Một vài bài toán bất đẳng thức thú vị toán THCS

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Qua bài toán 1 dưới đây tôi muốn giới thiệu đến các bạn một bất đẳng thức tổng quát,có thể sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác... Nế

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Qua bài toán 1 dưới đây tôi muốn giới thiệu đến các bạn một bất đẳng thức tổng quát,có thể sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác

Bài toán 1 : Cho các số dương a, b, c, k m, n Chứng minh rằng:

(ak b)( m c)( n)  ( 3abc 3kmn) 3 (*)

Lời giải: Đặt A = (a+k)(b+m)(c+n)=abc + (abn + bck + cam ) +(amn + kbn + cmk )

+kmn = ( 3abc  3kmn) 3 (đpcm)

Đẳng thức xảy ra a b c

k m n

 



 

 



 Sau đây là một số bài toán ứng dụng bất đẳng thức (*)

Bài toán 2: Cho ba số a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c =3

2 Chứng minh

rằng: B 1 13 1 13 1 13 729

Lời giải: áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

3

1 1

B

abc

  

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương ta có:

3

8

a b c

abc

abc

 

3

3

1

B

abc

     

Đẳng thức xảy ra 1

2

a b c

   

Bài toán 3: Cho ba số a, b, c là các số dương thỏa mãn abc  6 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức ( ) 2 3

P a bc   ca    ab

Lời giải: áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

3

6

abc

P  a b c    

Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=8.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức Q = 12 ( )

a b c

Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: a b  c 3 3abc  6

Suy ra 12 – (a + b + c )6

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức (*) ta có (a +2b)(b+ 2c )(c + 2a)  3

3abc 3 8abc

Hay (a + 2b )( b + 2c )( c + 2a ) 216

Suy ra Q 6 1

216 36

 

Đẳng thức xảy ra ab c 2

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1

36

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số thực không âm , chứng minh rằng:

(a+b – c)(b + c – a)(c + a –b)abc

Lời giải:

Ta nhận thấy tổng của hai số trong ba số hạng (a+b – c); (b + c – a); (c + a –b) đều không âm nên chỉ có nhiều nhất một số âm trong ba số hạng trên

Nếu trong ba số hạng trên có một số âm thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng

Nếu cả ba số hạng trên đều không âm, ta có:

2 2 2

a a  b c  a b c c a b 

Tương tự ta có:

2 2 2

a a b c c a b

b a b c b c a

c b c a c a b

    

    

     Nhân theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra:

a b c a b c b c a c a b

a b c b c a c a b abc

Phép chứng minh bất đẳng thức trên khá đơn giản và quen thuộc với nhiều bạn, nhưng bất đẳng thức này lại được ứng dụng để giải nhiều bài toán khó,

Ví dụ 1: (đề thi IOM năm 2000), Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng: a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

Lời giải:

Áp dụng bài toán trên cho ba số dương là a, 1, 1

b ta có:

a 1 1 b 1 1 c 1 1

a b

 a 1 1 b 1 1

a

 

1

a 1

 a 1 1

b

 

 (ab+b-1)(1 1 1

aab )  1

 a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.chứng minh rằng:

3 3 3 15 1

a b c  abc

Lời giải:

Áp dụng bài toán trên ta có:

(a+b – c)(b + c – a)(c + a –b)abc

(1 2 )(1 2 )(1 2 )

ab bc ca abc

a b c ab bc ca a b c abc

3 3 3 15 1

Đề nghị các bạn làm hai bài tập sau:

Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Chứng minh

Bài 2: cho x, y, z là ba số thực không âm có tổng bằng 1.Chứng minh rằng:

0 2 7

27

xy yz zx xyz