CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Một hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm, chẳng hạn hàm số y  x.. Hàm số không có điểm cực đại và một điể

§ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm cực đại, cực tiểu

Cho hàm số y  f x( ) xác định, liên tục trên ( ; ),a b (cĩ thể a là , b là  và ) x ( ; ) :a b

 Nếu tồn tại số h  sao cho ( )0 f x f x( ) với mọi x (x h x;  h) và x x thì ta

nĩi hàm số ( )f x đạt cực đại tại điểm x

 Nếu tồn tại số h  sao cho ( )0 f x f x( ) với mọi x (x h x;  h) và x x thì ta nĩi hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm x

Giả sử y  f x( ) liên tục trên khoảng K (x h x;  h) và cĩ đạo hàm trên K hoặc

trên K \ { },x với h  0. Khi đĩ:

 Nếu f x( )0 trên khoảng (x h x; ) và f x( )0 trên khoảng ( ; x x h) thì x là một điểm cực đại của hàm số ( ).f x

 Nếu f x( )0 trên khoảng (x h x; )

  và f x( )0 trên khoảng ( ; x x h)

  thì x là một điểm cực tiểu của hàm số ( ).f x

Điểm cực tiểu Điểm

cực tiểu

Tiếp tuyến

Nĩi cách khác:

 Nếu f x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( )

y  f x đạt cực tiểu tại điểm x

 Nếu f x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( )

y  f x đạt cực đại tại điểm x

2 Định lí 3

Giả sử y  f x( ) cĩ đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h x;  h), với h  0. Khi đĩ:

 Nếu ( )y x  0, ( )y x  0 thì x là điểm cực tiểu

 Nếu ( )y x o 0, ( )y x o  thì x0  là điểm cực đại

Chú ý Một hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số

bằng 0, hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm, chẳng hạn hàm số y  x

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu



 Bài tốn: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu cĩ) của hàm số y  f x( )

 Phương pháp:

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ). Tìm các điểm , ( 1,2, 3, , )

i x i  n mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định  Bước 3 Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i  Bước 4 Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 2) BÀI TẬP VẬN DỤNG 1 Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên:  Hàm số đạt cực tiểu tại: x   1  Hàm số đạt cực đại tại: x 2  Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số: yCĐ 1  Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số: yCT   3  Điểm cực đại của đồ thị hàm số: M(2;1)  Điểm cực tiểu đồ thị hàm số: N  ( 1; 3) 2 Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên:  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số:

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

3 Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên:

x   1 0 1 

y    0  

y 1  

  1   Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số:

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

4 Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên: x   1 0 1  y  0   0 

y 4   

  4  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số:

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

5 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị:  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số:

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

6 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị:  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số:

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

7 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị:  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

8 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị:  Hàm số đạt cực tiểu tại:

 Hàm số đạt cực đại tại:

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số:

O

x y

1

 2 2



3

8 Giá trị cực đại của hàm số y x3 3x  1

bằng

Lời giải Tập xác định D  

    



    



Giới hạn: lim

   và lim

  

x   1 1 

y  0  0 

y

Giá trị cực đại y CĐ 3. Chọn A

9 Giá trị cực đại hàm số y x3 12x  1 bằng

A 17. B 2 

10 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: 3 2 3 1 y   x x  là A x 0 B M  ( 2; 19) C N(0;1) D x   2

11 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: 4 2 2 5 y   x x  là A A ( 1;6) B x 0 C 5 D B(0;5)

12 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: 4 4 2 3 y x  x  là A (0; 1). B (0; 3) C ( 2; 1). D ( 2; 1).

13 Giá trị của tiểu của đồ thị hàm số 4 2 2 2 y   x x  bằng A 2 B (0;2) C (1;3) D 3

14 Cho hàm số

1

x x y

x

 

 Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A x   1 B x   2

C x 0 D ( 2; 3). 

15 Gọi M n, lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số 2 3 3 2 x x y x      Giá trị của M2 2n bằng A 6 B 7 C 8 D 9

16 Tìm giá trị cực đại yCĐ (nếu có) của hàm số 2 3 2 y   x x A yCĐ 0 B yCĐ 2 C yCĐ 3 D y CĐ 3

17 Tìm cực đại của hàm số y x 1x2 A 2 2  B 2 2   C 1 2   D 1 2

BÀI TẬP VỀ NHÀ 1 Câu 1 (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã đề 104) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Câu 6 (THPT Nhân Chính Hà Nội 2019) Cho hàm số y  x2  x 20. Mệnh đề nào sai ?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 4)

x x y

18 Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục

trên , có f x( )x x3( 2) (2 x 9). Hàm

số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm

C x  9 D x 1

Lời giải Tập xác định: D  

Ta có: f x( )x x3( 2) (2 x 9) 0

3

2



Bảng xét dấu f x( ) (mỗi ô thử 1 điểm):

x  0 2 9 

( )

f x  0  0  0 

( )

f x

Hàm số đã cho y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x 9 Chọn đáp án C 19 Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên  có , f x( )(x 1)(3x). Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm A x 1 B x 2 C x 3 D x 0

20 Cho hàm f x( ) có f x( )x x2( 1)(x 2)3 x    Điểm cực tiểu của hàm số f x( ) là A x   2 B x  0 C x 1 D x   3

21 Cho hàm số y  f x( ) và có đạo hàm 2 3 ( ) ( 1) ( 2) (2 3), f x  x  x  x   Số x điểm cực trị của hàm số y  f x( ) là A 3 B 2 C 0 D 1

22 Cho hàm số ( )f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  ( )f x là đường cong

như hình vẽ Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x  4/3

B Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x  0.

C Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x   2

D Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x  4/3

Lời giải tham khảo

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại x   Chọn đáp án C 2

23 Cho hàm số ( )f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  ( )f x là đường cong

như hình vẽ Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x   1

B Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x  0.

C Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x   2

D Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x 2

2.1 Cho hàm số ( )f x có đồ thị ( ) f x của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi đó trên , K

hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

24 Đồ thị hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hàm số y  f x( )3x 2019

có mấy điểm cực trị ?

A 1

B 2

C 3

D 4

25 Cho hàm số ( ) xác định trên  và có đồ thị f x( ) như hình vẽ bên dưới Hàm số ( ) ( ) g x f x x đạt cực đại tại A x   1 B x  0 C x 1 D x 2

26 Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm đạo hàm y  f x( ) như hình vẽ Xác định giá cực tiểu của hàm số g x( ) f x( )x A f(1) 1. B x 1 C f(0) D f(2)2

27 Cho hàm số ( ) có đồ thị y  f x( ) như hình Hỏi hàm 3 2 ( ) ( ) 2 3 x g x  f x  x  x đạt cực đại tại A x   1 B x  0 C x 1 D x 2

28 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm, liên tục trên  và có đồ thị y  f x  ( ) như hình vẽ Xét hàm số 2 3 4 2 ( ) 3 ( 2) 3 2 g x  f x   x  x Hàm số ( ) đạt cực đại tại điểm A x   1 B x 1 C x 0 D x 2

O x y

hàm f x( )x(1x) (32 x) (3 x 2) 4 Điểm cực tiểu của hàm số y  f x( ) là

A x 2

B x 3

C x 1

D x  0

Câu 9 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam 2019) Cho hàm số y  f x( ) liên tục

trên  và có đạo hàm f x( )(x 2)(x 1)2018(x 2)2019. Khẳng định nào đúng ?

A Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x  2

B Hàm số y  f x( ) đồng biến trên mỗi khoảng (1;2) và (2;)

C Hàm số y  f x( ) có ba điểm cực trị

D Hàm số y  f x( ) nghịch biến trên khoảng ( 2;2).

Câu 10 (THPT HOA LƯ A – Hà Nội năm 2018) Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên  và

đồ thị hàm số y  f x( ) trên  như hình vẽ Mệnh đề nào đúng ?

A Hàm số y  f x( ) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số y  f x( ) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

C Hàm số y  f x( ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số y  f x( ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Câu 11 (Sở GD & ĐT Hâu Giang 2018) Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên  và

hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Khẳng định nào đúng ?

A ( ) đạt cực đại tại x 1

B ( ) đạt cực đại tại x 0

C ( ) đạt cực đại tại x  1

D ( ) đạt cực đại tại x  2

Câu 12 (THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phúc Yên 2018) Cho hàm số y  f x( ) có đạo

hàm liên tục trên  Đồ thị hàm số y  f x( ) như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm

Câu 13 (THPT Mộ Đức – Quãng Ngãi năm 2018) Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên 

Biết hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng về cực trị của hàm số g x( ) f x( )x

A Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

B Hàm số không có điểm cực đại và một điểm cực tiểu

C Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

D Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

29 Cho hàm số  ( )y f x có đồ thị như hình vẽ Đồ thị hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ?

A 2.

B 3.

C 4.

D 5

Từ đồ thị hàm số y  f x( ). Hãy nên cách vẽ đồ thị hàm

số y  f x( )





30 Cho hàm số y  ( )f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm số  ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A 2 B 3 C 4 D 5

31 Biết đồ thị hàm số y x3 3 x2 có dạng như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y  x3 3x2 có bao nhiêu điểm cực trị ? A 2 B 3 C 4 D 5

32 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 42) Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A 2 B 3 C 4 D 5

33 Cho hàm số y  x4 ax2 b với a b, là hai số thực dương Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ? A 3 B 7 C 6

D 5

34 Cho hàm số  ( )y f x có đồ thị như hình vẽ Đồ thị hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ?

A 2

B 3

C 4

D 5

Từ đồ thị hàm số y  f x( ). Hãy nên cách vẽ đồ thị hàm số y  f x( ) 



35 Cho hàm số y   x3 3x2 3x  có đồ thị như hình Đồ thị 1 3 2 3 3 1 y  x  x  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A 1 B 2

C 3 D 4

36 Cho hàm số y x53x2 2x  có đồ thị bên Đồ thị 2 5 2 3 2 2 y  x  x  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A 5 B 2 C 3 D 4

37 (THPT Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A 2 B 3 C 4 D 1

38 Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm f x( )(x 1) (4 x 2) (5 x 3) , 3    Số điểm cực x trị của hàm số y  f x  là A 2 B 3 C 5 D 1

O x y

đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y  f x( ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 16 (Sở GD & ĐT Trà Vinh 2019) Cho hàm số ( )ax3 bx2 cx d có bảng biến

thiên bên dưới Hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ?

Câu 18 (Sở GD & ĐT Phú Thọ năm 2017) Cho bảng biến thiên của hàm số y x3 3x bên

dưới Hàm số y  x3 3x có mấy điểm cực trị ?

39 Gọi A B, lần lượt là hai điểm cực tiểu của

đồ thị hàm số y x42x2  và 3 C là

điểm cực đại Tính độ dài AB và diện tích

tam giác OAB với O là gốc tọa độ Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC

Lời giải Tập xác định D  

   



         

y  0  0  0 

y

Hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

( 1;2),

A  B(1;2) và điểm cực đại là C(0; 3)

AB  (x B x A) (y B y A) 2



 Tính diện tích OAB với O(0;0) :

1.2 1.2 2

2 (1;2) OAB

OA

S

  

 







 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

G

G

x

G

y



Cần nhớ:

AB (x B x y A; B y A)



AB  (x B x A)2 (y B y A) 2

 I là trung điểm 2

2

I

I

x x x

AB

y y y

 



 



 G là trọng tâm 3

3

G

G

x x x x

ABC

y y y y

 



 



 Diện tích tam giác ABC :

2

( ; ) ABC

AB a b

AC c d 

 

 







40 Gọi A B, lần lượt là hai điểm cực đại của

đồ thị hàm số y  x4 8x2  và 2 C

là điểm cực tiểu Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ

Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

41 Gọi A B, lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2 4 y  x  x  Tìm tọa độ trọng tâm G và diện tích của OAB. Tính AB

42 Biết M(0;2) và N(2; 2) là các điểm cực trị

của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d

Tính giá trị của hàm số tại x  2

Lời giải Ta có: y  3ax2 2bx  c

 Do điểm M(0;2) là cực trị

(0) 0

(0;2)

y

 



 



0 2

c

d

 



  

 (1)

 Do điểm N(2; 2) là cực trị 3 2 (2) 0 ( 2;2) y N y ax bx cx d               12 4 0 8 4 2 2 a b c a b c d              (2)

Từ (1), (2) a 1;b  3;c  0;d 2 Do đó: y  x33x2  2 y( 2)  18 Cần nhớ: Nếu M x y( ; )  là cực trị của đồ thị hàm số ( ) y  f x ( ) 0 ( ; ) ( ) y x M x y y f x            Nếu là điểm cực đại, bổ sung y x( )o 0 Nếu là điểm cực tiểu, bổ sung y x( )o 0 43 Đồ thị hàm số y 2x3 bx2 cx  có 1 (1; 6) M  là một điểm cực trị Tìm tọa độ điểm cực trị còn lại của đồ thị hàm số đó

44 Biết 7 1; , (2;3) 2 A  B      là các điểm cực trị của đồ thị 3 2 y ax bx cx d Tìm y(3)

BÀI TẬP VỀ NHÀ 4 Câu 20 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2018) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 21 (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa 2018) Cho hàm số y x33x2  có đồ thị là 2 ( ).C

Gọi A B, là các điểm cực trị của ( ).C Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A 2 5 B 5

Câu 22 (THPT Quãng Xương – Thanh Hóa 2018) Đồ thị hàm số y x3 3x  có hai điểm 2

cực trị A, B. Diện tích tam giác OAB với O(0;0) là gốc tọa độ bằng

A 2 B 1

2

Câu 23 (THPT Hoa Lư A – Ninh Bình năm 2018) Gọi A và B là các điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số y x4 2x2  Diện tích của tam giác 1 OAB (O là gốc tọa độ) bằng

A 2

B 4

C 1

D 3

Câu 24 (THPT Thạch Thành – Thanh Hóa 2018) Đồ thị hàm số y x4 ax2 b có điểm cực

tiểu là M ( 1; 4). Giá trị của 2a bằng b

Câu 25 (THPT Kim Liên – Hà Nội 2018) Cho hàm số y x3 2x2 ax có đồ thị b ( ).C

Biết đồ thị ( )C có điểm cực trị là A(1; 3). Giá trị của 4ab bằng

Câu 26 (Sở GD & GD Thanh Hóa năm 2018) Đồ thị hàm số y x3 ax2 bx  đi qua c

điểm A(1;0) và có điểm cực trị M ( 2;0). Giá trị của biểu thức a2 b2 c2 bằng

A 25

B 1

C 7

D 14

Dạng toán 2 Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = xo cho trước

Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị



 Bài tốn Tìm tham số để hàm số y  f x( ) đạt cực trị tại điểm x x ?

 Phương pháp:

 Bước 1 Tìm tập xác định D. Tính đạo hàm y

 Bước 2 Dựa vào nội dung định lí 1:

Nếu hàm số y  f x( ) cĩ đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x thì ( )f x 0



 Bước 3 Với m vừa tìm, thế vào hàm số và thử lại (dựa vào định lí 2 và 3)

 Lưu ý:

 Đối với hàm số bậc ba nên thử lại bằng nội dung định lý 3 (phù hợp trắc nghiệm) Giả sử y  f x( ) cĩ đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( ; ).a b

Nếu ( )y x   0, ( )y x  0 thì x là điểm cực tiểu

Nếu ( )y x o  0, ( )y x o  thì x0  là điểm cực đại

 Đối với các hàm khác chẳng hạn như bậc bốn trùng phương (thiếu b), hoặc hàm phân thức,… nên thử lại bằng định lí 2 (tính y và xét dấu, lập bảng biến thiên)

3

y  x mx  m  x  Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  3

C m {1;5} D m  3

Lời giải Cĩ

 



Vì x 3 là cực đại (3) 0

(3) 0

y y

 



   

3

m

m

m





     



Cần nhớ: Hàm y ax3 bx2 cx  d

 x x là cực đại ( ) 0

( ) 0

y x

y x

 



   





 x x là cực tiểu ( ) 0

( ) 0

y x

y x

 



   





2 Cho hàm

3

2 ( 2 1) 3

x

y mx  m m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 1

A m 2 B m  3

C m  1 D m 0

3 Cho 1 3 2 2

3

y  x mx  m  x  Tìm

m để hàm số đạt cực tiểu tại x 3

A m  1 B m 5

C m 1 D m   7

4 Cho hàm số y x4 2(m1)x2 m2 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 A m   1 B m  1 C m  1 D m \( 1;1). 3 2 0 4 4( 1) 0 1 x y x m x x m             m   1 0 m  1  Khi đó: x  0  y  0  y HS đạt cực tiểu tại x  nên nhận 0 m  1 m   1 0 m  1  và có bảng xét dấu:

m   1 0 m  1  và có bảng xét dấu

5 Hàm số y  x4 2mx2  đạt cực tiểu 1 tại điểm x  khi 0 A m 0 B  1 m0 C m   1 D m 0

6 Hàm số y x4 2mx2 m4 2m 5 đạt cực tiểu tại điểm x  1 khi A m  1 B m  1 C m 1 D m 1

7 Cho hàm số y x3 3x2 9x  Viết 1.

phương trình đường thẳng nối hai điểm

cực trị của đồ thị hàm số đã cho

A y 8x2 B y  8x2

C y  8x2 D x3y 1 0

Lời giải 1 Phương trình đường thẳng nối hai

điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là đường

thẳng y  x với  x là phần dư bậc

nhất trong phép chia y cho y

Chia đa thức:

2 2

2 3

3 3 6 1 2 3 8 2 x x x x x x x x x x x x x x                 Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là y  8x2. Chọn đáp án B Cách 2 Sử dụng casio bấm MODE 2 và

100 3 CALC x i m y y y i y x y                8 Biết đồ thị hàm số y x3 3x  có hai 1 điểm cực trị A B, . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A y   x 2 B y  x 2 C y  2x1 D y 2x1

9 Cho hàm số y x3 3x22. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A y  x 4 B. y 2x 2 C y   x 1 D y  2x 2

10 Cho hàm số y   x3 3x2  Viết 1 phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho A y  7 0 B y 2x 1 C y 2x1 D y 7x1





11 Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại

với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

 3  

y x x m

đi qua điểm M(3; 1).

12 Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2 2 y x  x mx  qua M(0;1)

13 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng : (2 1) 3 d y m x m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x33x2  1 Lời giải Sử dụng casio, tìm được đường thẳng nối hai điểm cực trị là d y:  2x1 Vì d d a a1 2   1 (2m 1).( 2) 1      3 4 m    Cần nhớ: Cho hai đường thẳng d và 1 d có 2 dạng d1 :y a x1  và b1 d2 :y a x2  thì b2 1 2 1 2 1 2 a a d d b b         và d1 d2 a a1 2   1 14 Tìm m để đường thẳng d y:  x 2 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 2 3( 1) 6 y  x  m x  mx

15 Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x33x2 mx  song 2 song với đường thẳng d y:  4x 3

16 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2mx  vuông góc 2 với đường thẳng d : 4x   y 3 0

BÀI TẬP VỀ NHÀ 5 Câu 27 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 32) Tìm giá trị thực của tham số

Câu 28 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2018) Biết rằng hàm số y x3 2x2 mx  3

đạt cực tiểu tại x 1. Giá trị của m bằng

Câu 32 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2018) Hàm số y x3 2ax2 4bx 2019 đạt

cực trị tại x  1. Khi đó hiệu ab bằng

y  m x đạt cực đại tại x  0

A m 1 B m 1

C Không có m D m 1

Câu 35 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2018) Phương trình đưdờng thẳng đi qua hai

Câu 36 (THPT Trần Phú – Tp Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm giá trị thực của tham số m sao

cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2mx  2song song với đường thẳng d : 4x  y 3 0

Câu 37 (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên 2018) Biết đường thẳng d y: (3m1)x3

vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 38 (Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ năm 2018) Cho hàm số y   x3 3x2  Biết có hai 4

giá trị m m1, 2 của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số tiếp xúc với đường tròn ( ) : (C x m)2 (ym1)2 5. Tổng m1 m2 bằng

x

 



 có hai điểm cực trị A B, nằm trên đường thẳng d có phương trình d y: axb. Giá trị của a bằng b

x

tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này vuông góc với

đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng tọa độ

Dạng toán 3 Biện luận hoành độ cực trị (Vận dụng & vận dụng cao)



 Cần nhớ:

m m

 



  

 Cần nhớ Hàm số có n cực trị y0 có

n nghiệm phân biệt PT ax2 bx  c 0

có hai nghiệm phân biệt 0

.0

7 Cho y (m1)x3 (m1)x2  Tìm x.

m để hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời

điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu

Lời giải Tập xác định D  

Hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm

cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu

BÀI TẬP VỀ NHÀ 6 Câu 41 (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh năm 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham

Câu 44 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Tp Hồ Chí Minh năm 2017) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số thực m để hàm số y (m2)x3 3x2 mx  có điểm cực 5đại nằm bên trái điểm cực tiểu

y  mx  m x mx  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho

đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại

Câu 48 (THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm 2017) Có bao nhiêu số nguyên của m để hàm

số y mx4 2(m25)x2  có đúng 4 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại ?

17 Cho hàm số y x3 4x2  (1 m x2)  1.

Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm

cực trị nằm hai bên so với trục tung Oy

Lời giải Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực

trị nằm về hai bên so với trục tung Oy

điểm cực trị nằm hai bên so Oy

y  x mx  m  x

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực

trị nằm bên trái trục tung

25 Tìm m biết giá trị cực tiểu của hàm số ,