MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ.doc

Với tôi, * là hằng đẳng thức rất thú vị.. Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của * và hai hệ quả trên.. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức.

MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ

Với mọi số thực a, b, c, ta có :

(a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca)

= a(a + b + c) + bc (*)

Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị Trước hết, từ (*) ta có ngay :

Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì

a2 + 1 = (a + b)(a + c)

Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì

a + bc = (a + b)(a + c)

Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên

Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Hãy tính giá trị

của biểu thức :

Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có

a2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ;

b2 + 1 = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ;

c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b)

Suy ra

Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

= 2(ab + bc + ca) = 2

Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức

Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1 Chứng minh

rằng :

Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc :

1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥

b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ;

(ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2

1 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) =

Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng

:

Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac :

Tương tự ta có

Từ các kết quả trên ta suy ra :

Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã được viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c))

Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng : Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Tương tự ta có

Từ các kết quả trên ta suy ra :

Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập :

Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Hãy tính giá trị của

biểu thức :

Bài tập 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :

Bài tập 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

(a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2