Thong ke xa hoi hoc Lương Đức Thịnh

 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là..  Biến cố là một tập con của không gian mẫu, là tập hợp một số các kết quả có thể xảy ra.. N

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Tài liệu dùng cho nhóm ngành xã hội

KHOA TO\N-TIN

MỤC LỤC

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 TẬP HỢP 3

1.1.1 Tập hợp và các phần tử của tập hợp 3

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 4

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 5

1.2.1 Hoán vị 5

1.2.2 Chỉnh hợp không lặp 5

1.2.3 Chỉnh hợp lặp 5

1.2.4 Tổ hợp 5

1.2.5 Nhị thức Newton 6

Chương 2 LÝ THUYẾT X\C SUẤT 7

2.1 C\C KH\I NIỆM 7

2.1.1 Phép thử và biến cố 7

2.1.2 Quan hệ của các biến cố 8

2.2 X\C SUẤT V[ CÔNG THỨC TÍNH 11

2.2.1 Định nghĩa xác suất 11

2.2.2 Một số qui tắc tính xác suất 13

Chương 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 22

3.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 22

3.1.1 Phân phối xác suất 22

3.1.2 Các số đặc trưng 23

3.1.3 Một số phân phối xác suất rời rạc thường gặp 25

3.2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 28

3.2.1 Hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất 28

3.2.2 Các số đặc trưng 31

3.2.3 Một số phân phối xác suất liên tục thường gặp 33

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

3.3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 36

3.3.1 Phân phối xác suất đồng thời 36

3.3.2 Các số đặc trưng 39

Chương 4 THỐNG KÊ 43

4.1 LÝ THUYẾT MẪU 43

4.1.1 Một số phương pháp chọn mẫu 43

4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên 44

4.1.3 Cách biểu diễn số liệu 46

4.1.4 Các đặc trưng mẫu 51

4.2 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 57

4.2.1 Ước lượng điểm 57

4.2.2 Ước lượng khoảng 59

 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình 59

 Ước lượng khoảng cho xác suất, tỉ lệ 62

 Ước lượng khoảng cho phương sai 63

4.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 64

 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình 65

 Kiểm định giả thiết về so sánh hai giá trị trung bình 68

 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 69

 Kiểm định giả thiết về so sánh hai tỉ lệ 71

 Kiểm định giả thiết về tính thuần nhất của hai mẫu độc lập 73

 Kiểm định giả thiết về tính thuần nhất của hai mẫu phụ thuộc 75

 Tiêu chuẩn phù hợp 2 77

 Kiểm định tính độc lập 78

PHỤ LỤC 81

Các đối tượng thiết lập nên tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp, thường được kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b,…, x, y,…

a là phần tử của tập hợp A, được kí hiệu là (a thuộc A) ; b không là phần tử của tập hợp A, được kí hiệu là (b không thuộc A)

Ví dụ:

 Tập hợp các họ sinh lớp 3A của Trường tiểu học Quang Trung

 Tập hợp các quả bóng trong thùng đựng bóng

 Tập hợp các con bò trong trại nuôi bò v.v…

Mô tả tập hợp: Để mô tả một tập hợp, ta có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó (ví dụ: A={1,3,4,6}) hoặc nêu một tính chất chung của các phần tử của nó (ví dụ: B={tập các số chẵn}, C={tập các số lẻ+, …)

Quan hệ giữa các tập hợp

 Tập hợp con: Tập hợp A được gọi là bao hàm trong tập hợp B, được kí hiệu là (hoặc là ) nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B

1 Tập vô hạn đếm được : là tập mà các phần tử của nó có thể đánh

số được theo dãy số tự nhiên

Ví dụ : tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ là các tập vô hạn đếm được

2 Tập vô hạn không đếm được : là tập mà các phần tử của nó không thể đánh số được theo dãy số tự nhiên

Ví dụ :tập số vô tỉ, tập số thực là các tập vô hạn không đếm được

Ví dụ :Cho hai tập hợp A=*1,2,3+ và B=*3,4,5+ Khi đó ={3}

 Hiệu : Hiệu của hai tập hợp A và B được kí hiệu là là tập hợp mà mỗi phần tử của nó đều thuộc tập A nhưng không thuộc tập B

Ví dụ : Cho hai tập hợp A=*1,2,4+ và B=*2,3,5+ Khi đó =*1,4+ và

={3,5}

 Phần bù của tập hợp : Giả sử U là không gian, Ta nói là phần

bù của tập hợp A đối với U, kí hiệu là ̅

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.2.1 Hoán vị

 Định nghĩa: Ta có n phần tử được xếp vào n vị trí (mỗi chỗ có 1 phần tử) Mỗi cách sắp xếp như vậy được gọi là 1 hoán vị Số các hoán vị của n phần tử là

= = ( 1)( 2) … 1

= ( 1) = 1

Ví dụ : Từ 3 số 1,2,3 ta có thể lập được 3 !=3.2.1=6 số có 3 chữ số khác nhau : 123, 132, 213, 231, 312, 321

1.2.2 Chỉnh hợp không lặp

 Định nghĩa: Ta chọn không lặp k phần tử có phân biệt thứ tự trước sau

từ n phần tử cho trước ( ) Mỗi cách chọn như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n phần

 Định nghĩa : Ta chọn k phần tử có phân biệt thứ tự trước sau từ n phần

tử cho trước (mối phần tử có thể chọn nhiều lần, ) Mỗi cách chọn như vậy được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là

=

Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 ta có thể tạo ra = 4 = 16 số có 2 chữ số: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44

1.2.4 Tổ hợp

 Định nghĩa : Ta chọn không lặp k phần tử không phân biệt thứ tự trước sau từ n phần tử cho trước ( ) Mỗi cách chọn như vậy được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số các tổ hợp chập k của n phần

tử là

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

= =

( )

Ví dụ : Một lớp học có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ Cần lập ra một đội văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện việc nay ? Do việc chọn các em học sinh là không phân biệt thứ tự trước sau nên số cách chọn 5 học sinh nam là và số cách chọn 5 học sinh nữ là Như vậy số cách chọn ra 5 nam và 5 nữ tham gia đội văn nghệ là

 Tam giác Pascal:

Ví dụ: Cho tập A có n phần tử Hỏi tập A có bao nhiêu tập con? Do mỗi tập con gồm k phần tử ( ) của A là một tổ hợp chập k của n phần tử trong A nên số tập con có k phần tử của A là Như vậy số các tập con của A là

= 2

 Phép thử ngẫu nhiên được xem như một quá trình thực hiện một nhóm các điều kiện và quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được

 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là

 Biến cố là một tập con của không gian mẫu, là tập hợp một số các kết quả có thể xảy ra Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ cái

 Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra

Ví dụ: Trong phép thử tung hai đồng xu, nếu kết quả xuất hiện hiện là mặt

“sấp” S hay “ngửa” N thì không gian mẫu sẽ là

= * , , , +

Người ta qui ước mặt “ngửa” là mặt hiện giá trị của đồng xu và mặt “sấp” là phía ngược lại

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Biến cố A=”có ít nhất một mặt sấp” là

= * , , +

Ví dụ: Nếu người ta thực hiện tung một đồng xu cho tới khi xuất hiện mặt sấp

S thì không gian mẫu của phép thử này sẽ là

2.1.2 Quan hệ của các biến cố

 Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu là hoặc AB, là biến cố "A và B đồng thới xảy ra"

Ví dụ : Xét phép thử gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất Gọi A là biến cố

"xuất hiện ít nhất 1 xúc sắc có 1 chấm" và B là biến cố "tổng số chấm xuất hiện là 5" Khi đó tích của hai biến cố A và B là biến cố "hai xúc sắc xuất hiện có số chấm là 1 và 4"

Ví dụ : Một lớp học có 3 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, gọi A là biến

cố "sinh viên biết tiếng Anh" và P là biến cố "sinh viên biết tiếng Pháp"

Khi đó tích của hai biến cố A và P là biến cố "sinh viên biết cả tiếng Anh

và tiếng Pháp"

Tổng quát : Tích của n biến cố , , … , , kí hiệu là ∏ =

… là biến cố " , , … , đồng thời xảy ra"

 Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu , là biến cố "ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra" Trong trường hợp = thì ta dùng kí hiệu thay cho

Ví dụ : Xét phép thử tung ba đồng xu Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả ba đồng xu" Khi đó là biến cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu"

Ví dụ : Một lớp học có 3 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, gọi A là biến

cố "sinh viên biết tiếng Anh" và P là biến cố "sinh viên biết tiếng Pháp" Khi đó hợp của hai biến cố A và P là biến cố "sinh viên biết ít nhất một trong hai thứ tiếng, tiếng Anh và tiếng Pháp"

Tổng quát : Hợp của n biến cố , , … , , kí hiệu là ⋃ = … , là biến cố "ít nhất một trong các biến cố , , … , xảy ra"

 Biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử, nghĩa là =

Ví dụ : Gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất Gọi A là biến cố "tổng số chấm xuất hiện là lẻ" và B là biến cố "cả hai xúc sắc đều có số chấm là lẻ" Khi

đó A và B là hai biến cố xung khắc

Ví dụ : Ba đội bóng A, B, C tham gia một giải đấu bóng đá Gọi M là biến

cố "A vô địch" và N là biến cố "B hoặc C vô đich" Khi đó M và N là hai biến cố xung khắc

Ví dụ : Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong một khu vực Gọi M là biến

cố "cha mẹ thuộc nhóm máu A" và N là biến cố "con cái không thuộc nhóm máu AB" Khi đó biến cố M kéo theo biến cố N

 Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu ̅ là biến cố “A không xảy ra”

Ví dụ: Ba xạ thủ A, B, C tập bắn Gọi A, B và C lần lượt là các biến cố “A bắn trúng”, “B bắn trúng “ và “C bắn trúng”

a) Hãy mô tả các biến cố sau

, ̅ ̅ ̅ ,

b) Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A, B, C

D= ”Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng”

E= ”Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng”

F= ”Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”

G= ”Chỉ có xạ thủ C bắn trúng”

Giải a) = ”Cả ba xạ thủ đều bắn trúng”

̅̅̅̅ = ̅ ̅ …

ra và biến cố A gồm ( ) biến cố sơ cấp ( ( ) là số phần tử của A) Khi

đó xác suất của biến cố A là số

( ) = số trường hợp có lợi cho A

tổng số khả năng có thể xảy ra=

( ) ( )

Ví dụ: Xét phép thử tung hai đồng xu cân đối, đồng chất Gọi A là biến cố

“có đúng một mặt sấp S” Khi đó

= * , +

Không gian mẫu

= * , , , + P(A) = ( )

( ) =

2

4 =1

2.

Ví dụ: Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có 6 người nộp đơn, trong

đó có 4 nữ và 2 nam Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau

a) Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam

b) Tính xác suất để cả hai người trúng tuyển đều là nữ

đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau Nếu trong

n lần thực hiện phép thử , biến cố A xuất hiện lần thì tỉ số ( ) = ( ) được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử Khi n tăng tới giá trị vô cùng thì ( ) đạt tới giá trị giới hạn xác định được xem là xác suất xuất hiện A

( ) = lim

( )

Tức là khi n lớn ta coi ( ) ( )

Ví dụ : Ở Trung Quốc, từ năm 228 trước Công nguyên, đã tìm thấy tần suất sinh con trai là Laplace theo dõi các thành phố London, Saint Peterbourg và Berlin và công bố tần suất sinh con trai là

Cramer cho tần suất sinh con trai ở Thụy Điển là ,5 8 Ở Việt Nam năm 1961 tần suất sinh con trai là ,51

2.2.2 Một số qui tắc tính xác suất

 Qui tắc cộng đơn giản :

i) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì

( ) = ( ) ( )

Hệ quả : ( ) = 1 ( ̅ )

Ví dụ : Trong hộp có 3 bi trắng, 4 bi xanh và 5 bi đỏ Gọi A là biến

cố "rút được bi trắng", B là biến cố "rút được bi xanh" và C là biến

( … ) = ( ) ( ) ( )

 Qui tắc cộng tổng quát :

Giải Gọi A là biến cố "Người đó mắc bệnh tim" và B là biến cố "Người

đó mắc bệnh huyết áp" Theo giả thiết ta có

= , 9 ,12 , 7 = ,14

( ) = 1 ( ̅) = 1 ,14 = ,86

ii) Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ thì

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ví dụ : Trên giá sách có n cuốn sách ( 4) trong đó có 3 cuốn sách của cùng một tác giả Tìm xác suất để không có hai cuốn nào trong ba cuốn đứng cạnh nhau

Giải

Kí hiệu ba cuốn sách đó là a, b và c Gọi H là biến cố "không có hai cuốn nào trong ba cuốn a, b và c đứng cạnh nhau" Đặt

A="Hai cuốn b, c đứng cạnh nhau "

B="Hai cuốn a, c đứng cạnh nhau"

C=”Hai cuốn a, b đứng cạnh nhau”

Khi đó

̅ = ( ) = 1 ( )

= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Nếu b, c đứng cạnh nhau, ta tưởng tượng rằng có thể dán chúng lại theo 2 cách bc, cb và xem chúng như là 1 quyển sách Khi đó số cách sắp xếp để b và c đứng cạnh nhau là ( 1) Vậy

( ) = ( ) = ( ) =2( 1)

2

Nếu b, c đứng cạnh nhau; c, a đứng cạnh nhau thì 3 quyển sách a,

b, c phải được xếp theo thứ tự b, c, a Dán chúng lại theo thứ tự đó

ta được 1 quyển sách và khi đó số cách sắp xếp các cuốn sách trong trường hợp này là ( 2) Vậy

( ) = ( ) = ( ) = ( 2)

1 ( 1)

Hiển nhiên do = nên

 Qui tắc nhân: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy

ra hay không xảy ra biến cố kia Theo xác suất thì

( ) = ( ) ( )

Tổng quát: Các biến cố , , … , được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ k biến cố trong đó (1 ) không làm ảnh hường tới việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại Theo xác suất thì

( … ) = ( ) ( ) … ( )

Ví dụ: Ba xạ thủ A, B và C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng của xạ thủ A, B và C tương ứng là ,4; ,5 và ,7 a) Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng

b) Tính xác suất để ít nhất có một xạ thủ bắn trúng

Giải Đặt

A=”Xạ thủ A bắn trúng”, ( ) = ,4

B=”Xạ thủ B bắn trúng “, ( ) = ,5

( ) = ( )

( )

Ví dụ: Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người nghiện thuốc lá và chứng ung thư họng là 15% Có 25% số người nghiện thuốc nhưng không ung thư họng, 50% số người không nghiện thuốc và cũng không ung thư họng và

so 10% số người không nghiện thuốc nhưng mắc ung thư họng Sử dụng

số liệu thống kê trên có thể rút ra kết luận gì về mối quan hệ giữa ung thư họng và thói quen hút thuốc lá?

Giải Chúng ta sẽ so sánh xác suất để một người nghiện thuốc lá bị ung thư họng với xác suất để một người không nghiện thuốc lá mắc ung thư họng

Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá” và C là biến cố “Người đó bị ung thư họng” Ta có

( ) = ,15; ( ̅) = ,25; ( ̅ ̅) = ,5; ( ̅ ) = ,1 { ( ) = ( ) ( ̅) = ,15 ,25 = ,4 ( ̅) = ( ̅ ) ( ̅ ̅) = ,1 ,5 = ,6

{

( ) = ( )

( ) =

,15 ,4 = ,375 ( ̅) = ( ̅)

( ̅) =

,1 ,6 ,167

Như vậy ( ) cao gấp đôi ( ̅) Điều đó có nghĩa là một người nghiện thuốc lá sẽ có nguy cơ bị ung thư họng lớn gấp đôi người không nghiện thuốc lá

 Qui tắc nhân tổng quát: Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

Nếu n>365 thì hiển nhiên luôn có 2 sinh viên có cùng ngày sinh nhật, nên ta chỉ cần xét với 365 Đặt

=”sinh viên i không có cùng sinh nhật với i-1 sinh viên trước”, =

(365 ) 365 .

Với = 6 thì ( ) ,994, điều đó có nghĩa là với một lớp học gồm

6 sinh viên thì gần như chắc chắn sẽ có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật

 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes: Các biến cố , , … , được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc ( = ) và hợp của chúng là biến cố chắc chắn ( = … ) Với H là một biến cố bất kỳ thì

i) Công thức xác suất toàn phần:

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) Công thức Bayes:

a) Tính xác suất để đó là một sản phẩm hỏng.

b) Giả sử đó là một sản phẩm hỏng Khả năng cao nhất sản phẩm này là

do phân xưởng nào sản xuất?

Giải

Kí hiệu A, B, C và H là các biến cố sau

A=”sản phẩm của phân xưởng A”

B=”sản phẩm của phân xưởng B”

C=”sản phẩm của phân xưởng C”

( ) = ( ) ( )

,35 , 2 , 195 = ,359

( ) = ( ) ( )

,4 , 25 , 195 = ,5128

Như vậy khả năng cao nhất là sản phẩm hỏng này là do phân xưởng C sản xuất

Ví dụ:Một test kiểm tra bệnh tiểu đường có độ nhạy là 99% (tức là nếu xét nghiệm với người bị bệnh, test cho kết quả dương tính với xác suất 99%) và có có độ chuyên là 95% (tức là nếu xét nghiệm với người không bị bệnh, test cho kết quả âm tính với xác suất là 95%) Sau khi xét nghiệm cho một khu dân cư, thấy tỉ lệ người có kết quả dương tính là 10%

a) Hãy tìm tỉ lệ người bị bệnh tại khu dân cư đó

b) Hãy tìm tỉ lệ người không bị bệnh trong số những ca dương tính c) Hãy tìm tỉ lệ người bị bệnh trong những ca âm tính

Giải Đặt các biến cố

B=”người đó bị bệnh”

̅=”người đó không bị bệnh”

D=”người đó có kết quả dương tính”

̅=”người đó có kết quả âm tính”

Theo giả thiết thì

( ) = ,1; ( ) = ,99; ( ̅ ̅) = ,95 ( ̅) = 1 ( ) = ,9; ( ̅ ) = 1 ( ) = , 1;

( ̅) = 1 ( ̅ ̅) = , 5

a) Đặt ( ) = Theo công thức xác suất toàn phần thì

( ) = ( ) ( ) ( ̅) ( ̅) ,1 = ,99 (1 ) , 5 = , 5 ,94

= ,1 , 5

,94 = , 532

Như vậy tỉ lệ người bị bệnh ở khu dân cư đó là 5,32%

b) Theo công thức Bayes thì

( ̅ ) = ( ̅) ( ̅)

(1 , 532) , 5

, 532 , 1 ,9 = , 59

Như vậy trong số các ca âm tính thì chỉ có , 59% là chẩn đoán sai

 Công thức Bernouli: Xét phép thử và một biến cố A liên quan tới phép thử đó Xác suất xuất hiện A là p Ta thực hiện phép thử n lần độc lập Khi đó xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n lần thử là

( ; ) = (1 )

Với

Ví dụ: Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách như sau: Chọn ngẫu nhiên 2 quả cam làm mẫu đại diện Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1 Nếu mẫu cho một hoặc hai quả cam hỏng thì sọt cam xếp loại 2 Trong trường hợp còn lại (có từ ba quả hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3

Trên thực tế có 3% số cam trong sọt bị hỏng Tìm xác suất để sọt cam được xếp loại:

cố A xuất hiện trong 20 lần thử Như vậy

a) Xác suất đê sọt cam được xếp loại 1 là

= (2 ; , 3) = (1 , 3) ,5438

b) Xác suất để sọt cam được xếp loại 2 là

= (2 ; , 3) (2 ; , 3)

= , 3 (1 , 3) ( , 3) (1 , 3) ,4352

c) Xác suất để sọt cam được xếp loại 3 là

= 1 = 1 ,5438 ,4352 = , 21

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Chương 3

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

 Một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được, được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) Chúng ta sử dụng các chữ cái in hoa như X, Y, Z, … để kí hiệu ĐLNN

 Một ĐLNN được gọi là rời rạc nếu ta có thể liệt kê tất cả các giá trị có thể của nó bằng một dãy hữu hạn hay vô hạn x , x , … , x , … Tập hợp các giá trị có thể của ĐLNN X được kí hiệu bởi ( )

 Một ĐLNN được gọi là liên tục nếu

(i) Tập hợp các giá trị có thể của X lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí toàn bộ trục số

(ii) Với mọ số a, P(X = a) =

 Các ĐLNN , , … , được gọi là độc lập nếu như với mọi giá trị i, việc nhận giá trị ra sao cũng không ảnh hưởng tới việc các giá trị còn lại

có giá trị như thế nào

3.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

3.1.1 Phân phối xác suất

 Giả sử là không gian mẫu, X là ĐLNN rời rạc và ( ) = * , , … + Khi

đó bộ số ( ) xác định bởi

= ( = ) 1 Được gọi là phân phối xác suất của ĐLNN X Phân phối xác suất thường được thể hiện dưới dạng bảng, bảng này được gọi là bảng phân phối xác suất rời rạc

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm được chọn ra Tìm phân phối xác suất của

X

Chú ý: Nếu ĐLNN X có phân phối xác suất ( ) thì

iv Nếu , là hai ĐLNN độc lập thì ( ) =

Ví dụ: Cho ĐLNN X có phân phối xác suất như sau

= 7,75.

Ví dụ: Theo thống kê, xác suất để một người ở độ tuổi 40 sống thêm một năm là ,995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ dự định kế hoạch bán bảo hiểm như sau: một năm người mua bảo hiểm trả cho công ty 2 triệu đồng, và nếu người mua chết thì số tiền bồi thường của công ty bảo hiểm là 5 triệu đồng Hỏi công ty đó có nên chọn phương án kinh doanh này không?

Giải Gọi X là lợi nhuận thu được khi bán bảo hiểm (đơn vị: triệu đồng) Khi

đó X có phân phối xác suất như sau:

Ví dụ : Tìm kì vọng, mode, phương sai và độ lệch tiêu chuẩn của ĐLNN X

có phân phối xác suất :

= √ = √ ,56 = ,748

Giá trị P lớn nhất là

, tương ứng với giá trị X là 1 Do đó

( ) = 1

3.1.3 Một số phân phối xác suất rời rạc thường gặp

 Phân phối Bernoulli (Phân phối nhị thức) : Thực hiện phép thử n lần trong những điều kiện giống nhau, xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong n lần thử Khi

đó X có phân phối Bernoulli (kí hiệu ( , )), tức là X có phân phối xác suất

( = ) = (1 ) ,

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Tính chất : Nếu ( , ) thì = ; = (1 ) và ( ) = ,( 1) -, trong đó ,a- là số nguyên lớn nhất không vượt quá a (phần nguyên của a)

Ví dụ : Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa Tìm xác suất để :

a) Anh ta được 13 điểm

b) Anh ta bị điểm âm

Giải

Ta xem 12 câu trả lời là 12 lần thử, trong đó xác suất để biến cố A=" trả lời đúng" xuất hiện trong mỗi lần thử là = ,2 Gọi X là số câu trả lời đúng, khi đó X là số lần biến cố A xuất hiện nên (12; ,2) Khi đó

 Phân phối Poisson : Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong khoảng thời gian t Ta nói rằng ĐLNN X có phân phối Poisson với tham số (kí hiệu ( )), tức là X có phân phối xác suất

( = ) =

Tính chất : Nếu ( ) thì = ; = ; ( ) = , -

Ví dụ : Ở một tổng đài Bưu điện, các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút Tìm xác suất để :

a) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút

b) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 3 giây

c) Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 1 giây

Giải a) Gọi là số cuộc điện thoại gọi đến trong 2 phút Khi đó ( ) Trung bình trong 1 phút có 2 cuộc gọi nên trung bình trong 2 phút sẽ

THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Khi n lớn và nhỏ thì công thức trên thường khó tính toán Để khắc phục điều này trong trường hợp k không lớn, ta thường xấp xỉ công thức trên bởi phân phối Poisson, tức là

( = ) = (1 )

Với = Khi đó ta coi như ( )

Ví dụ : Một lô bóng đèn điện tử gồm 1 bóng Xác suất để mỗi bóng hỏng là , 1 Tìm xác suất để trong lô đó có :

a) Đúng 3 bóng hỏng

b) Nhiều nhất 3 bóng hỏng

Giải Gọi X là số bóng hỏng trong lô, khi đó (1 ; , 1) Do

= 1 là lớn và = , 1 là nhỏ nên ta có thể coi ( ) với

3.2.1 Hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất

 Hàm mật độ xác suất : Hàm số ( ) xác định trên toàn trục số được gọi

là hàm mật độ xác suất của ĐLNN X nếu

ii ( ) là hàm không giảm

iii lim ( ) = 1; lim ( ) =

( ) = 1

2

1 arctan

2( 1)( 3).

Với = 1 thì

= =

Với = 2 thì

= = 1

5.3.2.3 Một số phân phối xác suất liên tục thường gặp

 Phân phối chuẩn : ĐLNN X được gọi là có phân phối chuẩn (kí hiệu ( , )) nếu nó có hàm mật độ xác suất

ít hơn 1 8g, biết rằng trọng lượng trung bình của 1 gói đường là 1012g Cho biết (1,476) = ,93; (1,968) = ,9755

Giải Gọi X là trọng lượng của một gói đường Theo giả thiết thì X có phân phối chuẩn, tức là ( , )

Do trọng lượng trung bình của 1 gói đường là 1 12g nên

= = 1 12 ( )

Xác suất để trọng lượng của một gói đường lớn hơn 1 15g là

{ = = √ (1 )Như vậy :

Ví dụ : Một khách sạn nhận đặt chỗ của 325 khách hàng cho 3 phòng vào ngày 31 tháng 12 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy tỉ lệ khách đặt chỗ nhưng không đến là 1 % Hãy tính xác suất để a) Có 3 khách đến để nhận phòng vào ngày trên

b) Tất cả khách đến vào ngày trên đều nhận được phòng

Cho biết (1,48) = ,93 6; (1,29) = ,9 15

Giải Gọi X là số người đã đặt phòng đến vào ngày 31 tháng 12 Đối với mỗi khách đặt phòng, chỉ có 2 khả năng : "đến" và "không đến" với xác suất

"đến" luôn không đổi là = ,9 Do đó

(325; ,9)

Do = 325 lớn nên ta có thể coi X có phân phối chuẩn ( , ) với

, = 325 ,9 = 292,5 = √325 ,9 ,1 = √29,25.

3.3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Trong thực tế, ta thường phải xét đồng thời nhiều đại lượng ngẫu nhiên

có quan hệ với nhau, gọi là Đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều Trong phần này

ta chỉ xét với trường hợp số chiều là 2, trong đó 2 ĐLNN X,Y là rời rạc

3.3.1 Phân phối xác suất đồng thời

 Phân phối xác suất đồng thời : Bộ ( ) được xác định bởi

= ( = ; = ) , Được gọi là phân phối xác suất đồng thời của 2 ĐLNN X và Y Phân phối xác suất đồng thời của hai ĐLNN X, Y thường được thể hiện bởi bảng phân phối xác suất đồng thời

đồng xu thứ nhất và Y là giá trị của đồng xu thứ hai Ta có bảng phân phối xác suất đồng thời của hai ĐLNN X và Y :

= ( = ) ( = ) = 1

4 Thực hiện tính toán tương tự cho các phần tử còn lại của bảng ta được

4

14

Ví dụ : Trong một nhà máy chế tạo máy, tại một phân xưởng người ta cần thực hiện hai công đoạn Gọi X là số lỗi kỹ thuật mắc phải và Y là số lỗi kỹ thuật mắc phải khi thực hiện công đoạn thứ hai Bảng phân phối xác suất đồng thời của X,Y được cho bởi

Giải

( = , = 1) ( = 1, = ) = , 3 , 6 = , 9.

c) Để chỉ có tối đa 2 lỗi kỹ thuật trong cả hai công đoạn thì X= , Y=2 hoặc X=1, Y=1 hoặc X=2, Y=0 Vậy xác suất để chỉ có tối đa 2 lỗi kỹ thuật trong cả hai công đoạn là