Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho.. song song với AD cắt MN tại E.. a Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật b Chứng minh ACEDCN Câu 4.. Chứng minh rằng PN PM Câu 6... Lại
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH
Năm học 2019-2020 Môn: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm)
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để P 2.A 1
x
đạt giá trị lớn nhất
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 6x 8 3 x2
b) Giải hệ PT:
2 2
1
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
BDBAGọi M N lần lượt là trung điểm của , AC AD Đường thẳng qua B và , song song với AD cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật
b) Chứng minh ACEDCN
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Tồn tại hay không 3 số a b c thỏa mãn , , 2 2 2 1
2019
b ca c ab a bc
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y thỏa mãn ;
2 2
85 13
x y
x y
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N Kẻ dây MA
của đường tròn (O) tiếp xúc với O và dây ' MB của đường tròn O tiếp xúc với '
O Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN tại P P M
Chứng minh rằng PN PM
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn ab bc ca1.Chứng minh rằng:
a b b c c a Dấu " " xảy ra khi nào ?
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
a) ĐKXĐ: x0,x4,x9
:
:
A
A
b) Ta có:
2
2
max
1
1
P A
x
x
Câu 2
a) ĐKXĐ: x 2
1
2 1 3
2 1
x
x
x
2 1 2( )
1( )
x
Trang 3b) Giải hệ phương trình
2 2
1
ĐKXĐ: x 2,y 2
2 2
1
1
1
Đặt
2 2
1
2
1 1
x
a b y
a b
b
Vậy x y; 2;0 ; 0;2
Trang 4Câu 3
a) Ta thấy rằng M N lần lượt là trung điểm của , AC AD nên MN là đường , trung bình của tam giác ACDMN / /CDhay ANE ADB
Vì BABD ABDcân tại BBN AB BDA, BAD
Vì BE/ /ADBNANBE 90 ,0 ANE NEB
BEAN
là tứ giác nội tiếp NEA1800 900 900
Vì NAEBNANBE90 (0 dfcm)
b) Dễ thấy MAE DAB(cùng phụ với BAE)MAEMNA
Lại có AMElà góc chung nên MAE MNA g g( ) MA MN
ME MA
Mà MA MC MC MN
ME MC
Do EMC là góc chung MEC MCN c g c( )ECM MNC
E N
M
D
B
A
C
Trang 5Lại có MN / /CD (đường trung bình)MNCDCNACE DCN dfcm( )
Câu 4
a) Giả sử tồn tại bộ số thực a b c thỏa mãn yêu cầu đề bài , ,
Rõ ràng ĐK , ,a b c là: a2 bc b, 2 ca c, 2 ab
Nếu a b cthì a2bca2 a2 0 a2 bc(vô lý)
Vậy nên trong 3 số a b c phải có ít nhất 2 số khác nhau Khi đó: , ,
2 2 2
0
a b b c c a
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
1
2
0
a b c
Khi đó, nếu tồn tại 2 số bằng nhau, giả sử a b thì:
0
b ca c ab
b ca c ab
a b c b c b c
a b c
(vô lý)
Từ dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
1 2019
1 2019
b ca c ab c ab a bc a ab b ca
b c a b c c a a b c a b a b c
Đặt :
2
2
x yz
y zx x y z xy yz zx
z xy
2 2 2
0
x y y z z x x y z
Kết quả cho thấy vô lý Vậy không tồn tại bộ 3 số thỏa mãn theo yêu cầu
Trang 6b) Vì
2 2
13
x y
x y
85 x y 13 x y 0 x y 0
Áp dụng BĐT: 2
2
2 2
0 2
x y
(luôn đúng)
Ta có : 2 2 13 2 170
xy x y x y x y x y
13
x y
x y
2
6 ( )
13
( ) 6
x TM
x y
TM y
Vậy nghiệm của phương trình là x y; 6;7 ; 7;6
Trang 7Câu 5
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H K theo thứ tự là giao , điểm của OO với MN và MI Rõ ràng ' OO'MN và HM HN
Ta thấy IM IP nên NP NM nên OI là đường trung trực của đoạn MA
/ / '
MA OI OI MO
Tương tự ' / /O I MOOIMO'là hình bình hành, khi đó K là trung điểm của MI HK
là đường trung bình MNI NI / /HKhay NI / /OO '
P
I
B
A
N
M
Trang 8Mà MN MO'MN ININMPPN MN dfcm( )
Câu 6
Bình phương 2 vế, ta cần chứng minh tương đương
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
a b a b a b a b ab ab
Gọi vế trái của (*) là S Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
S a b b c c a a b c ab bc
bc ca ca ab
ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca
Dấu " " xảy ra
0
3
3 1
a b c
ab bc ca