042 đề thi vào 10 chuyên toán phú thọ 2019 2020

Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ Câu 3.. a Chứng minh rằng FKCH là tứ giác nội tiếp b Chứng minh rằng AD AE... k Vậy tồn tại vô số số nguyê

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2019-2020 Môn: TOÁN CHUYÊN Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho số thực x thỏa mãn x 1 3

x

  Tính giá trị biểu thức P x3 13

x

b) Giải phương trình 1 1 1

x  x 

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho a b c là các số thực dương, chứng minh rằng , , a b 4a

b  c a c



b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn

Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều

là nữ

Câu 3 (2,0 điểm) Với mỗi số thực x , kí hiệu  x là số nguyên lớn nhất không

vượt quá x Ví dụ 2 1; 3 2

2



a) Chứng minh rằng x 1  x  x  x   1 x 1với mọi x

b) Có bao nhiêu số nguyên dương n840thỏa mãn  nlà ước của ?n

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH H AC.Goi

  là đường tròn tâm C bán kính CB Gọi F là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng

BH ( F khác B và H) AF cắt   tại hai điểm D E ( D nằm giữa A và )., E Gọi K là

trung điểm DE

a) Chứng minh rằng FKCH là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng AD AE  AH AC  AF AK

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp BFKtiếp xúc với   tại B

Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho

2019

1

2n 2020

n



ĐÁP ÁN Câu 1

a) Từ giả thiết có

3 3

1 3

x x

3 3

1

27 9 18

P x

x

b) Điều kiện xác định 0

1

x x





 



Phương trình đã cho tương đương với 2 1 2 1 0

1

x

x x



Đặt xt t 0;t 1ta có : 2  

Khi đó  2

1 2 3 2 2

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 6 2 5

Câu 2

4

a b a

ac b a c abc

b  c a c    



Theo Cô si

   

2

4

ac b ab c

a c ac

ac b a c abc

b) Giả sử tồn tại một cách xếp 30 bạn lên bàn tròn sao cho không có bận nào ngồi giữa hai bạn nữ Gọi các bạn theo thứ tự là A A1; 2; ;A30.Chúng ta chia

30 bạn sang 2 bàn tròn gồm A A1; 3; ;A29và A A2; 4; ;A30và giữ nguyên thứ tự

Khi đó ở cả hai bàn mới, không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau

Số bạn nữ ở mỗi bàn sẽ không vượt quá 15.

2 Suy ra tổng số bạn nữ ở cẩ hai bàn nhỏ hơn 15 (trái giả thiết)

Vậy luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh đó đều là nữ

Câu 3

a) Ta có ngay  x x(theo định nghĩa)

Giả sử  x  1 xthì  x 1là số nguyên mà  x  1  x ;

Mà theo định nghĩa thì  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x (mâu thuẫn do

   x  x 1 Do đó x x    1 x 1  x

Lại có    

1 1



  



Vậy x 1  x  x  x   1 x 1

b) Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn

Đặt k    nthì 1 k 28và 2  2

1

k  n k hay k2  n k2 2k

2

n k r

   với 0 r 2k

Mặt khác n khay  2 

k r knên r0; ;2k kvới 1 k 28 Lại có 840282 2.28

Mà n có dạng k k2; 2k k; 2 2kđều thỏa mãn yêu cầu bài toán

Số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.28 84

Câu 4

a) FKCFHC900 FKCHlà tứ giác nội tiếp

b) Xét hai tam giác ADB và ABE có Achung; ABD AEB

AB AE

Mặt khác AB2 AH AC AD AE  AH AC

Ta có AFH ACK g g( )AF AK AH AC

AD AE AH AC AF AK

c) Ta có AH AC AB2nên AF AK  AB2

Ta có AFB ABK c g c ABF AKBhay AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BFK ABlà tiếp tuyến chung

Đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK tiếp xúc với   tại B

K

E D

H A

B

C F

Câu 5

Ta chứng minh n100000000thỏa mãn

Thật vậy  9 2019  4 9.2019

9.2019 4.9.2019

100000000 100000000 100000000 100000000 999927316

Tiếp theo ta chứng minh nhận xét

Nếu n a 1000000000thỏa mãn, thì n2acũng thỏa mãn

Thật vậy,

 2019

2019 2019 2019 2019 2019 2019

a

Từ nhận xét trên kết hợp với quy nạp, ta thấy n2 10k 9thỏa mãn bài toán với mọi

k Vậy tồn tại vô số số nguyên dương n