039 đề thi vào 10 chuyên toán quảng ngãi 2019 2020

Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi Bài 3.. Tia CM cắt đường tròn  O tại N DB cắt CN tại ,; P AN cắt CD tại Q a Chứng minh

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019-2020

Ngày thi: 06/06/2019 Môn: Toán (Hệ chuyên)

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2  x2 2x19 4x74

b) Giải hệ phương trình:

2

3 6 0







Bài 2 (2,5 điểm)

a) Cho biểu thức

1

x

P

x

x x x x x x





    Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b) Cho hai số thực a b thỏa mãn , 2 2  

a  ab b  ab a b Tính giá trị của

biểu thức Q 2a b 3a 2b

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ,  d :ym2x m 1và

 d' :xm2y m 2,trong đó m là tham số Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi

Bài 3 (1,5 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x   y 3 1 x y

b) Số tự nhiên n1116có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt ? Tính tích của tất cả các ước số đó

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn O R; có hai đường kính AB và CD vuông góc với

nhau Gọi M là điểm di động trên đoạn thẳng OB ( M khác O và P) Tia CM cắt đường

tròn  O tại N DB cắt CN tại ,; P AN cắt CD tại Q

a) Chứng minh PQ/ /AB

b) Chứng minh CAQ đồng dạng với AMC,từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB

c) Chứng minh hệ thức

2

  

d) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp tam giác CPQ.Tính OM theo R trong trường hợp đó

Bài 5 (0,5 điểm)

Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu  Sau đó, thực hiện quá trình đổi dấu (dấu + sang dấu , dấu sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:

Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i1,2, ,2019

Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j1lần, j1,2, ,2019

Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện quá trình đổi dấu trên

ĐÁP ÁN Bài 1

a) GPT: 2x2  x2 2x19 4x74

Điều kiện: 2

2 19 0

x  x 

2 2x 2x19  x 2x19 360

Đặt 2

2 19, 0

t x  x t

Phương trình tương đương với 2

4( )

( ) 2

t tm

t t







  



5

x

x





Thay vào điều kiện ta thấy hai nghiệm thỏa mãn

Vậy S   5;7

b) Cộng vế theo vế hai phương trình ta được:

2

3

3

x

y x









   x y; 3;3

  hoặc   x y;  3; 3 

Thử lại ta thấy nghiệm    x y;  3;3 thỏa mãn hệ phương trình

Bài 2

  

     

      

)

a P

x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 x 3 2 6 P 2 2 6

x

b)

2a b 3a 2b 2a ab b 3a 5ab 2b 5a 4ab b

Q

Vì a2 4ab7b2 0nên ta có:

 2 2  2 2  2 2

6

Q

c) Nhận xét A       1;3  d ;B 0;1  d'

Với m 2thì  d :y3và  d' :x0vuông góc với nhau

Với m 2thì   1

2

m



Khi đó ta có   1    

2

m



Vậy    d  d' với mọi m

Vậy giao điểm của đường thẳng nói trên nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuôn nên thuộc đường tròn đường kính AB khi m thay đổi

Bài 3

a)

3 1

1 4

xy x y

xy

    

  

Nếu xy là số không chính phương thì VT là số vô tỉ còn VP là số hữu tỉ, vô lý

Vậy xyk2 xy k

Ta có:

  2 2

x  y xy xy    x y xy xy xy   x y  xy 

2 2

1(*)

1

2

x y xy

k



Nếu x là số không chính phương thì VT vô tỉ, VP hữu tỉ, vô lý

Vậy x là số chính phương, lý luận tương tự thì y là số chính phương

Đặt 2 2

;

xa yb , từ (*) a b ab 1 a1b 1 2

Ta tìm được      a b;  2;3 ; 3;2      x y;  4;9 ; 9;4 

b) n1116 3 376 6

Mỗi ước số nguyên dương của n có dạng 3 37 x ytrong đó x01;2;3;4;5;6và

0;1;2;3;4;5;6

y Do x có thể nhận 7 giá trị và y cũng có thể nhận giá trị 7 nên n có

tất cả 7 7 49ước số nguyên dương phân biệt

Nếu a là một ước số nguyên dương của , n a1113thì b n

a

 cũng là một ước số nguyên dương của ,n ba.Khi đó a và b tạo thành một cặp ước số nguyên dương của n và chúng có tích đúng bằng n

Trong 49 ước số nguyên dương phân biệt của ,n ngoại trừ 111 còn 48 ước số còn lại 3 được chia thần 24 cặp ước số có tính chất như cặp ước  a b ,

Vậy tích tất cả các ước nguyên dương phân biệt của n là  6 24 3 147

111 111 111

a) Vì ABCDnên CA CB D1 N1nên tứ giác PQDN nội tiếp

0 180

PND PQD

b) Xét hai tam giác CAQ và AMC có:

0

45 ;

ACQMAC CAQ AMC(do sd ACsd BN sd BCsd BN)

Vậy CAQ MAC g g( ) CA CQ AM CQ AC2 2R2

Tứ giác ACMQ có

2

ACMQ

AM CQ AC R

c) Ta có CAQ MAC g g( ) CA CQ AQ CQ AQ 2 1

( )

COM CND g g

  (vì DCN chung; COM CND90 )0

Suy ra CM CO CM CN 2 R R2 2R2

Tương tự: 2

2

AQ AN  R

1

1

N

D

C

B O

Vậy CM CN AQ AN AQ CN (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

  

d) Ta có tứ giác PQDN nội tiếp PQN PDN

Mà PDN BCN nên PQN BCN

NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CPQ khi PQN PCQ

Do đó: BCN PCQ hay BN ND

Suy ra CN là phân giác của OCB

Tam giác BOC vuông cân tại OBC BC OB 2 R 2

Vì CM là phân giác của tam giác BOC nên 1

MB  CB  R 

Ta có: OM MB R OM R 2 1 

Vậy khi OM R 2 1 thì NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CPQ

Bài 5

Theo quá trình đổi dấu ghi trên ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i3j1 lần Mà i3j1và i jhai số không cùng tính chẵn lẻ (vì i3j  1 i j2j1

là số lẻ)

Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i jlà số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu

ở ô vuông đó vẫn là dấu , còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i jlà số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu 

Mà từ 1đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp  i j mà i;  j bằng :

1009.1010 1010.1009 2038180

Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu bằng 2038180