Tổng hợp các câu hệ phương trình HAY giải chi tiết

HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III) 201.  2    2 2 1 4 3 0 22 9 18 4 3 76 x x y y x y x               202. 6 3 2 2 9 28 30 2 3 x y x y y x x y              203.  2 2  2 3 3 3 x y x x y x y x x              204.      2 3 2 2 2 1 2 1 log 1 1 log 2 x y x y y x                    205.         2 2 2 2 1 3 1 3 0 x x xy y x y y y xy x               206. 2 2 2 5 0 2 5 1 0 x y xy x y xy y y              207.     2 2 2 2 3 2 2 2 3 0 2 3 2 6 1 0 x y x y x xy y x y y                 208.       2 4 3 3 2 2 4 2 227 2 2 5 1 454 x y y x x x y x x              209.   11 10 22 12 4 4 2 2 7 13 8 2 . 3 3 1 3 x xy y y y x y x x y              210. 2 4 16 2 3 x y x y x y x y x              211. 2 4 2 4 2   2 2 2 1 2 3 2 3 x y xy y x y x y x               212. 2 3 2 2 4 3 8 13 x x y x y              213.   3 3 6 2 2 2 2 3 3 2. 3 10 3 2 4 5 3 x y x y x xy y x x y y                 214. 2 2 2 2 1 1 4 6 4 6 x x y y x x y y                  215.     3 3 2 3 3 1 3 2 42 2ln ln 2ln 0 3 x y xy y x y x x x y              216. 2 2 3 3 1 2 1 2 2 1 2 68 15 x y xy x x y            217.     3 3 2 2 2 2 3 10 12 6 2 3 x xy y x y x x y x y xy               218.   2 1 2 3 3 2 2 2 2 6 x x y x y x y x y x y              219. 3 2 3   3 2 4 3 1 2 2 3 2 2 14 3 2 1 x x x x y y x x y                 220.   3 2 2 2 1 1 1 1 10 x x y x y y x y y                221.       2 2 3 2 2 2 2 3 4 0 1 3 x y xy y x y xy x y xy x y                222. 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 6 12 13 x y x y y x x x y x x y x               223.         4 2 2 4 4 3 4 9 7 3 3ln 0 64 32 8 3 x y x y x y x x y x y y                         224. 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 3 y x y x x x x y y           

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

2

2

01

y

y y

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

x xy x

20071

3 3

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

CÁC BÀI GIẢI

Không khó để phát hiện ra hàm số ở phương trình thứ nhất của hệ Phương trình thứ nhất của

hệ tương đương với:  2   

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Vậy nghiệm của hệ là x y,    3;6 , 2;1

Cách giải khác: Khi nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 3:

g x tăng) Mặt khác ta lại có g  2 0 nên (**)   x 2   y 1

Cách làm này có thể chấp nhận được nhưng dường như chưa thuyết phục! Bởi vì nghiệm

2

x  thì không phải ai cũng nhẩm được mà phải sử dụng đến máy tính bỏ túi

Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

+) Nếu x1 thì x2  3 x 3, không thỏa mãn nốt

Vậy x = 1, thay vào (*) ta được: 1   y 3 y 8

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x y,    1;8

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Vậy nghiệm của hệ là x y,     0;0 , 2; 1 ,  1;1

Lúc này phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

Đến đây ta đặt ẩn phụ a x y  và b x 2y2 để giải hệ hai ẩn

Dường như cách giải này có vẻ “có hệ thống” hơn, bởi vì không dễ gì phát hiện được việc phải trừ hai vế của hệ cho nhau

Rõ ràng x = y = 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ, loại

Thế 2 y x2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được:  2 

227x x 2x   5 x 1 454 (*)

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

thỏa mãn hệ, vậy nên ta phải có y khác 0

Lúc này chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 11

Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta thu được:

Vậy nghiệm của hệ là x y,   5;16

xy   y Biểu thức này lại có liên hệ với 3y ở vế trái, vì vậy ta thử thực hiện phép 2

nhân liên hợp Điều chú ý là khi thực hiện phép nhân liên hợp này thì phải chú ý đến điều kiện của biểu thức liên hợp khác 0

(+) Nếu y = 0 thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành: 2 1 0  , vô lý!

(+) Nếu y khác 0 thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

+) Với x = 2 thì y2    1 y 1, thỏa mãn các điều kiện

+) Với x 4 2 thì y2  2   1 y 1 2 , thỏa mãn các điều kiện

x y

Thử lại thấy đây là nghiệm của hệ

Như vậy hệ có nghiệm duy nhất là x y,   0 ; 1

(+) Nếu x 2 15 thì y 2 15, không thỏa mãn điều kiện (*)

(+) Nếu x 2 15 thì y 2 15, thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy nghiệm của hệ là x y, 2 15 ;2 15

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

2ln

g x x  x x trên 0 ; Hàm số có đạo hàm:   2 2

Lập bảng biến thiên, ta thấy g x g 1 0 Phương trình (**) lại có dạng g x 0 nên nó

phải tương đương với x = 1 Từ đây suy ra y = 1

Vậy nghiệm của hệ là x y,    1;1

Cách giải khác: Khi giải (*), có thể đặt ẩn phụ 3

Từ đây tương tự ta cũng xét hàm và suy ra rằng x y

Đến đây ta kết luận hệ có hai nghiệm là x y, 417 ; 17 ,4   417 ; 417

Cách giải khác: Có nhiều cách dùng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức ở trên, ví dụ là

dùng biến đổi tương đương phương trình thứ nhất (bình phương hai vế):

Nhận thấy trong tất cả ba số hạng ở phương trình thứ hai của hệ (không kể hệ số tự do) thì chúng đều có bậc là 1 Nhận xét thêm phương trình thứ nhất của hệ có vế phải chứa một đa thức bậc 1 Vì vậy ta hoàn toàn có thể đưa hệ phương trình trên về dạng đẳng cấp Và để bài giải được gọn hơn, ta sẽ đánh giá như sau:

Đến đây ta nhẩm được nghiệm là t = 1 Thế nhưng nếu dùng nhân liên hợp thông thường thì

dường như cũng không có kết quả Sử dụng đạo hàm cũng không khả quan Ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Biến đổi (**) thành:  3   

2 2

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Ta sẽ phân tích một chút để sử dụng bất đẳng thức Thử các giá trị của x vào thì ta thấy rằng vế

trái lớn hơn vế phải Như vậy ta sẽ chứng minh vế trái lớn hơn hoặc bằng vế phải Có thêm các nhận xét sau:

– Bậc cao nhất của vế trái là bậc nhất Và bậc cao nhất của vế phải cũng là bậc nhất

– Vế phải chứa đến hai dấu căn làm ta liên tưởng đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy, nhưng một điều rắc rối khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy với số hạng  2 

2 t 1 thì sẽ làm tăng bậc của nó (thành bậc hai, cụ thể:   2

) Vì vậy khi chứng minh thì ta

nên bình phương hai vế lên Và để gọn gàng thì ta sẽ cố gắng quy số hạng 5

2

t

bé hơn hoặc bằng một bội nào đó của  2 

2 t 1 để việc bình phương trở nên gọn nhẹ

t t





  Vậy nên nếu muốn có (***) thì

dấu bằng tại (1) phải xảy ra, tức là t = 1 Thử lại t = 1 thỏa mãn (***)

Với t = 1 thì x y Thay vào phương trình thứ nhất của hệ tìm được x = y = 1 Đây cũng chính

là nghiệm duy nhất của hệ

Vậy nghiệm của hệ là x y,    1;1

Nhận xét: Bài toán trên sử dụng phương pháp đồng bậc, khá rắc rối về mặt biến đổi Lời giải có

thể gọn hơn như sau:

Chia hai vế của (2) cho y và đặt 3 t x

Với đề bài như thế này thì chúng ta sẽ không áp dụng được bất đẳng thức Cauchy cho số hạng

10 xy giống như trên do không biết x , y dương hay âm Thật vậy, nếu x không âm thì có thể

áp dụng, thế nhưng ta thấy nếu x âm thì bất phương trình thứ hai nằm trong hệ sẽ luôn đúng, tức

là xem như bất phương trình cho ta một điều hiển nhiên Lúc này, x âm thì y sẽ âm, và từ đó ta

sẽ tìm được vô số nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ, tức là hệ có vô số nghiệm

Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ là phương trình đẳng cấp

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

g t đồng biến trên D Mặt khác ta có g 7 0 nên (**)  x 7

Với x = 7, thay lại ta được: 1 1 3 2 3 2 49 143

2 2

(với x y 1 và y 1 0 thì biểu thức trong dấu ngoặc vuông luôn dương)

Với x = y, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2x1 x 1 10 (*)

Vậy nghiệm của hệ là x y,    3;3

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

Thế x = –y trở lại vào xy = –1 ta được: 2 1 1 1

+) Nếu y = 0 thì thay vào (*) ta được x = 0 Cặp số này không là nghiệm của hệ

+) Nếu y khác 0 thì chia hai vế của (*) cho y3 ta được:



Thử lại thấy chính là nghiệm của hệ phương trình

Vậy hệ có hai nghiệm là     13

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Tương tự ta cũng tìm được điều kiện của y là 2 y 3

Với điều kiện trên thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

2 2

  

Hệ được viết lại:

2 2

y y

1 0

1

11

x y







Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y,    0;1

Nhận thấy hệ trên có dạng đẳng cấp, thế nhưng nếu ta giải theo kiểu đẳng cấp thì sẽ thu được một phương trình đẳng cấp bậc 4 Thế nhưng, nghiệm của phương trình này rất lẻ, không thể dùng phương pháp thông thường để giải nó một cách ngắn gọn được

Bài hệ phương trình này có cách giải riêng của nó Đó là:

Cộng vế theo vế hai phương trình ta được: 2 x2 3y2 x3 3xy2 2

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

2 2

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Vậy hệ có hai nghiệm là x y,      1;0 , 4;3

và 30  x 20

Hệ phương trình này không hề khó, chỉ có điều hình thức của nó làm chúng ta “hơi sợ” Thật

vậy, ta đặt a 30x và b 18 y (điều kiện 0 a 5 2 và 0 9 2

Như vậy hệ có ba nghiệm là x y,   29;18 , 5;2 , 19; 18   

+) Nếu x = 0 thì thay vào phương trình thứ hai ta được:  22 2 2

t Điều này cho thấy hai nghiệm t ở

trên đều không thỏa mãn

Vậy nghiệm duy nhất của hệ là x y,    0;0

x  y  Với bài toán này ta sẽ sử dụng một “đơn giản” nhưng lại “ít được sử dụng”, đó là rút – thế Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Nhận thấy vế trái luôn không âm nên vế phải cũng không âm Ta lại có 11x2 12x21 0 (vì

nó là một tam thức bậc hai có hệ số a > 0 và  0), nên từ đó suy ra x 1 0, tức x 1

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

luôn dương với mọi x   1; , suy ra f x đồng biến trên    1; 

Mặt khác ta có f   1 2100 nên phương trình (**) vô nghiệm

Như vậy nghiệm của hệ là   3

(do hệ này đẳng cấp bậc 6!) Ta áp dụng cách giải cộng trừ đại số

“thay” được vế phải bằng một đa thức bậc 0 thì nó sẽ trở thành một phương trình đẳng cấp, dễ làm hơn rất nhiều Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

y  Mặt khác ta biến đổi như trên thì thấy rằng:

 2

2

95

Như vậy nghiệm của hệ là x y,    1;1

Ta xem hệ trên như là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là x và 3 y , còn tham số là xy 3

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Như vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 2y và x 1 y

+) Nếu x 2 2y, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Thử lại điều kiện xác định ta chỉ lấy nghiệm x y,    2;0

+) Nếu x 1 y x    1 y 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Vậy nghiệm của hệ là x y,    2;0

Đây lại là một hệ phương trình có hình thức “khó chịu”

Thử lại cặp số này thỏa mãn hệ đã cho

(+) Nếu x = 2y thì thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

2

x     x x x  (điều kiện 1  x 4)

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) ta được:

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ là x y,    2;2

1 x  y 0 Với điều kiện này thì hệ đã cho tương đương với:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3223

4

x y

1

2223

Thử lại thấy đây là nghiệm của hệ

Vậy nghiệm của hệ là   6 6 3 2 6

Hệ đã cho tương đương với:

Với t = 1 thì x = y , thay vào (2) ta được: 45 x  x  x     1 x 1 y 1

Thử lại thấy đây chính là nghiệm của hệ

Vậy nghiệm của hệ là x y,    1;1

Với bài toán này dường như nó “gợi ý” cho ta một hướng đi khá “gay go và cạm bẫy”, đó là thế

2

x  y y  vào phương trình thứ nhất của hệ Thế nhưng sau một hồi mày mò thì kết

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

quả nhận được không được khả quan Chúng ta có thể tìm ra một số nghiệm bằng phép thế, thế nhưng lại không thể tìm hết được các nghiệm còn lại

Với bài toán này, nếu nhận xét được rằng phương trình thứ nhất là phương trình bậc hai ẩn y và tham số là x thì việc giải phương trình sẽ khá nhanh chóng

Phương trình thứ nhất tương đương với: 2  2   4 2

x

y 

(+) Nếu

x

y   x   y

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

Vậy nghiệm của hệ là x y,   2 ;0

Hệ phương trình này sử dụng phương pháp đánh giá!

Với x > 0 thì từ phương trình thứ hai suy ra y > 0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   1 3

Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

(+) Nếu y = 2x thì thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

2y  2y 1, điều này rõ ràng vô lý

(+) Nếu y = 2x – 4, thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

Cặp số này chính là nghiệm của hệ phương trình

Như vậy nghiệm của hệ là   273 257

Dễ thấy hệ phương trình đã cho là hệ đẳng cấp với x và y Thế nhưng nếu ta giải theo cách đẳng cấp với x và y thì sẽ nhận được một phương trình với các bước giải khá dài dòng Với bài toán

này, chúng ta còn nhận xét thêm đây là hệ đối xứng Một bước đặt sẽ giúp việc nhìn nhận hệ đẳng cấp này theo kiểu “vừa đối xứng, vừa đẳng cấp” như sau:

Hệ đã cho viết lại:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

2 2y  x 1 y x 1 2y  y 2 2y   x 1 0 2y x 1 (do y2  2 0) Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2

(+) Nếu x = 3t (với t > 0) thì x dương Rõ ràng x dương làm cho vế trái của (*) luôn dương nên

(*) vô nghiệm trong trường hợp này, loại

Thử lại thấy đây là nghiệm của hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ là x y,   3;4

– Nếu y 1 x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Thử lại thấy đây chính là nghiệm của hệ

Vậy hệ có hai nghiệm là   1 1 1 1

Lúc này hệ đã cho tương đương với:

Với y = 2 thay vào (*) ta được x = 1 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ là x y,    1;2

1

x   y Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:  3  3  2   

Rút gọn phương trình này ta được:

(+) Với x = 0, thay vào (2) ta được y = 1

(+) Với x = –1, thay vào (2) ta được y = –1

Vậy hệ có hai nghiệm là x y,     0;1 ,  1; 1

Nhận thấy phương trình (1) có thể rút b2 theo a, thế nhưng để thế vào phương trình (2) thì cần

bình phương hai vế phương trình (2) lên

Bình phương hệ quả hai vế phương trình (2) ta được: 2 2 22 2

(+) Nếu a = 0 thì thay vào hệ (*) ta tìm được b = 0

Với a = b = 0 thì x      y x y 0 x y 0 Thử lại thỏa mãn hệ ban đầu

Với a = 1, thay vào hệ (*) ta được:

2

2 2

Như vậy hệ có hai nghiệm là      

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Cách giải khác: Để giải (*), ta có thể giải theo cách đẳng cấp:

Giải phương trình ẩn t trên và tìm nghiệm

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Thế (2) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:     x2 1 0 x 1 (do x0)

Với x = 1, thay vào (2) ta được: y   2 2 y 2

Như vậy nghiệm của hệ là x y,    1;2

(do  2   3 2 1 2 3

x y  x y   x y  x y   ) Phương trình thứ hai của hệ viết lại thành:  4   2   2

Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là   1 1

2 2

x y   

Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

 3

33

Với x = 1 thì thay trở lại (1) ta tìm được y = 1

Vậy nghiệm của hệ là x y,    1;1

Nếu y 0 thì hệ đã cho tương đương với:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

4,4,

22

Với y 2, thay trở lại hệ ta tìm được x = 2

Vậy nghiệm của hệ là x y,   2; 2 

Cách giải khác: Bài toán này có đến ba cách giải khác! Cách mà chúng ta trình bày ở trên thực

chất chỉ là một trường hợp được xây dựng suy ra từ phương pháp hệ số bất định

Ta thấy (1), (2) là các tam thức đối với x và y nên ta nghĩ đến việc cộng hai phương trình này theo một tỉ lệ nào đó để thu được một tam thức bậc hai ẩn x khác có nghiệm đẹp (nghiệm có thể biểu diễn theo y)

nghiệm duy nhất (có thể theo biến K hoặc biến y) Vì mục đích của chúng ta là đi tìm K nên ta

coi phương trình 'x = 0 là phương trình ẩn y , tham số là K

Lúc này phương trình 'x = 0 có biệt thức:

+) Với K = –2, thay vào (*) ta được: 10x2 3y2 40x12y520

Phương trình này có biệt thức:  2

Lưu ý: (1) Ở bài toán trên, ta có thể tìm được ngay K = 1

10K , là một bình phương của một biểu thức đối chỉ với K

Điều đặt ra ở đây đó là làm sao để tìm được hệ số K trong khi thời gian làm bài là rất hạn chế? Một công cụ rất hữu ích được sử dụng để tìm hệ số K một cách nhanh chóng nhất chính là sử

dụng chức năng SOLVE của máy tính bỏ túi

Với đề bài: Giải hệ phương trình:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Như vậy hệ có hai nghiệm là x y,      1;2 , 2;3

bài toán này sử dụng phương pháp hệ số bất định như Bài 258 (cộng phương trình thứ hai với K lần phương trình thứ nhất) thì cũng chỉ tìm được K = 0 là nghiệm đẹp, tức là ta chỉ sử dụng

phương trình thứ hai của hệ

Từ phương trình thứ hai của hệ ta thấy y0 Lúc này phương trình tương đương với:

Với y = 1, thay vào (1) ta được x2

Như vậy nghiệm của hệ là x y,    2;1

y   x Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

+) Nếu x0 Nhận xét rằng 4x  1 1 và 4y  1 1 nên ln 4 x  1 0 và ln 4 y  1 0

Kết hợp với (1) suy ra x và y phải cùng dấu ( y0)

Lúc này (1) được viết lại thành: ln 4 x 1 ln 4y 1

Tóm lại với t D thì f ' t 0, tức là hàm số f t nghịch biến trên   ;0 và 0;

(+) Nếu x và y cùng âm Lúc này (2) có dạng f x  f y  với f t là hàm nghịch biến trên  

– Nếu x3 x cũng không thỏa mãn

Thấy x3 x thỏa mãn (3), tức là (3)  x 3 x x3  x x2 1 (do x0) 1

Như vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x y,       0;0 , 1;1 ,  1; 1

x     y x y Dễ thấy rằng đây là một hệ phương trình đẳng cấp

Nếu x = 0 thì hệ trở thành:

2

2

3317

y y







 Hai phương trình trong hệ này rõ ràng mâu thuẫn, loại

Như vậy x0 Lúc này ta có thể đặt y t x (t 1) và hệ trở thành: