Chứng minh DHCDOC c Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động Câu 5... OI CDGọi M là trung điểm của SO... Suy ra DHCDOCgóc nội tiếp cùng chắn cung DC c Chứ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Năm học: 2019-2020 Môn thi: Toán Chuyên Ngày thi: 11/06/2019 Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : 4 2 3 6 2 5 2
5 3
b) Tính thể tích của hình cầu, biết diện tích mặt cầu là 36 cm 2
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho parabol 2
:
P yx và đường thẳng d :y2x m 2, m là tham số Tìm
m để d cắt P tại hai điểm phân biệt
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 3y2 2xy2x10y 4 0
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 1 5 x 2 x1 5 x
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn O R , DC là một dây cố định không đi qua O Gọi S là điểm di ;
động trên tia đối của DC (S không trùng D) Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA SB với đường , tròn O R; (A B là hai tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của DC ,
a) Chứng minh 5 điểm , , , ,S A B I O cùng thuộc một đường tròn
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB Chứng minh DHCDOC
c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn xy yzzx5.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x2 3y2 z2
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
2 ) 4 2 3 6 2 5
5 3
2 5 3
3 2 3.1 1 5 2 5.1 1
2 5 3
2
3 1 5 1 5 3 2 5
a A
b) Gọi R là bán kính mặt cầu Khi đó diện tích mặt cầu :4R2 36cm2 R 3(cm) Thể tích hình cầu: 4 3 4 3 3
.3 36
V R cm
Câu 2
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x x m x x m
Ta có: ' m 1. d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tức là ' 0 m 1
Vậy m1
b) Ta có: x2 3y2 2xy2x10y 4 0
x 3y 1x y 3 7 0 x 3y 1x y 3 7
Vì ,x y nên ta có các trường hợp sau:
)
)
i
ii
Trang 33 1 7 3 6 3
)
)
iii
iv
Vậy nghiệm nguyên cần tìm là x y; 1; 3 ; 7; 3 ; 3;1 ; 3;1
Câu 3 a) Điều kiện : 1 x 5 Đặt 1
5
ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
, 0
u v uv
u v
u v
u v
0
1 0 0
0
5
u
x u
v
x
Vậy nghiệm cần tìm là S 1;5
b)
2 2
2 2
Từ (2) ta có: 2 2
x y y x y thay vào (1) ta được:
2
2
2
y
y x
Trang 4i) Với y 2thì (2) trở thành x2 4 0(VN)
ii) Với y xthì (1) trở thành: 2 2 1
2
x
x
Khi đó hệ có nghiệm x y; 1; 1 ; 2;2
Câu 4
a) Chứng minh 5 điểm , , , ,S A B I O cùng thuộc một đường tròn
Vì SA SB là các tiếp tuyến nên , SAOA SB, OB,mặt khác I là trung điểm của CD nên
OI CDGọi M là trung điểm của SO Khi đó ta có:
MS MOMAMI MB(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Suy ra 5 điểm , , , ,S A B I O cùng thuộc một đường tròn M
b) Chứng minh DHC DOC
J
H
I
B
A
M
O
S
Trang 5Xét hai SDB và SBC có: S chung SDB SBC g g( ) SB2 SD SC.
Xét SBO có SB2 SH SO (2)
Từ (1) và (2) SD SC SH SO SC SO
SH SD
Xét hai SDH và SOC có:
( )
S chung
Suy ra SDH SOC(hai góc tương ứng)
Xét tứ giác DHOC có:
0
180
HOCHDCSOCHDCSDH HDC suy ra tứ giác DHOC nội tiếp
Suy ra DHCDOC(góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
c) Chứng minh dường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động Gọi J là giao điểm của AB và OI Xét hai OIS và OHJ có:
0
90 ;
OIS OHJ Ochung
OIS OHJ g g OI OJ OH OS
Mặt khác OH OS OB2 R2(hệ thức lượn trong tam giác vuông SBO)
Từ đó
2 2
OI OJ OH OS R OJ
OI
hệ thức này chứng tỏ J là điểm cố định
Hay đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định J khi S di động
Câu 5
Vì , ,x y z0nên áp dụng BĐT AM-GM ta có:
2 2
1
2
1
2
2
x z xz
x y xy
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 10 Đẳng thức xảy ra khi:
Trang 62 2
1
2
2
1
2
1 2
1
5
x
xy yz zx