053 đề thi vào 10 chuyên toán quảng bình 2019 2020

3,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD4 a a0.Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F a Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp b Gọi I là giao đi

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2019-2020

Khóa ngày 03/06/2019

Môn: TOÁN (CHUYÊN) Câu 1 (2,0 điểm) Cho parabol   2

:

P yx và đường thẳng d đi qua điểm M 0;1

có hệ số góc k

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A B,

phân biệt với mọi giá trị k

b) Chứng minh OAB là tam giác vuông với mọi giá trị k ( O là gốc tọa độ)

Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình : 2  

x   x x x

b) Giải hệ phương trình :

2 3 3







Câu 3 (1,0 điểm) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn x  y z 2.Chứng

minh rằng:

2019x 2xy2019y  2019y 2yz2019z  2019z 2xz2019x 2 2020

Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD4 (a a0).Đường

thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F

a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BD và EF Tính độ dài đoạn thẳng ID

theo a

c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB ( M khác , A M khác B), đường thẳng CM

cắt đường thẳng AD tại N Gọi S1là diện tích của tam giác CME và S2là

diện tích của tam giác AMN.Xác định vị trí của M sao cho 1

2

3 2

S

Câu 5 (1,5 điểm) Cho abclà số nguyên tố Chứng minh rằng phương trình

2

0

ax bx c không có nghiệm hữu tỷ

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0;1 có hệ số góc :k ykx1

Phương trình hoành độ giao điểm của d và   2

: 1 0(1)

P x kx 

Phương trình (1) có 2

4 0,

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng d luôn cắt

 P tại hai điểm A B phân biệt với mọi giá trị k ,

b) Gọi  2

1; 1

A x x và  2

2; 2

B x x Khi đó x x1, 2là nghiệm của phương trình (1) , suy ra x x1 2  1

Phương trình đường thẳng OA y: x x1

Phương trình đường thẳng OB y: x x2

Do x x1 2  1nên OAOB.Vậy OAB là tam giác vuông

Câu 2

2a) Điều kiện : x1

2

Đặt y x1,y0

Phương trình (1) trở thành:

 

Suy ra x   1 1 x 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2

2b)

5 3 6 7 4 0 (1)

2 3 3 (2)







Điều kiện 2

  2 3 1 0 3

1

y

y x

 





Với y x 1,từ (1) ta có:  2  2

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm    1;2 ; 4;5

Câu 3

Đặt

2019 2 2019 2019 2 2019 2019 2 2019

2019x 2xy2019y 1009 x y 1010 x y 1010 x y

2019x 2xy2019y  1010 xy

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y

Tương tự :

Do đó S 2 1010x y z2 2020

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

3

x  y z

Câu 4

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên BDA CAD

Mặt khác CAD AEF(cùng phụ với AFE)

Suy ra BDAAEF

Tứ giác EBDF có BEFBDF BDABDF 180 0 Vậy tứ giác EBDF nội tiếp

b) Tam giác ACE vuông tại C và CB EAnên ta có: CB2 BE BA

2

4

a CB

3

3

a

ID

5





N

I

F E

D A

M

Do BC / /AN nên . 2

4

AN



Suy ra

1

2 2

2 2

S

x 2ax 20a 0 x 2 (a do 0 x 4 )a

Khi M là trung điểm của AB thì 1

2

3 2

S

Câu 5

Giả sử phương trình ax2 bx c 0có nghiệm hữu tỉ, khi đó

4

Suy ra b2 m2hay bm (1) Ta có:

2

2

Do abclà số nguyên tố nên 20a b m abc hoặc 20 b m abc , Suy ra 20a  b m abc (2)

Từ (1) ta có 20a2b20a  b b 20a b m

Từ (2) ta có: 20a  b m 100a10b c 100a10b

Do đó:

20a2b100a10b2 10ab 10 10ab  2 10(vô lý)

Vậy không thể là số chính phương nên phương trình ax2 bx c 0không có nghiệm hữu tỉ