Hình học AFIN trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THU HIỀN HÌNH HỌC AFIN TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

HÌNH HỌC AFIN TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

HÌNH HỌC AFIN TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI – 2018

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùngvới sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đếnnay, khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm

ơn chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Hình học cũng như cácthầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quýbáu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóahọc và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắctới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảotận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nênbản khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rấtmong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và cácbạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sựhướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm cùng với sự cốgắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứuvới sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI NÓI ĐẦU 1

1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1 Vectơ 3

1.1.1 Định nghĩa vectơ 3

1.1.2 Một số tính chất của các vectơ 4

1.2 Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 5 1.2.1 Các định nghĩa 5

1.2.2 Điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính 6

1.3 Tích có hướng của hai vectơ 9

1.3.1 Định nghĩa 9

1.3.2 Tính chất 10

2 Không gian afin (3 chiều) 11 2.1 Không gian afin 11

2.1.1 Định nghĩa 11

2.1.2 Tính chất 12

2.2 Phẳng, độc lập afin và phụ thuộc afin 14

2.2.1 Phẳng 14

2.2.2 Độc lập afin và phụ thuộc afin 15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

2.3 Tọa độ afin 17

2.3.1 Mục tiêu afin 17

2.3.2 Tọa độ afin của điểm 17

2.3.3 Đổi mục tiêu afin 17

2.4 Phương trình của mặt phẳng trong không gian A3 19

2.4.1 Phương trình tham số của mặt phẳng 19

2.4.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 20

2.5 Vị trí tương đối của các phẳng 21

2.5.1 Định nghĩa 21

2.5.2 Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng 22

2.6 Một số ví dụ 24

3 Mặt bậc hai 26 3.1 Mặt bậc hai 26

3.1.1 Định nghĩa 26

3.1.2 Giao của mặt bậc hai với đường thẳng 27

3.1.3 Tâm và phương tiệm cận 28

3.1.4 Siêu phẳng kính liên hợp của mặt bậc hai 30

3.1.5 Tiếp tuyến của mặt bậc hai 32

3.2 Phân loại các mặt bậc hai 34

3.2.1 Phương trình chuẩn tắc của mặt bậc hai 34

3.2.2 Các loại mặt bậc hai 37

3.3 Một số ví dụ 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học afin là môn hình học không có bao hàm các khái niệm

về tọa độ gốc, chiều dài hay góc, mà thay vào đó là các khái niệm

về phép trừ của các điểm để cho ra một véctơ Lý thuyết về hìnhhọc afin trong toán học là một phần không thể thiếu của hìnhhọc Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về hình họcafin thấy nó có rất nhiều ứng dụng, vị trí quan trọng và tươngđối khó trong chương trình toán phổ thông

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểusâu hơn nữa về hình học afin, tôi đã chọn đề tài “Hình học afintrong không gian” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những đặc trưng cơ bản và có cái nhìn sâu hơn vềhình học afin trong không gian

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết cơ bản hình học afin trong không gian

• Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quanđến hình học afin trong không gian

5 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 chương :

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Không gian afin

Chương 3 Mặt bậc hai

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Chương này trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản của vectơ vàđịnh lí liên quan đến vectơ Các kiến thức của chương được viết dựatrên tài liệu [3]

Định nghĩa 1.3 Hai vectơ cùng phương −→

AB và −−→

CD được gọi là cùnghướng với nhau nếu chúng có cùng hướng đi từ điểm đầu đến điểmcuối, ngược lại được gọi là hai vectơ ngược hướng với nhau

Định nghĩa 1.4 Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

trong đó −−→x được gọi là vectơ đối của vectơ −→x

1.2 Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc

1, −→a

2, , −→a

k và các số p1, p2, , pk là các hệ số của tổ hợptuyến tính ấy

1, −→a

2, , −→a

k độc lậptuyến tính thì ta có

1.2.2 Điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính

Định lí 1.1 Các vectơ −→a

1, −→a

2, , −→a

k, k > 0 phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là tổ hợp tuyến tính củacác vectơ còn lại

1 và −→a

2 cùng phương, ta sẽ chứng minhrằng có số p1 sao cho −→a

1 = p1−→a

2, hoặc có số p2 sao cho −→a

2 = p2−→a

1 Ta

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Ta chứng minh sự khai triển (1.1) là duy nhất.

Thật vậy, giả sử ngoài khai triển (1.1) ta còn khai triển:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

1.3 Tích có hướng của hai vectơ

OC, hướng của vectơ là hướng từ chân tới đầu, thấy hướngquay từ vectơ thứ nhất −→

Hình 1.2: Minh họa tam diện thuận

Chú ý 1.1 Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→b là một vectơ −→cthoả mãn các điều kiện sau:

1 −→c ⊥−→a và −→c ⊥−→b ;

2 |−→c | = |−→a ||−→b ||sin ϕ|, với ϕ là góc giữa hai vectơ −→a và −→b ;

3 Tam diện tạo bởi ba vectơ −→a ,−→b và −→c là thuận.

Kí hiệu: Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→b là −→a ∧−→b

Hệ quả 1.3 Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khichúng có tích vô hướng bằng vectơ không

Chứng minh.

Giả sử hai vectơ −→a và −→b cùng phương.

Khi đó theo định nghĩa ta có: |−→a ∧ −→b | = |−→a ||−→b ||sin 0| = 0 hoặc

Nếu |sin ϕ| = 0 thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ = π

Vậy hai vectơ −→a và −→b cùng phương.

Chương 2

Không gian afin (3 chiều)

Chương này trình bày về phẳng, phương trình của mặt phẳng và vịtrí tương đối của phẳng trong không gian afin (3 chiều) cùng với một

số ví dụ liên quan Các kiến thức của chương được viết dựa trên cáctài liệu [1], [4]

2.1 Không gian afin

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Cho không gian vectơ V trên trường R, tập A 6= ∅

mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A → V3 Kí hiệuϕ(M, N ) = −−→

M N , với M, N ∈ A Bộ ba (A, ϕ, V3) gọi là không gianafin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:

i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi vectơ −→

u ∈ V3, có duy nhất điểm

N ∈ A sao cho −−→

M N = −→u ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có −−→

M N +−−→

N P = −−→

M P

Không gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết vớikhông gian vectơ V còn gọi tắt là không gian afin A trên trường R.Không gian vectơ liên kết V3 thường được kí hiệu là −→

V Không gian afin A gọi là 3 chiều nếu dim V = 3

M N = −→

0 thì M ≡ N c) Với mỗi cặp điểm M, N ∈ A thì −−→

M N = −−−→

N M d) −→

c) Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có: −−→

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

A0) là một không gian afin trên trường

R vì nó thỏa mãn hai tiên đề sau:

a) Tiên đề về phép đặt vectơ:

Với mọi (M, M0) ∈ A × A0 và mọi (−→u , −→u0) ∈ −→

A ×−→

A0 suy ra tồntại duy nhất cặp điểm (N, N0) ∈ A × A0 sao cho:

ϕ(M, N ) = −→u , ϕ(M0, N0) = −→u0

⇒ ((M, M0), (N, N0)) 7→ (ϕ(M, N ), ϕ0(M0, N0))

b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ: Vì (A, ϕ,−→

A ) là không gianafin nên:

A0) là một không gian afin trên trường R.

2.2 Phẳng, độc lập afin và phụ thuộc afin

Nếu −→α có số chiều số chiều bằng 2 thì α gọi là phẳng 2 chiềuhay là 2- phẳng

Định lí 2.1 Nếu α là 2- phẳng của không gian afin A có phương −→αthì α là không gian 2 chiều liên kết với không gian vectơ −→α

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Vậy ta có thể xét ánh xạ:

ϕα×α : α × α → −→α

và ánh xạ thỏa mãn hai tiên đề i),ii) của không gian afin Tiên đề i)

suy ra từ định nghĩa của phẳng, còn tiên đề ii) đúng vì nó đúng trên

toàn bộ A

Vậy (α, ϕα×α, −→α ) là một không gian tức α là không gian afin liên kết

với không gian vectơ −→α

2.2.2 Độc lập afin và phụ thuộc afin

Định nghĩa 2.3 Bốn điểm {A0, A1, A2, A3} của không gian afin A

được gọi là độc lập afin nếu hệ ba vectơ {−−−→

2 Hệ {A0, A1, , Am} phụ thuộc afin ⇔ hệ vectơ {−−−→A0A1,−−−→

A0A2, ,−−−→

A0Am}phụ thuộc tuyến tính

3 Hệ 2 điểm {P, Q} trong A là độc lập ⇔ P 6= Q

4 Hệ 3 điểm {P, Q, R} trong A là độc lập ⇔ chúng không thuộc

một đường thẳng

5 Hệ 4 điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập ⇔ chúng không cùngthuộc một mặt phẳng.

6 Hệ m + 1 điểm {A0, A1, , Am} trong A là độc lập ⇔ chúngkhông cùng thuộc một (m − 1)- phẳng

Định lí 2.2 Trong không gian afin 3 chiều A3 với 0 < m ≤ 4, luôntồn tại các hệ m điểm độc lập Mọi hệ gồm hơn 4 điểm đều phụ thuộc.Chứng minh

Giả sử {−→e

1, −→e

2, −→e

3} là một cơ sở nào đó của −→A3 Lấy A0 ∈ A3 khi

đó tồn tại duy nhất các điểm Ai sao cho −−−→

A0Ai = −→e

i, i = 1, 2, 3 Theođịnh nghĩa hệ {A0, A1, A2, A3} là hệ gồm 4 điểm độc lập Khi đó, dĩnhiên hệ {A0, , Am} với 0 < m ≤ 4 là hệ gồm m điểm độc lập

Nếu hệ {B0, B1, , Bp} gồm hơn 4 điểm, tức là p > 3 thì hệ{−−−→B0B1,−−−→

B0B2, ,−−−→

B0Bp} là hệ có nhiều hơn 3 vectơ nên phụ thuộctuyến tính Theo định nghĩa hệ gồm p + 1 điểm {B0, B1, , Bp} phụthuộc afin

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

1, −→e

2, −→e

3} được gọi là cơ

sở của mục tiêu

2.3.2 Tọa độ afin của điểm

Trong không gian afin 3 chiều A cho mục tiêu afin {O, −→e

1, −→e

2, −→e

3} Vớimỗi điểm N ∈ A3, ta có −−→

ON ∈ −→

A3 Vì vậy có duy nhất ba phần tửcủa trường K sao cho: −−→ON = x1−→e

AB có tọa độ là (y1 − x1, y2 − x2, y3 − x3) đối với cơ sở

Giả sử tọa độ của O0 trong mục tiêu {O, −→e

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

2.4.1 Phương trình tham số của mặt phẳng

Trong không gian afin A3 chọn mục tiêu afin {O, −→e

i đối với cơ sở {−→e

1, −→e

2, −→e

3} là −→ai(a11, a21, a31).Khi đó điểm N (x1, x2, x3) ∈ α ⇔ −→

2.4.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian afin hai chiều A3 cho mục tiêu afin {O, −→e

1, −→e

2, −→e

3}.Giả sử α là mặt phẳng đi qua điểm I và có phương −→α Ta chọn trong

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Chú ý 2.2

Ma trận A = (aij) của hệ phương trình trên có hạng bằng 1

2.5 Vị trí tương đối của các phẳng

Định lí 2.4 Qua một điểm I đã cho có một mặt phẳng duy nhất songsong với mặt phẳng α đã cho.

Chứng minh

Gọi β là mặt phẳng đi qua A với phương là −→α Khi đó β0 là phẳngsong song với α Nếu β0 cũng là phẳng đi qua A và song song với αthì suy ra −→

Rõ ràng γ chứa α và β Ngoài ra nếu có một phẳng γ0 chứa α và β thì

nó phải chứa điểm I và phương của nó phải chứa −→α và −→β tức chứa

−

→α +−→β Nói cách khác γ0 phải chứa γ Từ đó suy ra γ = α + β Vậy

dim(α + β) = dim(−→α +−→β )

= dim −→α + dim−→β − dim(−→α ∩−→β )

= dim α + dim β − dim(α ∩ β)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Giả sử α và β không cắt nhau Lấy I ∈ α, J ∈ β sao cho−→

IJ /∈ −→α +−→

β Gọi −→

δ là không gian vectơ một chiều sinh ra bởi vectơ −→

IJ Ta lấy mộtđiểm K nào đó của phẳng α và gọi γ là cái phẳng qua điểm K va cóphương là −→γ = (−→α +−→β ) + ⊕−→δ Phẳng γ dĩ nhiên chứa α, chứa β vàchứa đường thẳng đi qua I và J Giả sử γ0 là phẳng khác chứa α, βthì γ0 qua điểm K và phương của nó phải chứa −→α , −→β , −→δ Từ đó suy

ra γ0 chứa γ và do đó γ = α + β Vậy

dim(α + β) = dim((−→α +−→β ) ⊕−→δ )

= dim(−→α +−→β ) + dim−→δ

= dim −→α + dim−→β − dim(−→α ∩−→β ) + 1

= dim α + dim β − dim(−→α ∩−→β ) + 1.

Định lí 2.6 Mặt phẳng α và mặt phẳng β trong không gian Afin A3thì hoặc β song song với α hoặc cắt theo một đường thẳng

Chứng minh

Nếu β ⊂ α thì theo định nghĩa ta có α và β song song

Nếu β 6⊂ α thì α + β = A3 Ta có 2 trường hợp sau:

+ α ⊂ β 6= ∅.Áp dụng công thức (2.5) ta có:

dim A = dim α + dim β − dim(α ∩ β)Hay

3 = 3 − 1 + 2 − dim(α ∩ β)Suy ra dim(α ∩ β) = 1

Vậy α và β cắt nhau theo một đường thẳng

+ α ∩ β = ∅ Áp dụng công thức (2.6) ta có:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Ví dụ 2.3 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

α lần lượt cho bởi các phương trình sau đây:

Tập K gồm tập hợp tất cả các điểm M ∈ A3 sao cho tọa độ (x1, x2, x3)của nó thỏa mãn phương trình (3.1) thì khi đó (3.1) là mặt bậc hai.

Ta kí hiệu A là ma trận (aij), đó là ma trận vuông cấp 3 mà phần tử

ở hàng i, cột j là hệ số aij Đặt A = (aij)3×3 Vì aij = aji nên A = At

(3.1) ⇔ xtAx + 2atx + a0 = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

3.1.2 Giao của mặt bậc hai với đường thẳng

Cho mặt bậc hai S có phương trình xtAx + 2atx + a0 = 0 và đườngthẳng d đi qua điểm B(b1, b2) và có không gian chỉ phương một chiềusinh bởi vectơ −→c (c

1, c2) Khi đó phương trình của d có thể viết dướidạng

x = λc + b,trong đó b =

Ta đi tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt bậc hai S

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt bậc hai S là nghiệm của

(b + λc)tA(b + λc) + 2at(λc + b) + a0

hay

(ctAc)λ2 + 2P λ + Q = 0, (3.2)trong đó P = btAc + atc =

x = λc + b ta tìm được tọa độ giao điểm Ta có các trường hợp sau:

+ Nếu ctAc 6= 0 thì phương trình (3.2) là một phương trình bậc haiđối với λ, bởi vậy nó có thể có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm képhoặc vô nghiệm Như vậy, đường thẳng sẽ cắt mặt bậc hai tại haiđiểm phân biệt, hoặc cắt tại một điểm hoặc không cắt

+ Nếu ctAc = 0, P 6= 0 thì (3.2) có một nghiệm duy nhất, tức làđường thẳng cắt mặt bậc hai tại một điểm

+ Nếu ctAc = 0, P = 0, Q 6= 0 thì (3.2) vô nghiệm, tức là đườngthẳng không cắt mặt bậc hai

+ Nếu ctAc = 0, P = 0, Q0 thì mọi giá trị của λ đều là nghiệm củaphương trình (3.2) Do đó d ⊂ S

3.1.3 Tâm và phương tiệm cận

Định nghĩa 3.2 Điểm J được gọi là tâm của mặt bậc 2 S nếu chọn

J làm gốc tọa độ thì phương trình của (S) có dạng:

3

P

i,j=1

aijxixj + a0 = 0hay viết dưới dạng ma trận là: xtAx + a0 = 0, A = (aij)

Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm N có tọa độ (x1, x2)thuộc (S) và (S) có tâm I thì điểm N0 đối xứng với N qua I có tọa

xtAx + 2atx + a0 = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Hiền

Điều kiện cần và đủ để (S) có tâm duy nhất là detA 6= 0 Nếu (S) cótâm thì tập hợp các tâm của nó là một mặt phẳng nào đó

Chứng minh

Giả sử trong mục tiêu afin {O, −→e

1, −→e

2} đã chọn, mặt bậc hai (S) cóphương trình:

(x0 + b0)tA(x0+ b0) + 2at(x0+ b0) + a0 = 0hay

3.1.4 Siêu phẳng kính liên hợp của mặt bậc hai

Định lí 3.2 Cho hai điểm M1, M2 thay đổi của một mặt bậc hai (S)sao cho đường thẳng M1M2 có phương cố định −→c 6= 0 (mà không phải

là phương tiệm cận) Khi đó tập hợp trung điểm của các đoạn thẳng

M1M2 nằm trên siêu phẳng đi qua tâm (nếu có) của (S)