Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018... TRƯỜN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THỊ HIỆU

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THỊ HIỆU

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS PHẠM THANH HIẾU

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt v

Chương 1 Bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất

1.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 3

1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh 4

1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 6

1.2 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 12

1.2.1 Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn 12 1.2.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 14

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn 17 2.1 Bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 17 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov 21

2.2.1 Mô tả phương pháp 21

2.2.2 Sự tồn tại và sự hội tụ 23

2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 29

2.3.1 Mô tả phương pháp 29

2.3.2 Sự hội tụ 292.4 Ví dụ số minh họa 312.4.1 Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) 322.4.2 Minh họa số cho phương pháp (2.25) 33

Tài liệu tham khảo 36

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thanh Hiếu Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và độngviên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trongtrường Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới các thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổthông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng và các anh chị em đồng nghiệp

đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K10A và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập

và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên

Một số ký hiệu và viết tắt

X không gian Banach

X∗ không gian đối ngẫu của X

θ phần tử không của không gian Banach X

R tập hợp các số thực

R+ tập các số thực không âm

∩ phép giao

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất

Lp(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω

lp không gian các dãy số khả tổng bậc p

n→∞xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

αn & α0 dãy số thực {αn} hội tụ giảm về α0

xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

M bao đóng của tập hợp M

d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M

o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t

nmax số bước lặp

tg thời gian tính toán

err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xácint(C) phần trong của tập hợp C

Mở đầu

Nhiều bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý và kinh tế dẫn đếnbài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ xác định Các bàitoán đó được gọi chung là bài toán điểm bất động Chẳng hạn, bài toántìm ảnh của ánh xạ chiếu mê tric trên các tập con lồi đóng Ci, i ∈ I trongkhông gian Hilbert thực Điểm bất động của bài toán này chính nghiệmcủa là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng tìm một điểm thuộc vào giao củacác tập lồi đóng Ci, i ∈ I trong không gian Hilbert thực Do sự quan trọngcủa các bài toán này về cả khía cạnh thực hành và lý thuyết nên các thuậttoán để tìm điểm bất động chung của các toán tử đã trở thành một lĩnhvực nghiên cứu rất phát triển trong lý thuyết điểm bất động Ta biết rằngnếu T : H → H là một ánh xạ co thì luôn tồn tại duy nhất một điểm bấtđộng của T Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn thì điều này khôngcòn đúng nên lớp bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn vàmột họ các ánh xạ không giãn là một bài toán quan trọng đối với các nhànghiên cứu toán học Lí do vì bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế nhưtrong khôi phục và xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, điều khiển nănglượng (xem chẳng hạn [19]) Cho đến nay đã có nhiều nhà toán học công

bố nhiều kết quả hay và có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểmbất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ khônggiãn dựa trên việc cải biên, cải tiến những kết quả đã có của Mann [23],Halpern [15], Ở Việt Nam, bài toán điểm bất động của ánh xạ khônggiãn cũng là một đề tài nghiên cứu khá sôi nổi thu hút được nhiều nhàtoán học nổi tiếng như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị ThuThuỷ và nhiều tác giả trẻ như Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem

chẳng hạn [9], [21], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó) Nhữngcông bố của các tác giả Việt Nam và nước ngoài về những phương phápgiải bài toán điểm bất động đã làm phong phú thêm lý thuyết điểm bấtđộng và đóng góp chung vào sự phát triển của lĩnh vực nghiên cứu này.Mặc dù là một bài toán rất quan trọng nhưng bài toán điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn nằm trong lớp các bài toán đặt không chỉnh (nóichung) theo nghĩa nghiệm của bài toán không là duy nhất và nghiệm khôngphụ thuộc vào dữ kiện ban đầu Việc xây dựng các phương pháp giải ổnđịnh còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh cho lớp bài toán đặt không chỉnhtrong đó có bài toán điểm động của ánh xạ không giãn là một hướng nghiêncứu cần được quan tâm Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, thì phương pháphiệu chỉnh Browder–Tikhonov được coi là phương pháp khá hiệu quả và

đã được sử dụng để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh như bất đẳngthức biến phân , phương trình toán tử và bài toán điểm bất động (xemchẳng hạn [18], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó)

Trong luận văn này, dựa trên một số kết quả đã có về phương pháphiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân và bài toánđiểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, chúngtôi nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khônggiãn trong không gian Hilbert Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệutham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bấtđộng cùng với một số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kếtquả chính của luận văn liên quan đến một số tính chất hình học của khônggian Hilbert và không gian Banach; ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh

xạ không giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh và ánh xạngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert Chương 2 dành để trìnhbày kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháphiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert và ví

dụ số minh họa cho hai phương pháp trên

1.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh

Trong rất nhiều những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớpcác bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổinhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra(nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm

Có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc vào

dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp các bài toán đặtkhông chỉnh Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặtkhông chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov cho lớp bài toán này

1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợpcủa X Cả hai không gian X và X∗ có chuẩn đều được kí hiệu là k k Taviết hx∗, xi thay cho x∗(x) với x∗ ∈ X∗, x ∈ X

Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được Hadamard [1] đưa ra khinghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phươngtrình elliptic cũng như parabollic Ở đây chúng tôi trình bày khái niệm vềbài toán đặt không chỉnh ở dạng phương trình toán tử

A(x) = f, (1.1)với A : X −→ Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gianBanach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là định nghĩa của Hadamard(xem [1])

Định nghĩa 1.1 Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính quy)nếu thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện sau:

1) Phương trình A(x) = f có nghiệm xf với mọi f ∈ Y

2) Nghiệm xf là duy nhất

3) Nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (f, A)

Định nghĩa 1.2 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không đượcthỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn

cả ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.Hơn nữa điều kiện thứ ba rất khó thực hiện và nhất là khi máy tính điện

tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy raquá trình làm tròn số

Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình sau trong R2:

có nghiệm là x1 = −12 và x2 = 5 Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số

và vế phải của phương trình thứ 2 kéo theo những thay đổi đáng kể củanghiệm Thậm chí nếu xét hệ phương trình sau:

Nhận xét 1.1 Một số bài toán đặt chỉnh trên không gian này nhưng lạiđặt không chỉnh trên không gian khác Chẳng hạn, phương trình x2+1 = 0

có nghiệm trên trường số phức C nhưng lại vô nghiệm trên trường số thựcR

Định nghĩa 1.3 Cho (X, d) là một không gian metric và tập K là mộttập con khác rỗng của X Với mọi x ∈ X khoảng cách từ điểm x và tập

K được kí hiệu bởi d(x, K) và được xác định bởi

d(x, K) = inf

y∈Kd(x, y)

Định nghĩa 1.4 Phép chiếu metric PK xác định trên X là một ánh xạ

đa trị từ X vào 2X cho bởi

PK(x) = z ∈ K : d(x, Z) = d(x, K), ∀x ∈ K

Nếu PK 6= ∅ với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập liền kề

Nếu PK là đơn ánh với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập Chebyshev

Ví dụ 1.2 : Cho X = R, K = [1, 2] ⊂ R, ta có ánh xạ sau là phép chiếumetric từ R lên K

Chú ý 1.1 Phép chiếu metric PK : H −→ K là ánh xạ đơn trị trongkhông gian Hilbert H.

1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh

Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnhTikhonov Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) khi không biết tin vềnghiệm chính xác x0, Tikhonov (xem [1]) đã đưa ra một khái niệm mới

Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh

và cách chọn giá trị một tham số mới đưa vào

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ρy(fδ, f ) ≤ δ −→ 0.Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (a, fδ) và mức sai số của δ, tìmmột phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.1) Rõ ràng là

ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứnhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 khôngliên tục, nên nếu A−1fδ tồi tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.1) Vì vậy một điều

tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vàomột tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao chokhi δ −→ 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến x0 Ta cũng thấy nếu đượcthì từ fδ ∈ Y ta có phần tử thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tácđộng từ không gian Y vào không gian X Sau đây là định nghĩa về toán

tử hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.5 Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ

Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.1) nếu:

(i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

(ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤

δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY(fδ, f ) ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε, ởđây x0 là nghiệm chính xác của (1.1) và xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ))

Phần tử x0 được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.1) và α =α(fδ, δ) gọi là tham số hiệu chỉnh Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩatrên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháphiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng cho việc nghiên cứu và giải các bàitoán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.

Chú ý 1.2 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh códạng đơn giản sau:

(i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ;

(ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ ρY(fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0 ta có ρX(xα, x0) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ, δ)

Giả thiết rằng X, Y là các không gian Hilbert thực Nội dung củaphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδα củaphiếm hàm Tikhonov

Fαδ(x) = kA(x) − fδk2+ αkx − x∗k2 (1.3)Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt lêntoán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu

xδα là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1) Định lý sau khẳng định

sự tồn tại của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xk} của (1.3)

Định lý 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử liên tục và đóng yếu, α > 0

và {xk} là một dãy cực tiểu của (1.3) với fδ được thay bởi fk sao cho

fk → fδ Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy {xk} và giới hạn củadãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.3)

Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại một số địnhnghĩa liên quan đến tính chất hình học của không gian Banach X và ánh

xạ đơn điệu trong không gian Banach (xem thêm [36])

Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X được gọi là

(i) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị SX := {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt,tức là, từ x, y ∈ SX kéo theo k x + y k< 2, hoặc biên ∂SX không chứa bất

kì đoạn thẳng nào

(ii) lồi đều nếu với ε bất kì thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sauthỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì tồn tại δ = δ(ε) > 0 saocho

x + y

2 ≤ 1 − δ

Chú ý 1.3

(i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều

(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưachắc lồi đều

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ Js : X −→ X∗ (nói chung đa trị) được địnhnghĩa bởi

Js(x) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗ks−1kxk = kxks}, s ≥ 2

gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X Khi s = 2 thì Js được viết là J

và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đềsau

Mệnh đề 1.1 ( xem [6]) Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,(i) J (x) là tập lồi, J (λx) = λJ (x) với mọi λ ∈ R;

(ii) J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt Trongtrường hợp X là không gian Hilbert thì J = I, trong đó I là toán tử đơn

vị trong H

Chú ý 1.4 Kí hiệu j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Ví dụ 1.3 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính

là ánh xạ đơn vị I : H → H, I(x) = x ∀x ∈ H

Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồntại trong mọi không gian Banach

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X được gọi là có tính chất E − S(Ephimov-Stechkin) nếu với mọi dãy {xn} hội tụ yếu đến x và kxnk → kxkkhi n → ∞ thì xn → x khi n → ∞.

Định lý 1.2 [3] Mọi không gian lồi đều đều có tính chất E − S

Định nghĩa 1.9 Chuẩn của không gian tuyến tính định chuẩn X đượcgọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SX nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn

Định nghĩa 1.10 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn

(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu nókhả vi Gâteaux tại mọi điểm trên mặt cầu đơn vị SX

(ii) Chuẩn của X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi

y ∈ SX, giới hạn (1.4) đạt được đều với mọi x ∈ SX

Định lý 1.3 [3] Không gian Banach X là trơn khi và chỉ khi chuẩn của

(iii) Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi

Ví dụ 1.4 : Xét toán tử A := f (x, y) : R2 → R là hàm số hai biến số xácđịnh bởi

Suy ra f (x, y) là hàm số liên tục theo biến x với mỗi giá trị y bất kì và

f (x, y) liên tục theo biến y với mỗi giá trị x bất kì

Xét tính liên tục tại điểm (0,0): Chọn dãy điểm  1

n;

1n

 1n

nên hàm số f (x, y) không liên tục tại điểm (0,0).

Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X −→ X∗ được gọi là toán tử bức nếu vớimọi x ∈ X

lim

kxk−→∞

hAx, xikxk = ∞.

Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu khẳng định sự tồntại nghiệm của phương trình toán tử (1.1)

Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gianliên hợp của X, f ∈ X∗ và A : X −→ X∗ là toán tử h - liên tục Khi đónếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ Xthì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f

Nếu A là một tóa tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứngminh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert Sau này chính ông

và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Bannach

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder [11] đề xuất năm

1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệuchỉnh Browder - Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X −→ X∗ có tínhchất h-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một dạng củatoán tử M là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X Bằng phương pháp này,Alber [4] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử(1.1) trên cơ sở phương trình

A(x) + αJ (x − x∗) = fδ (1.5)Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E − S và X∗

là không gian lồi chặt Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của phương trình hiệu chỉnh (1.5); đồng thời định lý cũng khẳngđịnh sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của bài toán ban đầu vớimột số điều kiện xác định

Định lý 1.4 (xem [4]) Cho A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu, h-liên tục.Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.5) có duy nhất nghiệm

xδα Ngoài ra nếu α, δ/α −→ 0 thì {xδα} hội tụ đến nghiệm có x∗-chuẩn nhỏnhất của bài toán (1.1)

1.2 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

1.2.1 Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãnĐịnh nghĩa 1.14 Cho C là một tập con của không gian Banach X vàánh xạ T : C −→ X thỏa mãn

kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C và L ≥ 0 (1.6)Khi đó, ánh xạ T : C → X được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L.Ngoài ra, trong (1.6), nếu

• 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ co

• L = 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.15 Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của ánh

xạ T nếu T x = x

Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T )

Định nghĩa 1.16 Cho T (t) : C −→ C là một ánh xạ từ tập con lồi, đóng,khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó với mỗi t ≥ 0 Họánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm ánh xạ không giãn(gọi tắt là nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:(i) Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ T (t) không giãn trên C

(ii) T (0)x = x ∀x ∈ C

(iii) T (t1 + t2) = T (t1) ◦ T (t2) với mọi t1 ≥ 0 và t2 ≥ 0

(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào C liên tục

Kí hiệu F := ∩t≥0Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhómkhông giãn {T (t) : t ≥ 0} Nếu F 6= ∅ thì F là tập lồi đóng trong X

Ví dụ 1.5 Trên không gian các số thực R, họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} :

R → R xác định bởi T (t)x = e−tx với mỗi x ∈ R là nửa nhóm không giãntrên R Thật vậy,

(i) Với mỗi t ≥ 0, t ∈ R và x, y ∈ R ta có:

kT x − T yk = ke−tx − e−tyk = ke−t(x − y)k = e−tkx − yk ≤ kx − yk.Suy ra T (t) ánh xạ không giãn không giãn trên R

(ii) T (0)x = e−0x = x ∀x ∈ R

(iii) Với mỗi t1 ≥ 0, t2 ≥ 0 và x, y ∈ R ta có

T (t1 + t2)x = e−(t1 +t 2 )

x = e−t1e−t2x = e−t1(e−t2x) = T (t1(T (t2)x).Tức là T (t1 + t2) = T (t1) ◦ T (t2)

(iv) Với mỗi x ∈ R, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào R liên tục

Định nghĩa 1.17 Nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} đượcgọi là

(i) chính quy tiệm cận nếu

lim

t→∞kT (s)T (t)x − T (t)xk = 0,(ii) và chính quy tiệm cận đều nếu

lim

t→∞

sup

x∈C

kT (s)T (t)x − T (t)xk



= 0

đều với mọi s > 0

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm khônggiãn được khẳng định trong các định lý sau

Định lý 1.5 (xem [2]) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gianHilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi đó T có ít nhấtmột điểm bất động

Nhận xét 1.2 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên tụccủa ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) 6= ∅ thì

nó là tập lồi và đóng

Định lý 1.6 (xem [13] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach lồiđều, C ⊆ X là tập con lồi, đóng, bị chặn trong X và T : C → C là ánh

xạ không giãn Khi đó, T có điểm bất động Hơn nữa tập điểm bất độngFix(T ) của ánh xạ T là một tập lồi đóng

Định lý 1.7 (xem [13] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach lồiđều, C là tập con lồi, đóng của X, và {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm khônggiãn trên C Khi đó các ánh xạ T (t), t ≥ 0 là bị chặn trên C (tức làsupt≥0kT (t)xk < +∞, ∀x ∈ C) khi và chỉ khi nửa nhóm không giãn{T (t) : t ≥ 0} có điểm bất động x0 ∈ C

1.2.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không

Tìm x∗ ∈ C : T (x∗) = x∗ (1.7)

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.7) được đảm bảo nhờ các Định lý 1.5

và Định lý 1.6

1.2.2.1 Phương pháp lặp loại Mann

Để giải bài toán (1.7), năm 1953, Mann [23] đã nghiên cứu và đề xuấtphương pháp lặp

Nakajo và Takahashi [24] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp lặp(1.8) cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbertdạng

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên một tập con lồi đóng C của H

Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {αn} thỏa mãn điều kiện {αn} ⊆[0, a] ⊂ [0, 1) thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh về PF ix(T )(x0).Năm 2011, các tác giả Buong và Lang [9] đã thay các tập hợp lồi, đóng

Cn và Qn bởi các nửa không gian Cụ thể hơn, họ đã đề xuất phương pháplặp sau: với x0 ∈ H

1.2.2.2 Phương pháp lặp Halpern

Phương pháp lặp của Halpern [15] được đề xuất năm 1967 dưới dạng

xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n ≥ 0, (1.11)trong đó u, x0 ∈ C, {αn} ⊂ (0, 1) và T là một ánh xạ không giãn từ tậpcon lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Ông đã chứng minh nếu

αn = n−α, α ∈ (0, 1) thì dãy {xn} xác định bởi (1.11) sẽ hội tụ về mộtđiểm bất động của T

Năm 1977, Lions [22] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn} vềmột điểm bất động của T trong không gian Hilbert nếu dãy số {αn} thỏamãn các điều kiện sau: