Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, trung trung tuyến AM = m... Cho tam giác ABC vuông cân tại A... Tìm hệ thức giữa tgα và cotgB với cotgC.
Trang 1Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A ; AB = AC = a ; O trung điểm BC; M
trung điểm AC, trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2 DC
a Chứng minh BM ⊥ AD
b Tính sinBAD
Giải
a/ BD = 2DC => BC = a 2 = 3DC => BD = 2a 2
3 ;
DC = a 2
3 ; OD = OC – DC = a 2
2 - a 2
3 = a 2
6 Trong tam giác ABC có G trọng tâm => OG 1
OA =3 OD
OC = a 2
6 : a 2
2 = 1
3 => OD
OC = OG 1
OA =3 => GD // AC => DK ⊥AB
Vậy trong tam giác ABD G là trực tâm => AD ⊥B
b./ Trong tam giác vuông AHD => sinBAD = KD
AD KD
AC = 2
3 => DK = AC 2
3 = 2a
3 ; AD2 = AO2 + OD2 =
2
a 2 2
+
2
a 2 6
AD2 = 2a2
4 + 2a2
36 = 18a2
36 + 2a2
36 = 20a2
36 = AD = a 5
3 sinBAD = KD
AD= 2a
3 : a 5
3 = 2 5
5 sinBAD = 2 5
5
Bài 2 Cho tam giác ABC có H trực tâm và là trung điểm của đường cao AH.
Chứng minh : tgB.tgC = 2
Giải.
tgB = AD
BD; tgC = AD
DC => tgB tgC = AD
BD.AD DC
∆ADB ∽ ∆ CDH => AD
CD = DB
DH => AD.DH = CD.DB
=> AD.AD
2 = CD.DB ( Vì DH = AD
2 _
=> AD2 = 2 CD.DB => AD2
CD.BD = 2
G D M A
O
K
H
D
A
Trang 2=> AD
BD.AD
DC = 2 => tgB tgC = 2
Bài 3 Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AB < AC, µC µC= 2α <45 0 , AM trung tuyến, AH đường cao , AM = m Chứng minh:
a Sin2α = 2sinα.cosα b 2cos 2 α = 1 + cos2α
c 2sin 2 α = 1 – cos 2 α.
Giải
a Có 2sinα.cosα = 2.AH CH
AC AC = 2AH.CH2
2AH.CH CH.CB = 2AH 2AH AH
CB = 2AM =AM =sin2α Vậy 2sinα.cosα = sin2α
b Có 2.cos2α = 2
2
CH CA
÷
=
2
BC.CH =2AM = AM (1) Xét 1 + 2cos2α = 1 + HM
AM = AM HM MC HM CH
(2)
Từ (1) và (2) => 2.cos 2 α = 1 + 2cos2α
c Từ sin2α + cos2α = 1 => cos2α = 1- sin2α Áp dụng kết qủa trên ta có
cos2α = 2cos2α – 1 = 2(1- sin2α) – 1 => 1 + cos2α = 2sin2α = 1-cos2α
Vậy 2sin 2 α = 1 – cos 2 α
Bài 4 Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, trung trung tuyến AM = m và
AB = c, AC = b
Chứng minh: 2m ≥ b.sinB + c.sinC
Vẽ (O; OA) ngoại tiếp của △ABC, vì các góc đều nhọn =>
Tâm O ở trong tam giác ABC, vẽ BD, CE vuông góc với tiếp tuyến của (O) tại D và E.Áp dụng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ta có : Bµ =CAE· ; Cµ = DAB· , MH⊥DE
Trong tam giác vuông BDH => sinDAB = DB
AB
=> DB = AB.sinDAB = c.sinC Tương tự trong tam giác vuông AEC
=> CE = b.sinB
Trong hình thang vuông BDEC cosMH đường trung bình 2MH = BD + CE = c.sinC + b.sinB
Mà trong tam giác vuông MHA : MH ≤ AM => 2MH ≤ 2AM Vậy c.sinC + b.sinB ≤ 2Am = 2m => 2m ≥ b.sinB + c.sinC
M H
B
A
C
H
M
E
D
O A
Trang 3Bài 5 Cho gócα và 0 0 < α <90 0 Tìm góc α biết :
a/.2sin 2 α – sinα = 0 b/ tgα =3tg(90 0 -α) c/ sinα = 2cosα ( với 0 0 <α <45 0 )
Giải a/ 2sin2α – sinα = 0 => sinα(2sinα – 1) = 0 vì 00< α <900, nên sinα ≠ 0
2sinα – 1 = 0 => sinα = 1
2 => α = 30 0
b/ tgα = 3tg(900- α ) => tgα = 3.cotgα = 3
tgα => tg2α = 3 => tgα = 3 Vậy => α = 60 0 ( tgα >0)
c/Có / sinα = sin(900 -2α) => α = 900 - 2α => 3α = 900 => α = 30 0
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC.
Tính sinBAD.
Giải.
Vẽ DH vuông góc AB => BH BD 2
AH= DC= => BH = 2AH
△BDH vuông cân tại H => HD = BH
=> HD = 2AH Áp dụng định lý Py ta go
AD = AH 5 sinBAD = DH 2AH
AD =AH 5 = 2 2 5
5
5 =
Vậy sinBAD = 2 5
5
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c; AC =b; BC = a (c < b) và µC = 2α.
Phân giác của góc C cắt AB tại D
a Tính tgα theo a; b; c
b Chứng minh tg2α = tgα.cos2 +1
cos2
α α
Giải
a tgα = AD
AC
Và : AD AC
BD =BC (tính chất tia phân giác trong)
AD DB AD DB c
+
Tgα = c
b a+
H
D
A
c
a b
B
A
C
α α
Trang 4b ta có tg2α = AB
AC = c
b => tg2 c: c b a 1 a
1 b a
= 1+ 1 cos2α
=> tg2α = tgα 1 1
cos2
= tgα.
cos2 +1 cos2
α
α Vậy tg2α = tgα
cos2 +1 cos2
α α
Bài 8 Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, B Cµ >µ , AH đường cao, AM trung tuyến, đặt
·MAH= α Tìm hệ thức giữa tgα và cotgB với cotgC.
Giải
Gọi độ dài AH = h, trong tam giác vuông AHC
Ta có : cotgC = CH
AH => HC = AH.cotgC = h.cotgC Tương tự trong tam giác vuông AHB: HB = h cotgB
Vì B Cµ >µ => cotgB < cotgC
Trong tam giác vuông AHM ta có Tgα = HM
HA Xét hiệu HC – HB = h.cotgC - h cotgB (1)
HC – HB = h.(cotgC - cotgB) Ngoài ra HC – HB = (HM + MC) – (BM – MH) = 2MH
HC – HB = 2HM = 2htgα (2) Từ (1) và (2) => 2htgα = h.cotgC - h cotgB
=> tgα = h.cotgC h.cotgB cotgC cotgB
Vậy : tg cot gC cot gB
2
−
α =
Bài 9.Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AI; BD; CE các đường cao giao nhau tại H.Chứng minh AB + BC + CA = (BH + CH)sinA + (AH + CH)sinB + (AH +BH)sinC
Giải
Hai tam giác vuông BHI và BCD đồng dạng
△BHI∽△BCD => BH.BD = BI.BC
△CIH∽△CEB => CH.CE = CI.CB Cộng vế theo vế BH.BD + CH.CE = BI.BC +CI.CB = BC(BI + IC) = BC2
BH.BD + CH.CE = BC2 Chia hai vế cho BC
=> BH.BD
BC + CH.CE
BC = BC=> BH.sinC + CHsinB = BC Tương tự AH.sinB + BHsinA = AB
AH.sinC + CHsinA = AC
=> BH.sinC + CHsinB + AH.sinB + BHsinA + AH.sinC + CHsinA = BC + AB + AC Bài 10 Tìm 0 0 < α < 90 0 Biết 2sin 2 α – 5sinα +2 = 0
A
M H
α
H
D E
I
A
B
C
Trang 5Đặt sinα = x > 0 và x < 1=> 2x – 5x + 2 = 0
(x – 2)(2x – 1) = 0 => x = 2 ; x = 1
2 Sinα = 2 : Loại; sinα = 1
2 => α = 30 0
Bài 11 Cho sinα.cosα = 1
2 Tính sin 10 α +cos 10 α
Có 2.sinαcosα = 1 (vì sinα.cosα = 1
2) và sin2α + cos2α = 1 Vậy sin2α + cos2α 2.sinαcosα = 0 => (sinα – cosα)- 2 = 0
sinα = cosα => sinαcosα= sin2 α= 1
2 => sin α = 2
2 => α= 450
Vậy sin10α +cos10α = 2
10 2 2
æ ö÷
çè ø =
1
16 Vậy sin 10 α +cos 10 α = 1
16
MONG CÁC BẠN HÀI LÒNG
