Hình học EUCLID trong không gian

10 2 Mô hình vectơ trong không gian Euclid 18 3 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 24 3.1 Phương trình mặt phẳng... Vậy một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách và

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Hiền

HÌNH HỌC EUCLID TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – 2018

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Hiền

HÌNH HỌC EUCLID

TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – 2018

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏlòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

2, các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy cô tham giagiảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điềukiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tớiPGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tậntình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bảnkhóa luận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mong nhậnđược những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn NăngTâm khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tàinào khác.

Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thànhtựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

Mục lục

1.1 Hệ tiên đề của hình học Euclid 3

1.2 Hệ tiên đề vectơ của hình học Euclide 10

2 Mô hình vectơ trong không gian Euclid 18 3 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 24 3.1 Phương trình mặt phẳng 24

3.2 Phương trình đường thẳng 29

3.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 32

3.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 34

3.5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 36

3.6 Khoảng cách 38

3.7 Góc 43

4 Mặt bậc hai trong không gian Euclid 46 4.1 Mặt tròn xoay bậc hai 46

4.2 Mặt bậc hai 49

Tài liệu tham khảo 55

LỜI NÓI ĐẦU

Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Euclid đã tiến hành nghiêncứu các mối quan hệ về khoảng cách và góc Nhờ sự phát triển của toánhọc, ngày nay mối quan hệ đó đã được tổng quát cho các không giann-chiều Vậy một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách

và góc thỏa mãn các quan hệ Euclid được gọi là không gian Euclid chiều Tuy nhiên để gần gũi hơn với hình học THPT em đã tập trungnghiên cứu hình học Euclid với số chiều là 3 hay còn được gọi là "Hìnhhọc Euclid trong không gian"

n-Trong khóa luận này, em đã tập hợp nhiều nghiên cứu và trìnhbày một cách có hệ thống các hệ tiên đề cùng với một số khái niệm cơbản của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian; mặt bậc hai trongkhông gian Euclid

Nội dung chính của khóa luận gồm có 4 chương:

Chương 1: Một số tiên đề và khái niệm: Trong chương này, emtrình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định lí được suy ra

từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hình học Euclid

Chương 2: Mô hình vectơ trong không gian Euclid: Trong chươngnày, em đã trình bày một cách cơ bản về mô hình vectơ trong khônggian như: tọa độ điểm, vectơ, các biểu thức tọa độ về tích vô hướng, tích

có hướng, tích hỗn tạp,

Chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: Chươngnày trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình của đường thẳng và

mặt phẳng trong không gian, về vị trí tương đối cũng như khoảng cách

và góc của chúng

Chương 4: Mặt bậc hai trong không gian Euclid: Trong chương này,

em đã nghiên cứu 12 mặt bậc hai là các mặt xác định bởi các phươngtrình bậc hai đối với x, y, z trong không gian Oxyz

Chương 1

Một số tiên đề và khái niệm

Chương này trình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định líđược suy ra từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hìnhhọc Euclid Các kiến thức của chương được viết dựa trên các tài liệu [1],[3]

1.1 Hệ tiên đề của hình học Euclid

Hệ tiên đề bao gồm:

(a) Sáu khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, thuộc, ởgiữa, toàn đẳng

(b) 5 nhóm tiên đề:

I: Các tiên đề về liên thuộc

I1 : Có ít nhất hai điểm thuộc mỗi đường thẳng

I2 : Có một và chỉ một đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt chotrước

I3 : Có ít nhất ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng

I4 : Có một và chỉ một mặt phẳng thuộc ba điểm không thẳng hàng(không cùng thuộc một đường thẳng).

I5 : Đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm củađường thẳng đều thuộc mặt phẳng

I6 : Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì còn có một điểmchung thứ hai khác nữa

I7 : Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

II: Các tiên đề về thứ tự

II1 : Nếu điểm B ở giữa hai điểm A và C thì A, B và C là ba điểmphân biệt cùng thuộc một đường thẳng và điểm B nằm giữa haiđiểm A và C

II2 : Bất kì hai điểm A và C nào cũng có một điểm B sao cho C ở giữa

ba điểm đó Khi đó nếu đường thẳng a đi qua một điểm ở giữa A

và B thì nó còn đi qua một điểm ở giữa B và C hoặc ở giữa C vàA

III: Các tiên đề về toàn đẳng

III1 : Cho điểm A thuộc đường thẳng a và CD là một đoạn thẳng bất

kì (đoạn thẳng hiểu là một tập hợp gồm hai điểm) Khi đó có hai

điểm B1, B2 thuộc a sao cho AB1 và AB2 bằng đoạn CD Kí hiệu

AB1 = CD, AB2 = CD Với mỗi đoạn thẳng AB ta có AB = BA.III2 : Quan hệ bằng giữa các đoạn thẳng có tính phản xạ, đối xứng, bắccầu:

ACB = \A0C0B0 và BC = B0C0

IV: Các tiên đề liên tục

IV1 : (Tiên đề Acsimet) Với bất kì hai đoạn thẳng AB và CD bao giờcũng có số tự nhiên n sao cho nAB ≥ CD.

IV2 : (Tiên đề Cangto) Giả sử trên đường thẳng a cho một dãy vô hạncác đoạn thẳng A1B1, A2B2, , AnBn, sao cho mỗi đoạn thẳngnằm trong đoạn thẳng trước nó và bất kì đoạn thẳng CD nào chotrước bao giờ cũng có số tự nhiên n để AnBn < CD Khi đó trênđường thẳng a có một điểm X thuộc mọi đoạn thẳng của dãy đãcho

V: Tiên đề về đường thẳng song song

V : Qua mỗi điểm A không thuộc đường thẳng a có không quá mộtđường thẳng b cùng nằm trong mặt phẳng P = (A, a) không cóđiểm chung với a

Định nghĩa 1.1 Điểm là một bộ ba số thực sắp thứ tự (x, y, z) Mặtphẳng là một phương trình bậc nhất ba ẩn

Điểm (x1, y1, z1) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu Ax1+By1+Cz1+D =

0, thuộc đường thẳng (1.2) nếu có t = t1 sao cho

x1 = x0 + a1t1, y1 = y0 + a2t1, z1 = z0 + a3t1

Ba điểm A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) thuộc đườngthẳng (1.2) nếu có t1, t2, t3 sao cho

xi = x0 + a1ti, yi = y0 + a2ti, zi = z0 + a3ti, i = 1, 2, 3.

Khi đó điểm B nằm giữa A và C nếu t1 < t2 < t3 hoặc t3 < t2 < t1

Đường thẳng (1.2) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu

A(x0 + a1t) + B(y0 + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0, với mọi t

Người ta dùng mô hình số học để nghiên cứu hình học Euclid, đó

là phương pháp tọa độ trong hình học Euclid

Khi đó có mặt phẳng (γ) đi qua ba điểm A, D và E Do đó haimặt phẳng (α) và (γ) có hai điểm chung là F và D

Vậy mặt phẳng (α) có ít nhất ba điểm A, D và F

Định lý 1.2 Trong ba điểm cùng thuộc một đường thẳng có đúng mộtđiểm ở giữa hai điểm kia

Chứng minh:

Cho ba điểm thẳng hàng A, B và C Giả sử điểm A không nằm giữa haiđiểm B và C, điểm C không nằm giữa hai điểm A và B Khi đó ta cầnchứng minh điểm B nằm giữa hai điểm A và C

Thật vậy, theo tiên đề I3, có điểm D không thuộc đường thẳng

AB Theo tiên đề II2, có điểm E sao cho D ở giữa B và E Mặt kháctheo tiên đề II4, hai đường thẳng AD và EC cắt nhau tại F , là điểmnằm giữa E và C Tương tự hai đường thẳng CD và AE cắt nhau tại

Định lý 1.3 Mỗi đường thẳng có vô số điểm, do đó mỗi mặt phẳng và

cả không gian có vô số điểm

Định lý 1.4 Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kềvới nó

Chứng minh:

Cho 4ABC có [ACx là góc ngoài tại C Khi đó ta cần chứng minh[

⇒ [BAC = \ACD < [ACx

Định lý 1.5 Trong mặt phẳng có một và chỉ một đường thẳng đi quamột điểm và vuông góc với một đường thẳng khác

Định lý 1.6 Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a có một đường thẳngnằm trong mặt phẳng α = (A, a) và không có điểm chung với a

Định lý 1.7 Tổng các góc trong của một tam giác không vượt quá

180o

Định nghĩa 1.2 Nếu chọn một đoạn thẳng làm thước đo thì ta có thểgán cho mỗi đoạn thẳng một số thực dương được gọi là số đo đoạn thẳngsao cho hai đoạn thẳng toàn đẳng thì có số đo bằng nhau

+ Tổng số đo của hai đoạn thẳng bằng số đo của tổng hai đoạnthẳng đó.

+ Trên mỗi nửa đường thẳng Ox có một và chỉ một điểm A saocho số đo đoạn thẳng OA bằng một số thực dương cho trước

1.2 Hệ tiên đề vectơ của hình học Euclide

Định nghĩa 1.3 Vectơ là một cặp điểm (A, B) sắp thứ tự và được kíhiệu là −→

AB, trong đó A được gọi là điểm đầu, B được gọi là điểm cuốicủa vectơ

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không và

kí hiệu là ~0

Chú ý 1.1 Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ,vectơ còn được kí hiệu là ~x, ~y, ~a, Những vectơ đó được gọi là vectơ

tự do trong không gian

Định nghĩa 1.4 Hai vectơ −→

AB và −−→

CD được gọi là cùng phương vớinhau nếu đường thẳng AB và đường thẳng CD song song hoặc trùngnhau

Định nghĩa 1.5 Hai vectơ cùng phương −→

AB và −−→

CD được gọi là cùnghướng với nhau nếu chúng có cùng hướng đi từ điểm đầu đến điểm cuối,ngược lại được gọi là hai vectơ ngược hướng với nhau

Định nghĩa 1.6 Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ

−→

AB và được kí hiệu là |−→

AB|

Định nghĩa 1.9 Cho vectơ ~a và số thực k, tích của chúng là một vectơ,

kí hiệu là k~a và được xác định như sau:

trong đó −~x được gọi là vectơ đối của vectơ ~x.

Định nghĩa 1.10 Hệ {~x1, ~x2, ~x3} được gọi là hệ vectơ độc lập tuyếntính nếu tồn tại α1, α2, α3 ∈ R duy nhất đồng thời bằng 0 sao cho:

α1.~x1 + α2.~x2 + α3.~x3 = ~0

Hệ vectơ không độc lập tuyến tính được gọi là hệ vectơ phụ thuộctuyến tính

Định nghĩa 1.11 Cho hệ vectơ A = {~x1, ~x2, ~x3} Hệ con S = {~x1, ~xi} ⊆

A, i = 1, 2, 3 được gọi là một cơ sở của hệ vectơ A nếu thỏa mãn cácđiều kiện sau:

i S là hệ vectơ độc lập tuyến tính;

ii Mỗi vectơ của hệ A biểu diễn tuyến tính được qua hệ S.

Định nghĩa 1.12 Nếu hệ vectơ A có một cơ sở k vectơ thì số vectơcủa các cơ sở khác nhau cũng bằng k Khi đó số k chung đó được gọi làhạng của hệ vectơ A, kí hiệu là r(A)

Định nghĩa 1.13 Hạng của ma trận B là hạng của hệ vectơ cột của

Do đó ~x = λ1~y + λ2~z.

Vậy ba vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính

Ngược lại, nếu ~x, ~y, ~z phụ thuộc tuyến tính thì có tổ hợp tuyếntính: α1~x + α2~y + α3~z = ~0 sao cho αi, i = 1, 2, 3 không đồng thời bằng 0

Ví dụ 1.2 Chứng minh rằng: Ba vectơ ~x, ~y, ~z không đồng phẳng thìđộc lập tuyến tính và hệ {~x, ~y, ~z} là một cơ sở của tập hợp tất cả cácvectơ trong không gian

Vậy nếu gọi ϕ là góc giữa hai vectơ ~a và ~b thì ta có:

~a.~b = |~a|

~b cos ϕ

Nhận xét 1.2 Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất sau:

i ~x.~y = ~y.~x, ∀ ~x, ~y;

ii ~x.( ~y1 + ~y2) = ~x ~y1 + ~x ~y2, ∀ ~x, ~y1, ~y2;

( ~x1 + ~x2).~y = ~x1.~y + ~x2.~y, ∀ ~x1, ~x2, ~y;

được gọi là góc giữa hai vectơ ~x và ~y (không phụ thuộc vào ~x và ~y).

Hệ quả 1.1 Hai vectơ ~x và ~y vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vôhướng của chúng bằng 0

OC, hướng của vectơ là hướng từ chân tới đầu,thấy hướng quay từ vectơ −→

OA đến vectơ −→

OB theo góc nhỏ nhất là ngượcchiều kim đồng hồ (cùng chiều kim đồng hồ)

Tích có hướng của hai vectơ ~a và ~b là một vectơ ~c thoả mãn cácđiều kiện sau:

i ~c⊥~a và ~c ⊥ ~b;

ii |~c| = |~a|.|~b|.|sin ϕ|, với ϕ là góc giữa hai vectơ ~a và ~b;

iii Tam diện tạo bởi ba vectơ ~a,~b và ~c là thuận

Kí hiệu tích có hướng của hai vectơ ~a và ~b là ~a ∧ ~b.

Tính chất:

i Tính chất phản giao hoán: ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a;

ii Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ

(~a + ~b) ∧ ~c = (~a ∧ ~c) + (~b ∧ ~c);

~a ∧ (~b + ~c) = (~a ∧ ~b) + (~a ∧ ~c);

iii α.(~a ∧ ~b) = α.~a ∧ ~b = ~a ∧ α.~b

Hệ quả 1.2 Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khitích có hướng của chúng bằng vectơ không

Khi đó hoặc ~a = ~0, hoặc ~b = ~0, hoặc sin ϕ = 0

+ Nếu ~a = ~0 hoặc ~b = ~0 thì vectơ ~a và ~b cùng phương vì vectơ không cóphương tùy ý

+ Nếu sin ϕ = 0 thì hoặc ϕ = π hoặc ϕ = 0

Vậy hai vectơ ~a và ~b cùng phương

Định nghĩa 1.17 Cho ba vectơ ~a, ~b và ~c Nhân có hướng hai vectơ ~a

và ~b ta được vectơ ~a ∧~b, rồi nhân vô hướng vectơ đó với vectơ ~c ta được

số (~a ∧ ~b).~c, được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ ~a, ~b và ~c, kí hiệu là(~a,~b, ~c)

Mô hình vectơ trong không gian

OA, ~j =−→

OB và ~k = −→

OC như hình vẽ:

Trong đó:

+ xOx0, yOy0 và zOz0 lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trụccao;

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ;

+ Ba trục tọa độ chia không gian thành 8 miền, mỗi miền được gọi làmột góc tọa độ

Qui ước gọi vắn tắt là không gian Oxyz

Hệ trục tọa độ gọi là thuận (nghịch) nếu tam diện tạo bởi ba vectơ

~i, ~j và ~k là thuận (nghịch)

Định nghĩa 2.1 Trong không gian Oxyz, lấy một điểm M tùy ý Khi

đó ta có: −−→

OM = x~i + y~j + z~k

Các số x, y, z được gọi là các tọa độ của điểm M và lần lượt gọi

là hoành độ, tung độ và cao độ của điểm M Tọa độ điểm M được kíhiệu là M (x, y, z)

Nhận xét 2.1 Trong không gian Oxyz, mỗi điểm M ứng với một vàchỉ một bộ ba số sắp thứ tự x, y và z và ngược lại ứng với mỗi bộ ba

số sắp thứ tự x, y và z tồn tại một và chỉ một điểm M nhận chúng làmcác tọa độ Từ đó, ta lập được sự tương ứng một-một giữa tập hợp tất

cả các điểm trong không gian Oxyz và tập hợp tất cả các bộ ba số sắpthứ tự (x, y, z) Do đó vị trí của một điểm M hoàn toàn được xác địnhtrong không gian Oxyz

Những điểm trên trục hoành có tung độ và cao độ bằng 0; nhữngđiểm trên trục tung có hoành độ và cao độ bằng 0; những điểm trên trụccao có hoành độ và tung độ bằng 0

Định nghĩa 2.2 Trong không gian Oxyz, cho vectơ tự do ~a sao cho:

~a = a~i + a~j + a ~k Khi đó các số a , a và a được gọi là các tọa độ của

vectơ ~a trong không gian Oxyz, kí hiệu ~a(a1, a2, a3).

Định lý 2.1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x1, y1, z1) và điểmB(x2, y2, z2) Khi đó tọa độ của vectơ −→

AB là −→

AB(x2− x1, y2− y1, z2− z1).Chứng minh:

AB

Định nghĩa 2.3 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~a(a1, a2, a3) và

~b(b1, b2, b3) Khi đó tổng ~a + ~b là một vectơ được xác định bởi

~a + ~b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

và hiệu ~a − ~b là một vectơ được xác định bởi

~a − ~b = (a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3)

Định nghĩa 2.4 Trong không gian Oxyz, cho vectơ ~a(a1, a2, a3) và số

k ∈ R Khi đó tích k~a là một vectơ được xác định bởi

k~a = (ka1, ka2, ka3)

Định nghĩa 2.5 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~a(a1, a2, a3) và

~b(b1, b2, b3) Khi đó biểu thức của tích vô hướng ~a.~b theo các tọa độ củachúng được xác định bởi

~a.~b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Hệ quả 2.1 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~a(a1, a2, a3) và

~b(b1, b2, b3) Khi đó ta có:

2 .

Vậy [BAC = π

4.Định nghĩa 2.6 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ~a(a1, a2, a3) và

~b(b1, b2, b3) Khi đó biểu thức của tích có hướng theo tọa độ của chúng làmột vectơ được xác định bởi

~a ∧ ~b =

a2 a3

b2 b3

2

+

a3 a1

b3 b1

... class="page_container" data-page="26">

vectơ ~a không gian Oxyz, kí hiệu ~a(a1, a2, a3).

Định lý 2.1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x1, y1,...

+ Điểm O gọi gốc tọa độ;

+ Ba trục tọa độ chia không gian thành miền, miền gọi làmột góc tọa độ

Qui ước gọi vắn tắt không gian Oxyz

Hệ trục tọa độ gọi thuận (nghịch) tam... lập tương ứng một-một tập hợp tất

cả điểm không gian Oxyz tập hợp tất ba số sắpthứ tự (x, y, z) Do vị trí điểm M hồn tồn xác địnhtrong khơng gian Oxyz

Những điểm trục hồnh có tung