh x¤ co, n¸u tçn t¤i sè α,

P = C) còng vîi mët ¡nh x¤ tø X v o tªp sè thüc R, kþ hi»u l  k.k v 

åc l  chu©n, thäa m¢n c¡c ti¶n · sau ¥y:

1 kxk ≥ 0, ∀x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = θ, (kþ hi»u ph¦n tû khæng l  θ);

2 kαxk = |α| kxk , ∀x ∈ X;

3 kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ X

Sè kxk gåi l  chu©n cõa vectì x Ta công kþ hi»u khæng gian ành chu©n

l  X C¡c ti¶n · 1), 2), 3), gåi l  h» ti¶n · chu©n

V½ dö 1.3.1

Khæng gian C[a,b], l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n:

C[a,b]: kxk = max

a≤t≤b|x(t)|.V½ dö 1.3.2

Khæng gian L[a,b], l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n:

n→∞xn = x hay xn → x(n → ∞)

ành ngh¾a 1.3.3 Cho khæng gian tuy¸n t½nh X v  k.k1, k.k2 l  haichu©n ¢ cho tr¶n X Hai chu©n k.k1, v  k.k2 gåi l  t÷ìng ÷ìng n¸utçn t¤i hai sè d÷ìng α, β sao cho:

αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1, ∀x ∈ X

ành ngh¾a 1.3.4 Cho khæng gian ành chu©n X v  d¢y iºm (xn) ⊂

X Ta gåi chuéi l  biºu thùc câ d¤ng:

x1 + x2 + + xn+

Chuéi n y th÷íng ÷ñc vi¸t l  P∞

n=1

xn Méi ph¦n tû xn gåi l  sè h¤ngthù n cõa chuéi Biºu thùc

gåi l  têng ri¶ng thù k cõa chuéi

N¸u tçn t¤i lim

n→∞sk = s trong khæng gian ành chu©n X, th¼ chuéigåi l  chuéi hëi tö v  s gåi l  têng cõa chuéi n y Khi â ta vi¸t

∞

P

N¸u chuéi hëi tö v  câ têng l  s, th¼ biºu thùc rk = s − sk gåi l  sè h¤ngd÷ thù k cõa chuéi.

Chuéi ban ¦u gåi l  chuéi hëi tö tuy»t èi, n¸u chuéi sè sau hëitö:

kx1k + kx2k + + kxnk +

ành ngh¾a 1.3.5 Tªp X0 6= ∅ gåi l  khæng gian ành chu©n con cõakhæng gian ành chu©n X, n¸u X0 l  khæng gian tuy¸n t½nh con cõakhæng gian X v  chu©n x¡c ành tr¶n X0 l  chu©n x¡c ành tr¶n X N¸u

X0 çng thíi l  tªp âng trong khæng gian X, th¼ X0 gåi l  khæng gian

ành chu©n con âng cõa khæng gian X

ành ngh¾a 1.3.6 Cho hai khæng gian ành chu©n X v  Y To¡n tûtuy¸n t½nh A tø khæng gian X v o khæng gian Y gåi l  bà ch°n, n¸u tçnt¤i h¬ng sè C > 0 sao cho:

kAxkY ≤ C kxkX , ∀x ∈ X

ành ngh¾a 1.3.7 Cho A l  to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tø khæng gian

ành chu©n X v o khæng gian ành chu©n Y H¬ng sè C ≥ 0 nhä nh§tthäa m¢n h» thùc trong ành ngh¾a 1.3.6 gåi l  chu©n cõa to¡n tû A v 

1 (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);

2 (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

3 (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ;

4 (∀x ∈ X) (x, x) > 0, n¸u x 6= θ (θ l  kþ hi»u ph¦n tû khæng),(x, x) = 0, n¸u x = θ

C¡c ph¦n tû x, y, z, gåi l  c¡c nh¥n tû cõa t½ch væ h÷îng, sè (x, y) gåi

l  t½ch væ h÷îng cõa hai ph¦n tû x v  y, c¡c ti¶n · 1), 2), 3), 4) gåi l h» ti¶n · t½ch væ h÷îng

ành ngh¾a 1.4.2 Khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n tr÷íng P còng vîimët t½ch væ h÷îng tr¶n X gåi l  khæng gian ti·n Hilbert

3 H l  khæng gian Banach vîi chu©n kxk = p(x, x) ∈ H

Ta gåi måi khæng gian tuy¸n t½nh con âng cõa khæng gian Hilbert H

l  khæng gian Hilbert con cõa khæng gian H

D¹ d ng th§y h» thùc (*) thäa m¢n ti¶n · t½ch væ h÷îng

Chu©n sinh ra bði t½ch væ h÷îng (*)

kxk = p(x, x) =

vuut

1.5 Ph÷ìng ph¡p nëi suy

Sau ¥y chóng ta tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p nëi suy trong [6]

Trong thüc t¸ t½nh to¡n, ta th÷íng ph£i t½nh gi¡ trà cõa h m y =

f (x) vîi x b§t k¼ trong o¤n [a, b], trong khi ch¿ bi¸t c¡c gi¡ trà yi =

f (xi) , xi ∈ [a, b] , i = 0, 1, , n Ð mët sè tr÷íng hñp kh¡c biºu thùc gi£it½ch cõa f(x) ¢ bi¸t, nh÷ng qu¡ phùc t¤p Vîi nhúng tr÷íng hñp nh÷vªy, ng÷íi ta th÷íng x¥y düng mët h m sè P (x) ìn gi£n v  thäa m¢n

i·u ki»n P (xi) = f (xi) , v  xi 6= xj, ∀i 6= j, xi ∈ [a, b], ∀i = 0, 1, , nNgo i ra, t¤i x ∈ [a, b] , x 6= xi th¼ P (x) x§p x¿ y = f(x) theo mët ëch½nh x¡c n o â H m sè nh÷ vªy gåi l  h m nëi suy cõa f(x), cán c¡c

xi, i = 0, 1, , n gåi l  c¡c mèc nëi suy B i to¡n x¥y düng h m sè P (x)nh÷ vªy gåi l  b i to¡n nëi suy Trong qu¡ tr¼nh x¥y düng h m P (x), tax¥y düng P (x) câ °c t½nh t÷ìng tü vîi h m sè y = f(x) ch¯ng h¤n,n¸u f(x) tu¦n ho n vîi chu k¼ T th¼ P (x) công tu¦n ho n vîi chu k¼ T Dòng h m nëi suy P (x) câ thº d¹ d ng t½nh ÷ñc c¡c gi¡ trà f(x)t¤i x b§t k¼ thuëc [a, b] t÷ìng èi ch½nh x¡c Tø â câ thº t½nh g¦n óng

¤o h m, ho°c t½ch ph¥n cõa f(x) tr¶n o¤n [a, b] v¼ c¡c a thùc ¤i sè

l  ìn gi£n n¶n tr÷îc ti¶n ta ngh¾ ¸n vi»c x¥y düng P (x) ð d¤ng athùc ¤i sè

1.5.1 a thùc nëi suy Lagrange

B i to¡n: Cho xi ∈ [a, b] , i = 0, 1, , n, xi 6= xj, ∀i 6= j v  yi =

f (xi) , i = 0, 1, , n H¢y x¥y düng a thùc nëi suy Ln(x) thäa m¢ndeg Ln(x) 6 n, Ln(xi) = yi, ∀i = 0, 1, , n

n+1 (xj).Gi£ sû cán câ a thùc Len(x) thäa m¢n c¡c i·u ki»n tr¶n khi â gåi

ϕ (x) = hLn(x) − eLn(x)i th¼ deg ϕ (x) 6 n v  nhªn ½t nh§t l  (n + 1)nghi»m x0, x1, , xn, do â ϕ (x) ≡ 0, do vªy Len(x) ≡ Ln(x)

Vªy tçn t¤i duy nh§t mët a thùc thäa m¢n c¡c i·u ki»n kº tr¶n

a thùc nëi suy Lagrange vîi mèc c¡ch ·u

Gi£ sû xi+1 − xi = h, ∀i = 0, 1, , (n − 1), x0 = a, xn = b Khi âdòng ph²p êi bi¸n x = x0 + th, xj = x0 + jh vîi j = 0, 1, , n − 1 v thay v o biºu thùc cõa Φj (x) ta ÷ñc

Φj (x) = t(t−1) (t−n)(t−j) (−1)

n−j

j!(n−j)!.Khi â ta thu ÷ñc:

(t−j)yj

1.5.2 a thùc nëi suy Hermitte

B i to¡n: H¢y t¼m a thùc nëi suy H2n+1(x) thäa m¢n c¡c i·u ki»n

i+ f0(xi) (x − xi)

o n

ωn+1(x) (x−x i )ω 0

n+1 (x i )

o

l  a thùc nëi suy Hermitte

a thùc nëi suy Hermitte câ °c iºm ri¶ng kh¡c vîi a thùc nëisuy Lagrange l  ngo i c¡c y¶u c¦u v· sü tròng nhau giúa a thùc nëisuy v  h m sè ¢ cho t¤i c¡c mèc nëi suy th¼ cán câ y¶u c¦u v· sü tròng

1 N¸u sè iºm nëi suy nhi·u, th¼ cæng thùc phùc t¤p;

2 N¸u gi¡ trà h m sè trong b£ng ph¤m ph£i sai sè ng¨u nhi¶n n o âth¼ sai sè â s³ mang v o a thùc nëi suy v  l m häng d¡ng i»uthüc cõa h m sè

B¥y gií ta x²t mët ph÷ìng ph¡p kh¡c nh¬m kh­c phöc nh÷ñc iºm

â

ành ngh¾a 1.6.1 Gi£ sû ϕ0(x) , ϕ1(x) , , ϕm(x) l  h» h m ëc lªptuy¸n t½nh n o â tr¶n [a, b] , m ≤ n

Muèn vªy ta xem R l  t§t c£ c¡c h m sè câ thº cho tr¶n [a, b] H m

Do vªy theo lþ thuy¸t chung trong khæng gian con n y tçn t¤i ph¦n

tû x§p x¿ tèt nh§t cõa f ∈ R theo ành ngh¾a m¶tric ¢ nâi tr¶n ¥y l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n n¶n ph¦n tû x§p x¿ tèt nh§t s³ duynh§t

th¼ ta ph£i t¼m ck thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh sau

Ch֓ng 2

MT SPLINE TCH TEN-XÌ

M°t spline t½ch ten-xì ÷ñc x¥y düng tø c¡c h m spline mët bi¸n

do â, º nghi¶n cùu v· m°t spline t½ch ten-xì th¼ ¦u ti¶n chóng ta c¦nn­m ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa h m spline v  B-spline

2.1 Spline v  mët sè t½nh ch§t cì b£n

Trong ph¦n n y, chóng ta s³ ti¸p cªn c¡c kh¡i ni»m tê hñp lçi, baolçi cõa c¡c iºm, ÷íng cong spline, B-spline v  l m rã mët sè t½nh ch§t

cì b£n cõa spline, B-spline

Tê hñp lçi v  bao lçi

a) Tê hñp lçi

ành ngh¾a 2.1.1 Trong R2, cho c1 = (x1, y1) , c2 = (x2, y2) vîi xi, yi ∈

R, i = 1, 2 Tê hñp lçi cõa hai iºm c1, c2 l  c¡c iºm c = (x; y) ÷ñc x¡c

x = (1 − λ) x1 + λx2, y = (1 − λ) y1 + λy2

o, 0 ≤ λ ≤ 1

H¼nh 2.1: Tê hñp lçi cõa c 1 v  c 2

b) Bao lçi cõa mët tªp hñp c¡c iºm

ành ngh¾a 2.1.2 Ta câ hai ành ngh¾a sau ¥y

• Bao lçi cõa hai iºm:

Trong khæng gian R2, cho hai iºm c1 = (x1, y1) , c2 = (x2, y2) vîi xi, yi ∈

R, i = 1, 2 Tªp hñp c¡c iºm c thäa m¢n: c = (1 − λ) c1 + λ.c2, (vîi

0 ≤ λ ≤ 1) gåi l  bao lçi cõa hai iºm c1 v  c2

• Bao lçi cõa n iºm:

Gi£ sû (ci)ni=1 l  n iºm trong R2 Bao lçi cõa n iºm l  tªp hñp c¡c

iºm c thäa m¢n: c = λ1.c1 + λ2.c2 + + λn.cn, vîi n sè λi, thäa m¢n

H¼nh 2.2: Bao lçi cõa 3 iºm c 1 , c2, c3

H¼nh 2.3: Bao lçi cõa 4 iºm v  bao lçi cõa 5 iºm

C¡c kh¡i ni»m cì b£n

Trong R2, cho hai iºm c0 = (x0, y0) v  c1 = (x1, y1) , xi, yi ∈ R, i =

0, 1 Gåi AB l  o¤n th¯ng i qua c0 v  c1 th¼ o¤n th¯ng AB l  bao lçicõa hai iºm tr¶n Ph÷ìng tr¼nh cõa o¤n th¯ng AB l :

q (t|c0, c1; t0, t1) = t1 − t

t1 − t0c0 +

t − t0

t1 − t0c1, (2.4)vîi t ∈ [t0, t1] , ∀t0, t1 ∈ R Biºu thùc trong (2.5) l  mët tê hñp lçi cõa

c0 v  c1 N¸u °t λ = t−t 0

t1−t0 th¼ (2.5) s³ trð th nh (2.3) Tø (2.5) câ thºbiºu thà ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng AB

y = f (x) = x1 − x

x1 − x0.y0 +

x − x0

x1 − x0.y1,vîi (x, y) ∈ AB, A (x0; y0) , B (x1; y1)

Nëi suy c¡c ÷íng cong a thùc

a) Nëi suy bªc hai cõa ba iºm

Gi£ sû c0; c1; c2 ∈ R l  ba sè cho tr÷îc, (tj)2j=0 l  c¡c sè thüc chotr÷îc

• Nëi suy a thùc bªc ba.

Gi£ sû (ci)3i=0 l  c¡c iºm ¢ cho, gåi t = (ti)3i=0, ti ∈ R l  c¡c tham

sè cho tr÷îc Khi â q0,2(t) l  ÷íng cong bªc hai nëi suy cho c¡c iºm

c0, c1, c2 v  q1,2(t) l  ÷íng cong bªc hai nëi suy cho c¡c iºm c0, c1, c2th¼:

ành ngh¾a 2.1.3 Gi£ sû d ∈ N, (ci)di=0 l  c¡c iºm ¢ cho,

(ti)di=0, ti ∈ R, i = 0, d
, l  c¡c tham sè cho tr÷îc

Tø ành ngh¾a nëi suy bªc hai, bªc ba ta câ thº x¥y düng ành ngh¾anëi suy bªc d b¬ng quy n¤p Cö thº °t:

q0,d(t) = td− t

td− t0.q0,d−1(t) +

t − t0

td− t0.q1,d−1(t) (2.5)Th¼ q0,d(t) l  ÷íng cong bªc d (ç thà cõa a thùc bªc d i qua

ci, i = 0, d)

a) Spline tuy¸n t½nh

ành ngh¾a 2.1.4 Ta s³ l¦n l÷ñt ành ngh¾a spline tuy¸n t½nh i quahai iºm v  n iºm:

1 Cho hai iºm c1 v  c2 v  c¡c tham sè (ti)3i=2 vîi t tòy þ, t2 < t3, °t:

p (t|c1, c2, t2, t3) = t3 − t

t3 − t2c1 +

t − t2

t3 − t2c2, t ∈ [t2, t3] Th¼ p (t|c1, c2, t2, t3) l  o¤n th¯ng qua c1, c2

2 Cho (ci)ni=1 l  n iºm cho tr÷îc Chån (ti)n+1i=2 vîi ti < ti+1, i = 2, n.X¡c ành:

b)÷íng cong spline bªc hai

Cho ba iºm i·u khiºn c1, c2, c3 Chóng ta x¥y düng ÷íng congspline bªc hai tr¶n ba iºm i·u khiºn c1, c2, c3 Gåi (ti)5i=2 l  c¡c iºmnót thäa m¢n t2 ≤ t3 < t4 ≤ t5

÷íng th¯ng i qua c1, c2 ÷ñc x¡c dành bði: p (t|c1, c2; t2, t4), vîi

t ∈ [t2, t4]

÷íng th¯ng i qua c2, c3 ÷ñc x¡c ành bði: p (t|c2, c3; t3, t5), t ∈[t3, t5]

÷íng cong spline bªc hai tr¶n [t2, t5] ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

ành ngh¾a 2.1.5 Gi£ sû câ n iºm i·u khiºn (ci)ni=1 v  d¢y c¡c tham

sè (gåi l  iºm nót) (ti)n+2i=2 vîi i·u ki»n: t2 ≤ t3 < t4 < < tn <

tn+1 ≤ tn+2 ÷íng cong spline bªc hai f (t) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

K½ hi»u h m h¬ng {Bi,0}ni=3 v 

pi,2(t) = p (t|ci−2, ci−1, ci; ti−1, ti, ti+1, ti+2) Th¼ f (t) câ thº vi¸t nh÷ sau:

f (t) gåi l  spline bªc hai

c)÷íng cong spline bªc cao

ành ngh¾a 2.1.6 ÷íng cong spline bªc d vîi n iºm i·u khiºn (ci)ni=1

v  c¡c iºm nót (ti)n+di=2 ÷ñc cho bði:

pn,d(t) , t ∈ [tn, tn+1],vîi ti < ti+i vîi i = d + 1, , n f (t) cán câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng:

ành lþ 2.1.1 Gi£ sû sè ti+1 xu§t hi»n m l¦n giúa c¡c nót (tj)m+dj=i−d,vîi 1 ≤ m ≤ d + 1, ngh¾a l : ti < ti+1 = = ti+m < ti+m+1 Khi â h mspline:

f (t) = pi,d(t) Bi,0(t) + pi+m,d(t) Bi+m,0(t) ,

câ ¤o h m li¶n töc ¸n c§p d − m ð iºm chung ti+1

Biºu di¹n ÷íng cong spline theo c¡c h m cì sð

Cho n iºm i·u khiºn (ci)ni=1 v  n + d − 1 iºm nót t = (ti)n+1i=2spline bªc d câ thº vi¸t:

vîi i = d, , n Khi â, ta câ:

t−t d+1−r

t d+1 −t d+1−rBd+1−r,r−1(t) pd+1−r,d−r(t) + tn+r+1 −t

t n+r+1 −t n+1Bn+1,r−1(t) pn,d−r(t)b¬ng 0 bði Bi,r−1(t) b¬ng 0 khi t < ti ho°c t > ti+r K¸t qu£ l :

v¼ pj,0(t) = cj vîi j = i − d, , i Bi¸n êi ta câ:

ành ngh¾a 2.1.7 Cho d l  mët sè nguy¶n khæng ¥m v  °t t = (tj),

l  mët d¢y c¡c sè thüc khæng gi£m v  j ≥ d + 2 B-spline thù j bªc dx¥y düng tr¶n (tj)n+d+1j=1 ÷ñc ành ngh¾a bði:

Bj,d,t(x) = x − tj

tj+d − tjBj,d−1,t(x) +

tj+1+d− x

tj+1+d− tj+1Bj+1,d−1,t(x) , (2.17)vîi

Bj,0,t(x) =  1, tj ≤ x ≤ tj+1

0, x /∈ [tj, tj+1] (2.18)

H¼nh 2.4: B-spline tuy¸n t½nh vîi c¡c iºm nót ìn v  æi

Trong ph¦n n y B-spline bªc d k½ hi»u: Bj,d, Bj,t ho°c ìn gi£n l 

bªc hai têng qu¡t:

+ (x − tj) (tj+2 − x)

(tj+2 − tj) (tj+2 − tj+1) +

(tj+3− x) (x − tj+1)(tj+3 − tj+1) (tj+2 − tj+1)Bj+1,0(x)

(2.21)T½nh ch§t 2.1.3 T½nh ch§t b§t bi¸n cõa ph²p tành ti¸n

B (x + y|tj + y, , tj+d + y, tj+d+1+ y)

= (x + y) − (tj + y)

(tj+d + y) − (tj + y)Bj,d−1(x + y) +

(tj+d+1+ y) − (x + y)(tj+d+1+ y) − (tj+1+ y)Bj+1,d−1(x + y)

T½nh ch§t 2.1.4 X²t c¡c iºm nót tj l  c¡c sè nguy¶n Gi£ sû tj = j ∈

Z Khi â k½ hi»u spline bªc d ≥ 0 l  Md(x)

B-spline Bj,d phö thuëc v o c¡c nót tj, tj+1, , tj+d+1 Tùc l : N¸uc¡c nót t = (tj)n+d+1j=1 vîi n ∈ Z+, ta câ n h m B-spline bªc d tø c¡c

iºm nót ¢ cho vi¸t l  {Bj,d}nj=1 Mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa B-spline,

V½ dö 2.1.6 (spline tuy¸n t½nh bªc hai).

Gi£ sû f : [a; b] ⇒ R l  mët h m sè x¡c ành tr¶n o¤n [a; b] v  cho

n > 2, n ∈ Z Gi£ sû trong [a; b] câ nót t = (tj)n+3j=1 vîi a = t1 = t2 =

t3 < t4 < < tn < tn+1 = tn+2 = tn+3 Ta câ h m spline bªc hai

S (x) = Qf (x) = Xf t∗j
Bj,2(x) ,vîi

v :

s (x) = B2,2(x) + B3,2(x) − B4,2(x) −√

2B5,2(x)

ç thà Qf v  f (x) trong h¼nh

H¼nh 2.5: H¼nh (a): L  spline tuy¸n t½nh (÷íng li·n g§p khóc) nëi suy c¡c iºm dú li»u H¼nh (b): ÷íng cong spline bªc hai (÷íng n²t li·n) nëi suy ÷íng cong sin(πx /2 ) (n²t ùt).

Ta s³ ành ngh¾a a gi¡c i·u khiºn cõa c¡c h m spline