SKKN bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1... CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

Trang 1

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa

dấu giá trị tuyệt đối

Tác giả: Hoàng Thị Hiền

Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

1

Trang 2

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa

dấu giá trị tuyệt đối

Tác giả: Hoàng Thị Hiền

Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

Trang 3

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình toán phổ thông, dạng bài toán: Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong các dạng bài toán đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học

Nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trịcủa hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán.Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông tôi chọn đề tài:

“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”

2 Tên sáng kiến:

“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Hiền

- Địa chỉ tác giả: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng vào giảng dạy chohọc sinh lớp 12 THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 10 năm

2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

3

Trang 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phần I CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1.Các phép biến đổi đồ thị

a.Các phép tịnh tiến đồ thị

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) Khi đó, với số thực a > 0 ta có:

 Hàm sốyf x( )acó đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oylên trên a đơn vị

 Hàm sốyf x( ) a có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Oy xuống dưới a đơn vị

 Hàm sốyf x a(  ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Ox qua trái a đơn vị

 Hàm sốyf x a(  ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Ox qua phải a đơn vị

b Các phép biến đổi đồ thị khác

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:

 Hàm số y f x( ) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox

 Hàm số yf(x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy

 Hàm số

( ) khi x 0 (| |)

 có đồ thị (C’) bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm trên trục Oy)

- Bỏ phần đồ thị của( )C nằm bên trái trục Oy

- Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C nằm bên phải trục Oy qua trục Oy

 có đồ thị (C’) bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (cả những điểm nằm trên Ox)

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox

- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox

2 Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0 D

+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0sao cho (a;b)  D và f x( )  f x( ), 0  x ( ; ) \a b  x0

Trang 5

+ x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0sao cho (a;b)  D và f x( )  f x( ), 0  x ( ; ) \a b  x0

PHẦN II : NỘI DUNG DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x( )

Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số y f x( ) ta có dùng một trong

ba cách sau:

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

Ta có

( ) khi (f(x) 0) ( )

Từ đồ thị yf x( ) suy ra đồ thị y f x( ) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên trục hoành (kể cả những điểm nằm phía trên trục hoành)

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành

Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:

Nhận xét 1:

Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0,

thì số điểm cực trị của hàm số g x( ) f x( ) bằng k + h + e

Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì x0 cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|

f x không xác định

+) Ta có g x( )  f x( )  f x2( )  g x( ) 0  f x( ) 0  f x2( ) 0 Vì f x( ) 0 xác định nên2

0

( )

f x xác định Vậy g x( ) 0 xác định (*)

5

Trang 6

f x không xác định Vậy g x'( ) 0 không xác định.(**)

Từ (*), (**) suy ra x0 cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|

Chứng minh nhận xét 1

Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số g x( )= f x( ) bằng k + h + e

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số yf(axb)c bằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Hay số điểm cực trị của hàm số yf(axb)c bằng số điểm cực trị của hàm số

Trang 7

Bài 1:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm số điểm

cực trị của hàm số y| ( ) |f x

Lời giải

Cách 1: Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số

| ( ) |

yf x (theo phép suy ra đồ thị )

Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số y| ( ) |f x có 5 điểm cực trị

Cách 2:

+ Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |f x bằng 2 + 3 + 0 = 5

Bài 2: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm

số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |f x

Lời giải

Cách 1:

Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số y| ( ) |f x

Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị

Cách 2:

+ Hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị

Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn

Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x( ) bằng 3 + 2 + 0 = 5

Bài 3:

Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên

như hình vẽ Đồ thị hàm số y f x  có

bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3

Bài 4: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ Đồ thị hàm số

 

y f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

7

Trang 8

Lời giải

+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x  là 3 + 0 + 0 = 3

Bài 5: Hàm số yx4 4x23 có bao nhiêu điểm cực trị?

+ Hàm số y x 4  4x2 3 có 3 điểm cực trị

+ Phương trình x4 4x2  3 0 có 4 nghiệm đơn

+ Phương trình x4  4x2   3 0 có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàmsố yx4 4x23 là 3 + 4 + 0 = 7

Bài 6: Tính tổng các giá trị cực đại của hàm số

Trang 9

+ Phương trình x4 4x2 2 0  có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình x4  4x2  2 0  có 0 nghiệm bội lẻ

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số yx4 4x2 2 là 5

Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A( 2;6), B( 2;6)

Tổng các giá trị cực đại của hàm số yx4  4x2 2 là 12

Bài 7: Biết đồ thị hàm số y= ax3bx2cx d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.Hàm số y= ax3bx2cx d có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

+ Vì đồ thị hàm số y= ax3bx2 cx d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên căn cứvào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số y=ax3bx2cx d có hai điểm cực trị x x1 , 2.+ Mặt khác ax3bx2cx d a x x(  1 ) (2 x x 2 ) Do đó phương trình

3 2

ax bx cx d  0(a 0)có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép

Vậy số điểm cực trị của hàm số y= ax3bx2 cx d bằng 2 + 1 = 3

Bài 8: Biết đồ thị hàm số

3 2

y= ax bx cx d có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành Số điểm cực trị của hàm số y= ax3bx2cx d

Lời giải

Đồ thị hàm số y= ax3bx2cx d có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trụchoành nên ax 3 bx2 cx d  0 có 3 nghiệm đơn

Vậy số điểm cực trị của hàm số y= ax3bx2 cx d là 3 + 2 =5

Bài 9: Cho hàm số f x( ) ax 4 bx3cx2dx e a b c d R a ( , , ,  , 0)

x

g x f

f f

Trang 10

Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số

Vẽ đồ thị hàm số f x  x3 3x2 9x 5

Ta thấy hàm số yf x  có 2 điểm cực trị nên   2

với trục hoành là 3

Để số giao điểm của đồ thị   2

Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số yx3 3x2 m 2 có đúng năm điểm cực trị

Lời giải Xét hàm số

Vậy với 2<m<6 thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị

Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y3x4  4x3 12x2 mcó 7 điểm cực trị?

Lời giải

Trang 11

Xét hàm sốyf x( ) 3 x4 4x3 12x2m có

Để đồ thị hàm sốy3x4 4x312x2m có 7 điểm cực trị Û phương trình f(x) =

0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 13: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

Trang 12

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

Suy ra đồ thị hàm số

h x  f x  f x m  f x  m

có 3 điểm cực trị

khi và chỉ khi

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

Suy ra đồ thị hàm số

Trang 13

1.2.Bài toán mở rộng 1: “Cho hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị của hàm số y= f ax b( + )”

Bài 1: Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số

Từ đồ thị hàm số yf x  1suy ra đồ thị hàm sốy| f x  1 |

Nhìn đồ thị hàm số y| f x  1 | ta thấy,hàm sốy f x 1 có 7 điểm cực trị?

Cách 2: Nhìn đồ thị hàm số yf x ta thấy

+ Đồ thị hàm số yf x  có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f x   0có 4 nghiệm đơn

+ Phương trình f x   0có 0 nghiệm bội lẻ

Suy ra, hàm sốy| f x |có 3 + 4 = 7 điểm cực trị

+ Vì số điểm cực trị của hàm số y| (x-1) |f bằng số điểm cực trị của hàm số

 

y f x nên hàm số y| (x-1) |f có 7 điểm cực trị

Bài 2: Cho hàm sốyf x( ) có đạo hàm f x'( )x(4 x2), x R Hàm số

Suy ra hàm sốyf x( ) có 3 điểm cực trị

+ Số giao điểm của đồ thị yf x( ) và trục hoành nhiều nhất là 4 hay phươngtrình f x ( ) 0có nhiều nhất 4 nghiệm

Vậy hàm số y| ( ) |f x có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Vậy hàm số y| (2019f  x) | có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Bài 3 : Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

g x f x m

có 5 điểm cực trị ?

13

Trang 14

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số f x  có 2điểm cực trị dương

 Hàm số f x có 2.2 + 1 = 5điểm cực trị

 Hàm số f x m  có 5điểm cực trị với mọi m

Vậy có vô số giá trị m để hàm số g x f x m   có 5 điểm cực trị

1.3 Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị của hàm số y= f ax b( + +) c ”

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x 2 :

+ Hàm số y = f(x) + 2 có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x 2 bằng 3 + 2 + 0 = 5

Bài 2: Cho hàm số

Trang 15

- Tịnh tiến đồ thị hàm số y=f x( )theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được f x ( ) 4

- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số

( ) 4

f x  qua trục Ox tađược g x( )= f x( ) 4+

Dựa vào đồ thị hàm số g x( )= f x( ) 4+ suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),(0 ;4), (2 ;0) Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4

Bài 3: Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên nhưhình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g x( ) | ( f x 2017) 2018 | có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Đồ thị hàm số u x( )f x(  2017) 2018 có được từ đồ thị f x( ) bằng cách tịnh tiếnđồ thị yf x( ) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị

Suy ra bảng biến thiên của

+ Hàm số y = u(x) có 2 điểm cực trị

+ Phương trình f x ( 2017) 2018 0  có 1 nghiệm đơn

+ Phương trình f x ( 2017) 2018 0  có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số g x( ) | ( f x 2017) 2018 | bằng 2 + 1 + 0 = 3

Trang 16

Bài 4: Cho hàm số

 

yf x xác định trên \ 1  và liên tục trên từng khoảngxác định, có bảng biến thiên như hình vẽ Tính tổng tung độ các điểm cực trị củađồ thị hàm số g x( ) f x  3

Lời giải

Bảng biến thiên của hàm số u x( )f x  3 như hình vẽ

+ Đồ thị hàm sốu x( )f x  3 có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số

 

g x  f x  có 1 điểm cực trị là A’(3;4)

Phương trình f x   3 0 có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số y f x  3 có 3điểm cực trị đều có tung độ là 0

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x  3 bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4

Bài 5: Cho hàm số yf x( ) thỏa mãn f( 2) f(2) 0 và có đạo hàm

+ Bảng biến thiên

+ Hàm số yf x( ) có 3 điểm cực trị

Trang 17

+ Phương trình f x ( ) 0 có 0 nghiệm đơn

+ Phương trình f x ( ) 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy hàm số y| (2f  x) 3 | có 3 + 0 + 0 = 3 điểm cực trị

Bài 6: Cho hàm số f x( ) ax 4bx2 c biết a0, c2018 và a b c   2018 Tìmsố điểm cực trị của đồ thị hàm số g x( ) | ( ) 2018 |f x 

0 2018

a

a c

phương) Vậy hàm số g x( ) | ( ) 2018 | f x  có 7 điểm cực trị

Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:

Chọn

1

4 2019

g x  f x  có 7 điểm cực trị

Bài 7: Cho hàm số f x( ) ( m41)x4 (2m1m24)x2 4m15 với m là tham sốthực Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x( ) f x( ) 1

( ) 1 0

f x y

Trang 18

 ( ) 1 0vô nghiệm Vậy hàm số g x( ) f x( ) 1 có 3 cực trị.

Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa bài toán)

Ta cho m = 0, ta được hàm số

x x x

Bảng biến thiên

Do đồ thị hàm sốyf x( ) 1 nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàmsố y| ( ) 1|f x  cũng chính là đồ thị của hàm số yf x( ) 1 Khi đó số điểm cựctrị của hàm số y| ( ) 1|f x  là 3

Bài 8: Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình vẽ Tìm tất

cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

f x m với trục hoành là 3

Để số giao điểm của đồ thị f x m với trục hoành là 3, có 2 trường hợp xảy raTịnh tiến đồ thị f x  theo phương Oy xuống phía dưới một đoạn có độ dài nhỏhơn 1 đơn vị

Tịnh tiến đồ thị f x theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3đơn vị

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,24 MB