Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian

Quan hệ song song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặ

I PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Từ đầu lớp 11 trở về trước học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn chỉ là

hình phẳng Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung

thành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy Mọi quan hệ giữa các

đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan Từ chương II hình học lớp 11

trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ

như quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau, của các đối tượng Đó là một khó

khăn rất lớn của học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình

học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách

quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo

viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương

pháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian Qua nhiều năm giảng dạy môn

học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến

thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh

ngày được nâng lên Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh

còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung này

nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng

nhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với

mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình học

không gian nói riêng

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,

không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng được

vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó

Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành

một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song

song trong không gian’

Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm

một số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên

quan đến quan hệ song song trong không gian Học sinh thông hiểu và trình bày

bài toán đúng trình tự, đúng lôgic, không mắc sai lầm khi làm bài tập Hy vọng đề

tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số

bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình học lớp 11 một cách có

hiệu quả

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen

với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra

những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ

những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn

nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói

riêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

1

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài giao điểm của đường thẳng và mặt

phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặt

phẳng

Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong

không gian Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp điều tra,khảo sát thực tế,thu thập thông tin

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Phát triển các bài toán về tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt

phẳng

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để

giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định

hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau Trong dạy học, giáo

viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập

những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động

cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm

thành công Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan

trọng của người giáo viên

Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song

song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về

giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện

cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện Do đó nếu có được hệ thống phương

pháp giải các bài toán:

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( )

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ()

Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện

Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng

Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gây

hứng thú trong học tập cho học sinh Mặt khác đây lại là chương kiến thức nền

tảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết

Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số toán

về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy của

giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất

lơ mơ và ngại học môn hình học không gian Khi gặp các bài toán thì không phân

loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập Trong khi đó sách giáo

khoa hình học 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành

cho việc làm bài tập các dạng này là rất ít Do đó học sinh thường bế tắc trong

việc vẽ hình , xác định yếu tố nào trước và làm như thế nào, cụ thể:

Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy:

- Khi xác định giao điểm A của đường thẳng a và mặt phẳng (P) đa số học

sinh ở mức trung bình đều không biết làm thế nào Về mặt hình vẽ thì thể hiện

chới với không chính xác Giáo viên phải hướng cho học sinh quy về giao điểm

của hai đường thẳng

- Khi gặp các bài toán xét trên các mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng (ABC)

thì rất nhiều học sinh thường hiểu rằng mặt phẳng (ABC) chỉ gồm các điểm thuộc

miền trong và nằm trên các cạnh của tam giác ABC Do đó khi xác định giao điểm

của mặt phẳng này hoặc của đường thẳng nằm trong mặt này với các đối tượng

khác là rất khó khăn

- Hình biểu diễn của các hình không gian không trực quan như hình phẳng

mà lâu nay các em đã học, do đó dựa vào hình vẽ nhiều học sinh nhầm lẫn giữa

những đường thẳng thực tế không cắt nhau nhưng trong hình biểu diễn các em lại

thấy như là chúng cắt nhau

3

D

C

E

F

O

C

S

K

M

H I

J

K

Y

X

W

V

E O

O'

D

C

A

B

L

Z

U

A1

Chẳng hạn khi gặp bài toán:

Bài toán 1 Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam

giác ABC và BCD Gỉa sử đường thẳng EF

cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J Hãy xác định

điểm J đó

 Với hình biểu diễn trên, nhiều học sinh ngộ

nhận rằng đường thẳng EF và AC cắt nhau và đó

chính là giao điểm J Một số học sinh khá hơn

sẽ nhận ra điều đó là sai song chưa xác định được

đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD) Hình 1

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O’ là tâm của hình bình hành

A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’

a) Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song

song với mặt phẳng (ACE)

*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đường

thẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’) Do đó đến câu b) học sinh sẽ không

nhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăn

trong việc xác định thiết diện

Lúc này vai trò của giáo

viên là phải định hướng

cho học sinh chứng minh

được E là giao điểm của

BO’ với OB’ nằm trong mặt

phẳng (ACB’)

Hình 2

đáy là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm của hai

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt

phẳng (P) qua M song song với SO và BC

mặt phẳng (Q) chứa O song song với BM và SD

4

A B

D

C

S

L

J

O

M

G

I K

A

D

C

E

F

Hình 3 Hình 4

Học sinh thường rất lúng túng vì mặt phẳng cho trước song song với 2 đường

thẳng chéo nhau nên không xác định được mặt phẳng đó là mặt phẳng nào Đến

đây giáo viên phải định hướng cho học sinh mặt phẳng mà ta đang xác định song

song với mặt phẳng nào ( ta thường chỉ ra nó song song với một mặt phẳng chứa

đường này và song song với đường còn lại )

2.3 MỘT SỐ GIẢI PHÁP

Qua nghiên cứu ,trao đổi đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi

mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh như sau:

1 Đưa mô hình trực quan

Ta đã biết trong triết học: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” vì

vậy để học sinh có hình ảnh trực quan tôi sẽ cho các em chuẩn bị một số mô hình

về các hình không gian như hình tứ diện, hình hộp,…các hình này được làm

khung bằng các que, các mặt thì gắn bằng bìa Ngoài ra còn chuẩn bị một số que

làm mô hình đường thẳng và giấy bìa làm mô hình mặt phẳng Khi dạy đến từng

phần tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy bằng mô hình trực quan đó, sau đó yêu cầu học

sinh vẽ lại hình biểu diễn của hình

Ví dụ dạy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tôi sẽ lấy ví dụ

Bài toán Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam

giác ABC và BCD Gỉa sử đường thẳng EF

cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J Hãy xác định

điểm J đó

Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ

diện với khung được làm bằng các que các mặt

ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy

đường thẳng EF là đường nào Sau đó cho các em

nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh

của tứ diện Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên

5

a A

a

d

A

bảng vẽ hình biểu diễn

Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trên

mặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) không

phải chỉ là phần chứa tam giác BEF

Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết

diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng Tôi sẽ sử dụng mô hình là một

khung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy

thiết diện

2 Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong

không gian

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( )

thẳng d với mặt phẳng () ta tìm giao điểm của đường thẳng

d với một đường thẳng a nằm trên mp( ) ( hình 5)

Tóm tắt: Nếu ( )

A d

A a mp 







 

 thì A d mp   ( )

* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:

- Tìm mp() chứa d sao cho mp() cắt mp()

- Tìm giao tuyến a của hai mp() và mp() (hình 6)

* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a Nhiệm vụ

của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và

chọn mp() sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp

đường thẳng a chưa có trên hình vẽ

- Muốn làm được điều đó học sinh cần nắm chắc hệ thống các tiên đề của hình

học không gian

Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

Tiên đề 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho

trước

Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

6

B

D

C

A

K

J I

B

D

C

A

J

Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một

đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

Tiên đề 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều

đúng

* Ví dụ:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao

cho

2

AJ=

3AD Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD)

Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần

tìm chính là đường thẳng BD Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh

điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên

một mặt phẳng và không song song

Hình 7 Hình 8

Lời giải:

Từ giả thiết  IJ và BD không song song

Gọi K  IJ BD

IJ

K BD (BCD)

K 



 

 Kết luận: K  IJ (BCD) (hinh 7)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)

Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó mà

tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt

được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm

là đường thẳng SC Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD)

chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO Từ

đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần

tìm (hình 10)

7

P H

J I

O

E

S

M

F

J I

S

D

C

M

P

J I

O

S

D

C M

Hình 9 Hình 10

Với câu b) (hình 11) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm

trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không

có sự hướng dẫn của giao viên Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng

IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC) Từ đó tìm

được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F ( hình

12)

P

J I

O

S

D

C

M

P

J I

O

E

S

D

C

M

F

Hình 11 Hình 12

Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải

chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với

mp(IJM) Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như

mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC) Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm

giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên

không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình

P

J I

O

E

S

D

C

M

F

Hình 13 Hình 14

8

* Lời giải:

a) Ta có BM(SBD)

Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có

S là điểm chung thức nhất.(1)

Gọi OAC BD  O là điểm chung thứ hai (2)

Từ (1) và (2)  SO (SAC) ( BD)  S

Gọi P=BM SO 

Kết luận: P=BM (SAC)

b) Ta có IM (SAD)

Xét hai mp(SAD) và (SBC) có:

S là điểm chung thứ nhất

Gọi E = ADBC  E là điểm chung thứ hai

 SE = (SAD)  ( SBC)

Gọi F= IM SE  F =IM (SBC) ( Hình 13)

c) Ta có SC (SBC)

Xét 2 mp( IJM) và (SBC)

Ta có JF=(IJM) (SBC)

Gọi H =JF SC  H=SC(IJM) (Hình 14.)

Bài tập tự luyện Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, tâm của

đáy, M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và

B

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường

thẳng SD với mp(P)

b) Xác định các giao điểm E,F các đường thẳng DA, DC với mp(P) và chứng

minh rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng () và ()

* Phương pháp:

Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp

Tóm tắt: Nếu

( ) ( )

B ( ) ( )





 thì AB=( ) ( )   ( Hình 15)

Hình 15

Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:

Dựa vào các định lý sau:

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu

( ) ( ) ( ) ( )=b ( ) ( )= c

a









 thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy

9

* Hệ quả: Nếu

//

( ), b ( ) ( ) ( )= d

a b







 thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b

Hình 16 Hình 17 Hình 18

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu

//( ) ( ) ( ) ( )= b

a a













 thì a//b ( hình 19)

* Hệ quả: Nếu

( ) //

( ) //

( ) ( )= a

d d











 thì a // d ( hình 20)

Hình 19 Hình 20 Hình 21

* Đlý 3 (Sgk trang 67) Nếu

( ) // ( )

( ) ( ) a





( ) ( ) //

b

a b

   





* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai

điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ Nếu

trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định

lý và hệ quả nêu trên)

* Ví dụ:

Bài 3: Trong mp( ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD

cắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm ngoài mp() Tìm giao tuyến của các mp

sau:

a) Mp (SAB) và mp(SCD)

b) Mp(SAC) và mp(SBD)

c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC)

* Nhận xét:

Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm

chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 22) Tương tự đối với hai mp(SAC)

10