Chuyên đề LTĐH. Cực trị của hàm số

Tài liệu được bố cục rõ ràng, gồm có hệ thống lý thuyết, phân loại các dạng bài toán hay gặp về cực trị của hàm số trong các đề thi đại học, cao đẳng; các ví dụ minh hoạ, hệ thống bài tập có đáp án.

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số

CHUYỀN ĐỂ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I ĐỊNH NGHĨA (sgk GT12)

Dương Bảo Quốc_THPT Khỏnh Lõm 7

Chỳ ý:

1 Dạng cực trị của hàm số bậc 3: y  f (x) 3 2  

0

y  f (x) cú cực trị  y  f (x) cú CĐ và CT  f x  cú 2 nghiệm phõn biệt    b0 2  3ac > 0

Khi đú, nếu x0 là điểm cực trị thỡ ta cú thể tớnh f(x0) bằng hai cỏch:

+ f x( 0)ax30bx02cx0d

+ Lấy f(x) chia cho f’(x), ta cú: f x ( )  q x f x ( ) '( )  r x ( ); r x ( )  Ax  B Khi đú: f x ( )0  Ax0 B

Từ đú, ta cũng cú: y  Ax  B là PT của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

 Đối với hàm số tổng quỏt : y  f (x) ax3 bx2 cxd a0 thỡ đường thẳng đi qua cực đại, CT cú

2

2 Dạng cực trị của Hàm số: y  f (x) ax4bx2c a 0

Cực trị: Xột f x 0

cú

( )

f x













đúng 1 nghiệm

có đúng 1 cực trị

1 nghiệm đơn

có đúng 2 nghiệm

1 nghiệm kép

có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ và CT

4 Kỹ năng tớnh nhanh cực trị

Giả sử f (x) triệt tiờu và đổi dấu tại x  x0, khi đú f (x) đạt cực trị tại x0 với giỏ trị cực trị là   4 2

f x ax bx c

Trong trường hợp x0 là số vụ tỉ thỡ cực trị f (x0) được tớnh theo thuật toỏn:

Bước 1: Thực hiện phộp chia f (x) cho f (x) ta cú:        

f x q x f x  r x

Bước 2: Do f (x0)  0 nờn f (x0)  r(x0)

Hệ quả: Cỏc điểm cực trị của hàm bậc 4: y  f (x) nằm trờn y  r(x) (parabol)

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số

MỘT SỐ LOẠI CÂU HỎI HAY GẶP VÀ HƯỚNG GIẢI

Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 9

MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 Hàm số bậc ba:

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số

HD

( ) : (21 ) 3

m

d y m x 

+

2

21

3 10

(21 ).3 1 9

m

m

 







HD Đường thẳng qua hai cực trị (d): 2

y   x  ; 6 6

m

OAOBm m  m  (nhận 3

2

m   )

Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 11

HD

+ y  ' 0 có hai nghiệm phân biệt khi m >0

+ M( m; 2 2 m x N), ( m; 2 2 m x) ; MN: 2 mx    y 2 0

IAB

S  IA IAB AIB 

2 2

AIB   d I MN   m  

HD y '  3( x2  m ); HS có CĐ, CT m0; A( m; 2 2 m m B), ( m; 2 2 m m)

AB y   mx; 1

2

IAB

S  AB d I AB  m

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số f x ( )  x3 3 x2 m x2  m có CĐ, CT đối xứng nhau qua 1 5

:

y x

  

HD - Hs có CĐ, CT  f x '( )  0 có hai nghiệm phân biệt    ' 0   3  m  3

- Đ thẳng qua 2 điểm CĐ, CT (d):

2 2

2

m

y  m  x   m ;

I d

 







Hd

+(Cm) có CĐ, CT khi m < 3

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số +ĐT qua 2 cực trị là (d’): 2( 1) 2

y  x  Có hai trường hợp

- TH1 d//(d’) (loại)

- TH2 Trung điểm I của AB thuộc d  m  0, với I (1; ) m

AB  x  x  y  y    x  x  x x      m     m     m     

2 13

3

ĐS: m 0 m1

ĐS: m = 1

 

Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 13

2

m 

2) Hàm số bậc bốn trùng phương:

+ ycbt  m  0; A(0;m42 ), (m B  m m; 4m22 ), (m C m m; 4m22 )m

0

0

3

m

m

m m

AB BC



















+ Hs có cực trị khi m > 0

+ A(0; 2m24), (B m m; 24), (C  m m; 24)

2

S  y y x  m ; ĐS: m = 1

+ HS có 3 cực trị  1 m1

+ A (0;1  m B ), (  1  m2; 1  m2), C( 1  m2; 1  m2)

( , ) (1 ) 1 2

ABC

S  BC d A BC  m  Dấu “=” xảy ra khi m = 0 ĐS: m=0

Ví dụ 4 (Đề thi TSĐH khối B 2002)

Tìm m để hàm số ymx4 m2 9x2 10 có 3 điểm cực trị

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số

Giải Yêu cầu bài toán y2x2mx2 m2 92 x g x 0 có 3 nghiệm phân biệt

0

m m

 







B CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM QUA

Bài 1 Tìm m để hàm số: 1 3  2 2 2 3 2 1 5

3

y x  m m x  m  xm đạt CT tại x  2

ĐS: m = 3

Bài 2 B.2002

Cho hàm số y  mx4 ( m2 9) x2 10 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

Đáp số: m   3;0  m  3

Bài 3 (B.2007)

Cho hàm số y  x3 3 x2 3( m2 1) x  3 m2 1 Tìm m để hàm số có cực đại, CT và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ

2

m  

Bài 4 B2012 : Tìm m để đồ thị hàm số y  x3 3 mx2 3 m2 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Đáp số: m  2

Bài 5 Tìm m để f x 2x3 3m1x2 6m2x1 có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường

thẳng y  -4x  1

Đáp số: m  1; m  5

Bài 6 Tìm m để f x 2x3 3m1x2 6m12m x có CĐ, CT nằm trên (d): y  4x

Đáp số: m 1

Bài 7 Cho hàm số   2 3  1 2  2 4 3

3

f x  x  m x  m  m x

1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1

2 Gọi các điểm cực trị là x1, x2 Tìm GTLN của A x x1 2 2x1x2

Hướng dẫn:

Ta có: f x 2x2 2m1xm2 4m3

1 Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1  f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x x thoả mãn: 1, 2

1 1 2 1 1 2

x  x  x x     m  5, 3 2

2 1 9  2 8 16 1 9  42 9

A   m  m    m  Với m   thì 4 Max 9

2

A 

Bài 8 Tìm m để hàm số   1 3 2 1

3

f x  x mx xm có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất

Hướng dẫn: 2 13

3

3

AB  xảy ra  m  0

Bài 9 Tìm m để hàm số f x 1mx3 m1x2 3m2x1 đạt cực trị tại x , x thoả mãn x 2x  1

Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 15

ĐS: m   2 2 2

Bài 12 (A 12):

ĐS:m  0

Bài 13 (B.12):

ĐS:m   2

Bài 14 (D.12)

3

m 

Bài 15 (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)

Tìm m để hàm số yx4 2m x2 2 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

ĐS  AB AC m 

Bài 16 Chứng minh rằng: f x x4 6x2 4x6 luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị

B13 (B.2013)

Cho hàm số y  2x3 3(m 1)x  2 6mx (1) , với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai

điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2

ĐS : m  0; m  2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm số f x( )x42(m2)x2m25m5 ; (Cm)

Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, CT tạo thành 1 tam giác vuông cân

Bài 2: Cho hàm số yx33x2m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho  0

120



Bài 3: Cho hàm số : yx3(1 2 ) m x2(2m x) m2 (1) ( m là tham số)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm CT, đồng thời hoành độ của điểm CT nhỏ hơn 1 Bài 4: Cho hàm số y  x4 2 mx2 m2 m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

Bài 5: Cho hàm số : 3 3 2 1 3

y x mx m Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, CT đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Bài 6: Cho hàm số yx4mx32x23mx1 (1) Định m để hàm số (1) có hai CT

Bài 7: Cho hàm số yx42(m2m1)x2m1 (1)

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất

Bài 8: Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 (m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có CĐtại xCĐ, CT tại xCT thỏa mãn: x2CÑ x CT

Bài 9: Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014 Chủ đề2 Cực trị hàm số Bài 10: Cho hàm số: 3   2

y  x  m  x  x m   (1) có đồ thị là (C

m) Xác định m để (Cm) có cực đại, CT

và hai điểm CĐ, CT đối xứng với nhau qua đt: 1

2

y x

Bài 11: Cho y = 1

3x

3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đồ thị (Cm) ) Tìm m, để (Cm) có cực đại, CT và yCĐ+ yCT > 2 Bài 12: Cho hàm số y  x4 2 mx2 m  1 (1) , với m là tham số thực

Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

y f x x  m x m  m Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, CT tạo thành 1 tam giác vuông cân

Bài 14: Cho hàm số: 3   2

yx 3 m 1 x 9xm2(1) có đồ thị là (Cm)

Xác định m để (Cm) có cực đại, CT và hai điểm CĐCT đối xứng với nhau qua đường thẳng 1

2

y x Bài 15: Cho hàm số y x3 (3x1)m (C ) với m là tham số

Tìm các gíá trị của m để đồ thị của hàm số (C) có hai điểm cực trị và chứng tỏ rằng hai điểm cực trị này ở về hai

phía của trục tung

Bài 16: Cho hàm số y  ( m  1 ) x4 2 ( m  1 ) x2 m  7 Định m để hàm số chỉ có CĐ mà không có CT

Bài 17: Cho hàm số y  ( m  1 ) x3 3 ( m  1 ) x  2  m (Cm)

1) Chứng minh họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng

2) Tìm phương trình parabol (P) qua điểm cực đại, CT của (C) và tiếp xúc với y=4x+9

Bài 18: Cho hàm số yx42mx2m1 (1) , với m là tham số thực

Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác

có diện tích bằng 4 2

Bài 19: Cho hàm số yx42m x2 21 (1), trong đó m là tham số thực

Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32 Bài 20 Cho hàm số y  x4 2 mx2 m2 m (1) , với m là tham số thực

Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc

bằng 1200

Bài 21.Cho hàm số 1 3 2

3

y x  x  x (1) Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, CT của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

Bài 22 Cho hàm số y x33x23m21x3m2 (1), với m là tham số thực 1

Tìm m để hàm số (1) có CĐvà CT, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam

giác vuông tại O

Bài 23 Cho hàm số y  x3  3 x2  mx  2 (1) với m là tham số thực

Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục

tọa độ một tam giác cân

Bài 24 Cho hàm số y = x 3 + 2(m – 1)x 2 +(m 2 – 4m + 1)x – 2(m 2 + 1) (1)

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, CT và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

(1) vuông góc với đường thẳng 5

2

9



 x

Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 17

yx  mx C Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, CT củaC mcắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Bài 29 Cho hàm số y  x4 2(1  m x2) 2  m  1 (1)

Tìm m để hàm số có đại cực, CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất Bài 30 Cho hàm số y = x4  2x2 + 2 (1)

Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm CĐ của (C) đến AB bằng 8

Bài 31 Cho hàm số 1 3 2 2 3

3

y x  x  x (1) Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, CT của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

Bài 31 Cho hàm số y  x3  3 x2  mx  2 (1) với m là tham số thực

Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai

trục tọa độ một tam giác cân

Bài 32 Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – 1 (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất

Bài 33 Cho hàm số yx33x2 2  C

Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của  C

tiếp xúc với đường tròn có phương trình xm2ym12 5

Bài 34 Cho h.số y  x3 3 mx2 3( m2 1) x m  3 m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm CĐ của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2lần khoảng cách từ điểm CT của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Bài 35 Cho hàm số y  x3  6 mx2  9 x  2 m (1), với m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị bằng

5

4

Bài 36 Cho hàm số y  x3 3x2 m2 m 1  (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm CĐ, CT là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C( – 2; 4 )

Bài 37.Cho hàm số y  x4  (3 m  1) x2  3 (với m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng

3

2

lần độ dài cạnh bên

Bài 38.Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – 1 (1)

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất

Bài 39 Cho hàm số y  x4 2(1  m x2) 2  m  1 (1)

Tìm m để hàm số có đại cực, CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất

y x  x  m  x m  (1), với m là tham số thực

Tìm m để hàm số (1) có CĐvà CT, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam

giác vuông tại O