skkn HÌNH học GIẢI TRONG KHÔNG GIAN với MAPLE

Hiệu quả  Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụngtrong toàn ngành có hiệu q

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN

1 Họ và tên TRẦN VĂN TOÀN

2 Ngày tháng năm sinh: 10 – 09 – 1 972

3 Giới tính: Nam

4 Địa chỉ: 22 tổ 91, khu phố 13, phường Hố Nai, Biên Hoà, Đồng Nai.

5 Điện thoại: 0917907948

6 Chức vụ: Giáo viên

7 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

 Trình độ chuyên môn cao nhất: Thạc sĩ Toán

 Năm nhận bằng: 2007

 Chuyên ngành đào tạo: Toán Giải tích

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Phần mềm Toán học

 Số năm có kinh nghiệm: 14

 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Cách giải đơn giản cho bài toán quenthuộc (2007 - 2008); Một số cách giải phương trình, bất phương trình (2008 - 2009); Vàidạng bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (2009 - 2010); Bài tập Mặt cầu (2010 -2011)



SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI

Năm học 2011 2012Tên đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE

Họ và tên tác giả: TRẦN VĂN TOÀN Tổ Toán

Lĩnh vực:

Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn

Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác

1 Tính mới

 Có giải pháp hoàn toàn mới

 Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2 Hiệu quả

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụngtrong toàn ngành có hiệu quả cao

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng tạiđơn vị có hiệu quả cao

Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

LỜI NÓI ĐẦUNgày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mìnhtrong việc soạn hệ thống bài tập Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nóiriêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn họcnày rất tốt

Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản Cách đây ít tháng, tôi có tham giavào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này Một bài toán lớn, với nhiều bướctính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter Hơn thế nữa,

ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanhchóng

Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thậttuyệt vời Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn

Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nàogiới thiệu

Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đànMapleprimes Chắc chắn không thể có sai sót Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi

Đồng Nai, 2012

Trần Văn Toàn

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Truớc khi làm việc với hình giải tích trong không gian ta phải bắt đầu bằng lệnh with(geom3d);

I VÀI CÁCH NHẬP THÔNG DỤNG

1) Nhập một điểm

Để nhập điểm M(x; y; z), ta nhập như sau: point(M, x, y, z);

2) Nhập mặt phẳng

Để nhập phương trình mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhập :

Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]);

3) Nhập một đường thẳng

a) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tham số

3 0

2 0

1 0

ta z

z

ta y

y

ta x

x

Khi nhập vào maple, ta làm như sau:

line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t );

b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng chính tắc

3

0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t);

c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát :

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x a

d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0khi nhập vào maple, ta nhập như sau:

[> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]):

plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]):

line(d,[P1, p2];

4) Khai báo một vectơ khi biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B])

Để nhập vectơ 

u= (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]);

5) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ

Để tính tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 

u và 

v Trước hết, ta phải mở gói [>

with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng và lệnh dotprod(u,v); để

tính tích vô hướng

Ví dụ : Cho các vectơ u = (1; 2; 3) và v = (3; 5; 7)

6) Một số lệnh kiểm tra

* Kiểm tra tính vuông góc của hai đường

ArePerpendicular *ArePerpendicular(l1, p1,

cond)

* ArePerpendicular(p1, p2, cond)

IsOnObject(f, obj, cond)

Kiểm tra xem điểm hoặc tập hợp điểm fcó thuộc obj hay không ? Trong đó, obj cóthể là đường thẳng, mặt phẳng hay mặtcầu

plane(p, [A, dseg1])

plane(p, [dseg1, dseg2])

Một mặt phẳng trong Maple có thể được khai báo với cú pháp và chức năng như sau:

plane(P, [A, v] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có pháp vectơ là v

plane(p, [A, dseg1]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có đoạn thẳng định

hướng 1

plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có hai đoạn thẳng định

hướng dseg1 và dseg2

plane(P, [l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng l1 và l2

plane(P, [A, B, C] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

plane(P, [A, l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai

đường thẳng l1 và l2

Plane(P,a*x + b*y +c*z +

d = 0,[x, y, z] Khai báo P là mặt phẳng có phương trình a*x + b*y +c*z + d = 0.

Parallel(P, M, alpha) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt

Một vài cách xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng:

1 Cho mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0

vector pháp tuyến của (P) xác định bằng lệnh

> NormalVector(P);

2 Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A, B Thì vector pháp tuyến của (P)là vector chỉ phương của đường thẳng AB Để xác định vector chỉ phương của đường thẳng có

tên là AB, ta dùng lệnh > ParallelVector(AB);

Ví du 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và phương trình của mặt phẳng đi qua điểm

A và nhận vector AB làm vector pháp tuyến

z y x

z y x

Chú ý rằng vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Lệnh [>ParallelVector(D); để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng D.

Ví dụ 4 :Viết phương trình của mặt phẳng đi qua đường thẳng   





2 2

t z

0 3 2

z y x

z y x

2 3

5 3

7 3

1 2

Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm trên mặt phẳng P hay không ?

Ví dụ 7 : Xác định các giá trị của l và m dể hai mặt phẳng có phương trình sau là song song nhau:

Ví d ụ 8 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1): x+ y + z – 1 = 0 và (P2): 2x + 3y + 4z - 1 = 0

> Equation(P);



18 6 x 6 y 0 

ĐƯỜNG THẲNG

Maple cho phép khai báo đường thẳng theo các cách sau:

line(l, [A, B] ) Khai báo đường thẳng l đi qua hai điểm A và B

line(l, [A, u] ) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và có VTCP là 

u line(l, [A, p1] ) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng p1

line(l, [p1, p2] ) Khai báo l là giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2

parallel(l, A, d) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A song song với đường thẳng d

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 1; 2) và B(4; – 1; –1).

t z

y

t x

3 2

1 3

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(5; – 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + z –

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :

-35

23 0

Chú ý: Lệnh FixedPoint(M,D); cho ta một điểm M cố định thuộc đường thẳng đã cho.

Ví dụ 4 : Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) và C( – 2; 5;

Trong Maple cho phép tính các khoảng cách sau:

distance(A, B) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B

distance(l1, l2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng l1 và

Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B( – 1; 4; -7);

các mặt phẳng P : 2x + 3y – 9z + 1 = 0 và Q : 2x + 3y – 9z + 9 = 0

và đường thẳng l :

3 1,

4 6,

1) Khoảng cách giữa hai điểm A và B

2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P

3) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng l.

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và l.

5) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q

6) Khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Q

[> point(A,1,2,3), t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]);

Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect

Lưu ý : Đường thẳng AB và mặt phẳng Q cắt nhau

HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG

c - a point, a line, or a plane

Ví dụ 1 : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; –1; 3) lên đường thẳng

, ,

t z

t y

t x

5 7

3 13

2 4

3 1

6 13

, 0 5 2 4 5

z x

z y x

lên mặt phẳng 2x – y + z – 1 = 0

Giải :

[> plane(p1,5*x-4*y-2*z-5=0,[x,y,z]), plane(p2,x+2*z-2=0,[x,y,z]),line(l,[p1,p2]);

p1 p2 l

0 12 4

z y x

z y x

name of the object: anpha

form of the object: plane3d

equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0

Ví dụ10 Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(–3; 2 ; 5) qua mặt phẳng đi qua các đường thẳng

; ,

0 5 2 3 5

0 7 3 3 0 3 4 2

0 5 3 2

z y x z y x z

y x z y x

[> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]), plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]), line(L2, [P3,P4]);

FindAngle(l1, l2) Tìm góc của hai đường thẳng l1 và l2

FindAngle(p1, p2) Tìm góc của hai mặt phẳng p1 và p2

FindAngle(l1, p1) Tìm góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1

FindAngle(A, T) Tìm số đo góc trong ở đỉnh A của tam giác T

> assume(a<>0, b<>0, c<>0);

> point(P, [a, b, c]):

> point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0, 1):

> plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]):

> projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy):

> plane(p,[o,M,N]);

> Equation(p,[x,y,z]);

> line(OP, [o,P]):

> FindAngle(OP,p);

Ví dụ 1 : Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng:

( Find the acute angle between the lines: )

,

2

5 1

3 1

2 2

1

2 1

; ,

0 1 9 2 2

0 2 6 6 0 4 2 2

0 5 4

z y x z y x z

y x z y x

[> line(D,[2*t - 1,3*t+2,-t+5],t),plane(P,4*x+y-7*z-1=0,[x,y,z]);

DIỆN TÍCH CỦA TAM GIÁC – THỂ TÍCH TỨ DIỆN

area(ABC) Tính diện tích của tam giác ABC Trước hết phải khai báo tam giác ABC bằng

a) Tính diện tích của tam giác ABC;

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

VD 2 Một tứ diện có thể tích là v = 5, có ba đỉnh là các điểm A(2; 1; – 1), B(3; 0 ; 1), C(2; – 1; 3);

đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy Tìm toạ độ đỉnh D

[> point(A,2,1,-1), point(B,3,0,1), point(C,2,-1,3), point(D,0,m,0);

* Lưu ý:

a) Nếu ta gọi D(0, m, 0) là toạ độ của điểm D, thì trước hết, ta phải tìm điều kiện để cho bốn điểm A,

B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Lệnh AreCoplanar(A,B,C,D);không kiểm tra được tính đồng phẳng của bốn điểm A, B, C, D.

MẶT CẦU

I ) Cách khai báo mặt cầu trong Maple

1) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I(a; b; c) có dạng :

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0thì ta khai báo:

[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 – 2*a*x – 2*b*y – 2*c*z + d = 0, [x, y, z], ‘centername’= I);

2) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I có dạng :

(x – a)2+ ( y – b)2 + ( z – c)2 = R2

thì ta khai báo:

[>sphere(S, (x – a)^2 + ( y – b)^ 2 + (z - c)^2 = R^2, [x, y, z], ‘centername’= I);

II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.

Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện sau:

Khai báo S là mặt cầu nhận AB làm đường kính với tâm m.

sphere(S, [A, R], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A, bán kính R

sphere(S, [A, P], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng P.Sphere(S, phuongtrinh S, [x ,y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm cầu có phuongtrinh cho trước

Chú ý: Sau khi khai báo S,

 Để viết phương trình của S, ta dùng lệnh Equation(S);

 Để tìm toạ độ tâm m của S, ta dùng lệnh coordinates(m);

 Để tìm bán kính của S, ta dùng lệnh radius(S);

 Ta cũng có thể xem chi tiết về S bằng cách dùng lệnh detail(S);

 Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ 'centername'= m khi khai báo.

 Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :

Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );

Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.

Ví dụ : Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu :

a) Đi qua bốn điểm A, B, C, D;

b) Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);

c) Đường kính AB;

d) Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC

a)[>point(A,3,-2,-2), point(B,3,2,0), point(C,0,2,1), point(D,-1,1,2);

Chú ý: Trong câu d)

 Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai điểm B và C

 Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

> assume(a,real,a<>0,b,real,b<>0,c,real,c<>0):

point(o,0,0,0), point(A,a,0,0), point(B,0,b,0), point(C,0,0,c):

sphere(s,[o,A,B,C]);

III Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.

Để tính phương tích của điểm P đối với mặt cầu S (The power of point P with respect to sphereS), ta dùng lệnh :

Powerps(P, S);

Ví dụ: Cho mặt cầu S : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm : A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4), C(– m; 2; 4)

a) Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;

b) Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;

c) Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu  m R

IV Tiếp diện của mặt cầu

* Loại 1: Tiếp diện tại một điểm thuộc mặt cầu

Để khai báo tiếp diện của mặt cầu S tại điểm P, ta nhập :

TangentPlane( tên tiếp diện, P, S);

Ví dụ1: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu x2 + y2 + z2= 49 tại điểm M(6; – 3; – 2)

[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 = 49,[x, y, z]), point(M, 6, -3, -2);

* Loại 2 : Tiếp diện song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng cho trước

1116 Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(x – 3)2 + (y+ 2)2 + ( z – 1)2 = 25và song song với mặt phẳng 4x + 3z – 17 = 0

,{m~ 10 } {m~ -40 }

1117 Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0và song song với các đường thẳng

0

8 2

1 3

7 2

13 3

1 2

lệnh intersection

intersection(obj, l1, l2) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng l1 và l2

intersection(obj, l1, p1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt phẳng P1

intersection(obj, l1, S) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt cầu S

intersection(obj, p1, p2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2.

intersection(obj, p1, p2, p3 ) Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng p1, p2, p3

Ví dụ : Cho hai đường thẳng :

l1 :

5,

4 1, 4.

Tìm toạ độ giao điểm của:

name of the object: l1_intersect1_S

[

form of the object: point3d

coordinates of the point: [-25/29, 35/29, 50/29] name of the object: l1_intersec \,

t2_S

form of the object: point3d

coordinates of the point: [-1, 1, 2] ]

Qua detail(gd3) ta có hai giao điểm của l1 và S là :

( – 25/ 29; 35/29 ; 50/ 29)và ( – 1; 1; 2)

MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC

Đoạn mã lệnh này rất hay

Ví dụ 1 Tìm các điểm trên đường thẳng x = t, y = t, z = t cách mặt phẳng 2x + y -2z = 5 một đoạn bằng 7

-6011

-6211

Ví dụ 2 Tìm các điểm trên đường thẳng x = t, y = t, x = t cách đều hai mặt phẳng

P: 2x + y -2z = 5 và Q: x + 2y -2z + 1 = 0

> point(o,t,t,t):

plane(p,2*x+y-2*z=5,[x,y,z]):

plane(Q,x + 2*y -2*z + 1 = 0,[x,y,z]):

ans := [solve(distance(o,p) = distance(o,Q),t)]:

Ví dụ 3 Tìm các điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O với A(1; 1; 3).

coordinates of the two points are

8575

> AreCoplanar(A,B,E,F);

Chú ý Lệnh OnSegment(C, A, B, k); khai báo điểm C trên đoạn đường thẳng AB sao cho AC = kCB.

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM GIA TẠI DIỄN ĐÀN MAPLEPRIMES

Bài toán 1 Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

-92Cách khác trên diễn đàn Mapleprimes

> restart:

with(LinearAlgebra):

A:=<1,-3,0>: B:=<-2,1,1>: C:=<3,1,2>: M:=x*A+y*B+z*C:

{DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}:

solve({DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}): assign(%): M:

'M'=[seq(M[i],i=1 3)];

DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}:

solve({DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}):

If three points A, B and C are collinear, they define a single plane, and each point M

of this plane isgiven by the formula M = xA + yB + zC, where x + y + z = 1 Thenumbers x, y, z are called the barycentric coordinates of the point M

Bài toán 3 Viết Phương trình đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau viết bởi MaplePrime.

A:=eval(a1,'t'=t); B:=eval(b1,'s'=s); L:=[x,y,z];

>sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

# parameters corresponding to minimal distance between lines d and l 14161/29, {[{m = 9/29, t = 1/29}, 14161/29]}

>point(A, op(eval(a, [op(op(sol[2])[1])]))); #the nearest point on line d A

>point(B, op(eval(b, [op(op(sol[2])[1])]))):# the nearest point on line l B

>line(p, [A, B],s);#line passing through A and B

>sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

# parameters corresponding to minimal distance between lines d and l 14161/29, {[{m = 9/29, t = 1/29}, 14161/29]}

>point(A, op(eval(a, [op(op(sol[2])[1])]))); #the nearest point on line d A

>point(B, op(eval(b, [op(op(sol[2])[1])]))):# the nearest point on line l B

>line(p, [A, B],s);#line passing through A and B

> sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

357 s

11929

> with(LinearAlgebra):

> DotProduct(u, w);

0

11929

-24329

-35729Cách này do tôi viết (Mồng Ba tết Nhâm Thìn)

M:=<x,y,z>: [seq(M[i]=(A + w*n)[i],i=1 3)];

Bài toán 4 Tìm toạ độ điểm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng cho trước sao cho ba điểm A, M, N

{Norm(o-N,2)=3, DotProduct(N - o, N-A) = 0,DotProduct(N - o, N-B) = 0}:

solve({Norm(o-N,2)=3, DotProduct(N - o, A) = 0,DotProduct(N - o, B) = 0}): assign(%): N:

N-'N'=[seq(N[i],i=1 3)];

Bài toán 5 Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(-1; 3; -6), B(2;2;-10) và tiếp xúc với mặt cầu

(x-1)^2 + (y + 1)^2 + (z – 7)^2 = 9

Diễn đàn MaplePrime giải như sau:

Gọi N là tiếp điểm, ta có

ON^2 = 9, ON               AN ON, BN

> restart:

with(LinearAlgebra):

A:=<-1,3,-6>: B:=<2,2,-10>: N:=<x,y,z>: o:=<1,-1,7>:

Sys:={Norm(o-N,2)^2=9, DotProduct(N - o,N-A,conjugate=false) = 0, DotProduct(N - o, N-B,conjugate=false) = 0}:

2 y

3

z

3 0Bài toán 6 Phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của một tam giác

L1:=[Categorize(f, L)];

if nops(L1)=0 then print(`The problem has no solutions`); fi;

if nops(L1)=1 then print(`The problem has 1 solution`);

convert M Vector, convert ,(A Vector ) ) ) , 0 0 0, , ) then

error `Points A, B, M should not be collinear`