Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh

LỜI NÓI ĐẦU Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai trò trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Với tầm quan trọng như vậy nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở rộng lớp môđun nội xạ. Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người ta đã đưa ra các điều kiện sau đây đối với môđun M. (C1) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (C2) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C3) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu thì cũng là hạng tử trực tiếp của M. Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Một môđun thỏa điều kiện (C1) được gọi là CS môđun hay môđun extending. Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các điều kiện (Ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 : Các khái niệm cơ sở. Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm: Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS môđun, môđun suy biến. Chương 2 : Về các điều kiện (Ci) của môđun và môđun liên tục. Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện (Ci), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS môđun, (1 C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS môđun, môđun liên tục. Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả

LỜI NÓI ĐẦU

Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai tròtrụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành Các kết quả vềchúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số,đại số giao hoán… Với tầm quan trọng như vậy nên vấn đề mở rộng các lớpmôđun này được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mởrộng lớp môđun nội xạ

Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người ta đã đưa

ra các điều kiện sau đây đối với môđun M.

(C 1 ) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

(C 2 ) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A

là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C 3 ) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu A�B 0 thì

A� cũng là hạng tử trực tiếp của M.B

Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) và (C 2 ) M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) và (C 3 ) Một môđun thỏa điều kiện (C 1 ) được gọi là CS - môđun hay môđun extending

Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các

điều kiện (C i ), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng.

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 : Các khái niệm cơ sở.

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm:Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ,

môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun suy biến.

Chương 2 : Về các điều kiện (C i ) của môđun và môđun liên tục.

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện

(C i ), mối liên hệ giữa chúng Một số tính chất của CS - môđun, (1 - C 1 )

môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách

chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS - môđun, môđun liên tục.

Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đạihọc Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịpnày, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người

đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đạihọc, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạođiều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngànhĐại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luậnvăn

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, côgiáo và các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

CÁC KÝ HIỆU

Trong luận văn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở từng mục còn lại chúng tôi luôn giả thiết vành luôn phát biểu là một vành kết hợp có đơn vị và các môđun là môđun phải unita

N � M : N là môđun con của môđun M

N � Me : N là môđun con cốt yếu của môđun M

N � M� : N là hạng tử trực tiếp của môđun M

i

i IM

�

� : Tổng trực tiếp các môđun Mi, i�I

J(R) : Căn Jacobson của R

Soc(M) : Đế của môđun M

r(m) : Linh hóa tử phải của phần tử m

r(M) : Linh hóa tử phải của môđun M

ZR(M) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Chương này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa, kết quả cơ bảnliên quan đến nội dung của khóa luận Các khái niệm, tính chất và kí hiệu cơbản chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: N.V.Dung - D.V.Huynh -P.F.Smith - R.Wisbauer[3] Mohamed - Muller[6]

Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trênmột vành luôn được hiểu là các môđun phải unita

1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé

1.1 Định nghĩa Cho R là vành và M là R môđun phải Xét N môđun con của M.

(a) Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M và kí hiệu N�

e M nếu với mọi môđun con K � M, K � 0 thì K � N � 0 Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N.

(b) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự Nói cách khác, N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M là N � e K thì K = N.

(c) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun con

N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K.

(d) Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (Hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B << M, nếu với mọi môđun con L của M, L � M thì

B + L � M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M

(e) Một môđun M được gọi là bé hay M là môđun bé nếu M là môđun con bé trong bao nội xạ E(M) của M.

1.2 Tính chất Cho vành R và M, N là các R- môđun phải với N � M

(a) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại.

(b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (Xem [6])

2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ và môđun xạ ảnh

2.1 Định nghĩa Cho vành R và M là R - môđun phải

(a) Một R- môđun phải N được gọi là M - nội xạ (M-injective) nếu với mọi môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X �N thì có thể mở rộng tới đồng cấu f * : M � N thỏa mãn f = f * i với i: X � M là phép nhúng.

* Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi - injective) nếu M là M- nội xạ.

* Môđun N được gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ với mọi

R - môđun phải M.

(b) Một R - môđun phải N được gọi là M - xạ ảnh (M-projective) nếu với mọi môđun thương M/X và với mọi đồng cấu f: N � M/X thì tồn tại đồng cấu h: N� M thỏa mãn ph = f với p: M � M/X là toàn cấu chính tắc.

* Môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (quasi - projective) nếu M là M - xạ ảnh.

* Môđun N được gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ ảnh với mọi

R - môđun phải M.

2.2 Tính chất Cho M, N là các R - môđun phải Ta có:

(a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N � M là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn: 0�N��f�M��p�M/f(N)�0 chẻ ra hay f(N) � M.�

(b) Nếu N là M - xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn:

2.4 Tính chất Bao nội xạ E(N) luôn tồn tại với mọi môđun N.

2.5 Mệnh đề Cho môđun N là A - nội xạ và B là môđun con của A thì:

(i) N là B - nội xạ.

(ii) N là A/B - nội xạ.

Chứng minh (i) Gọi X là môđun con của B thì X là môđun con của A

Suy ra ker  � ker  nên tồn tại  : A/B � N sao cho   = 

Với mọi x � X ta có:  (x + B) =   (x) =  (x) = ’(x) =  (x + B) Hay

Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên.

Điều kiện đủ: Giả sử N là A i - nội xạ với i�I Đặt A = �Ai I� i , gọi X là môđun con bất kỳ của A và  : X � N là đồng cấu.

Theo bổ đề Zooc tồn tại cặp tối đại (X’;  ’) mà X � X’ � A và  ’ là mở rộng của  Suy ra X’ � e A.

Ta sẽ chứng minh X’ = A.

Giả sử X’ � A � a �0; a � A - X’, do A = �Ai I� i � j � I để a � A j

Theo giả thiết N là A j - nội xạ � N là Ra - nội xạ, chọn K = {r � R ra � X’} Lấy  : Ka � N với  (ra) =  ’(ra)

Do N là Ra - nội xạ nên tồn tại  : Ra � N là mở rộng của 

Lấy môđun X’ + Ra thì X là môđun con thực sự của X’ + Ra

2.9 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.

Chứng minh Cho Q là nội xạ và A � Q ta chứng minh A nội xạ, do A � � Q�

thì f * là mở rộng của f hay A là M - nội xạ với mọi M nên A là nội xạ.W

2.10 Định lý Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội xạ.

2.11 Định lý Một môđun Q - nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực tiếp của

các môđun chứa nó.

2.12 Định lý i

� nội xạ khi và chỉ khi Q nội xạ với mọi i � I

2.13 Định lý M 1 � M 2 là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là M j - nội xạ với mọi

2.15 Định nghĩa Môđun M được gọi là nửa đơn nếu với mỗi môđun con của

M đều là hạng trực tiếp của M.

2.16 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun đơn nếu nó không có môđun

con không tầm thường nào Hay nói cách khác M chỉ có hai môđun con là 0

và M.

2.17 Định nghĩa Cho M là môđun, ta gọi tổng tất cả các môđun con đơn của

M là đế của môđun M và kí hiệu là Soc(M).

Nếu M không có môđun con đơn thì quy ước Soc(M) = 0

2.18 Nhận xét Soc(M) = I E, trong đó E chạy khắp các môđun con cốt yếu

của M.

3 CS - môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục

Cho M là một R - môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

(C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C 3 ) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A�B = 0 thì A �B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

các khái niệm CS - vành trái, vành liên tục trái, vành tựa liên tục trái Nếu R

có tính chất hai phía thì ta có các khái niệm CS - vành, vành liên tục, vành tựa liên tục.

3.2 Tính chất M thỏa mãn điều kiện (C 2 ) thì cũng thỏa mãn điều kiện (C 3 ) (xem[6], Propositio 2.2]) Từ đó ta có phép kéo theo sau đây là đúng.

Nội xạ � tựa nội xạ � liên tục � tựa liên tục � CS.

4 Môđun đều và chiều đều (chiều uniform, chiều Goldie)

4.1 Định nghĩa.

(a) Cho R là vành, Một R - môđun phải U được gọi là đều (hay uniform) nếu U �0 và A � B � 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U.

(b) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (chiều uniform, chiều Goldie) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M Số hạng tử khác không lớn nhất của các tổng trực tiếp các môđun con của M là một số bất biến được gọi là số chiều đều của M và ký hiệu là udim(M) (hay GdimM).

Trong trường hợp ngược lại ta nói M có chiều đều vô hạn

(c) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của

R R và chiều đều trái của R là chiều đều của R R

4.2 Tính chất.

(a) Nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M cũng

có chiều đều hữu hạn.

(b) Cho A là môđun con của M, nếu A và M/A có chiều đều hữu hạn thì

M có chiều đều hữu hạn.

(c) Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun có chiều đều hữu hạn là một môđun có chiều đều hữu hạn.

(d) Nếu A � B thì B có chiều đều hữu hạn khi và chỉ khi A có chiềue

đều hữu hạn và udim A = udim B.

5 Môđun suy biến

5.1 Định nghĩa Cho M là một R - môđun phải và m � M

(a) Tập hợp r R (m) = {r�R: mr = 0} được gọi là linh hóa tử của phần tử

m và viết gọn r(m)

Tập hợp r R (M) = {r�R: mr = 0, m�M} được gọi là linh hóa tử của môđun M và viết gọn r(M).

(b) Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của R

Linh hóa tử phải của S trong R là: r(S) = {x�R: sx = 0 s�S}

Linh hóa tử trái của S trong R là: l(S) = {x�R: xs = 0 s�S}

(c) Cho một R - môđun phải M Tập hợp:

Z R (M) = {x � M: r R (x) � R} được gọi là môđun con suy biến của M.e

Nếu Z R (M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu Z R (M) = 0 ta nói M là môđun không suy biến.

(d) Cho một vành R.

Ta gọi idean suy biến phải của R là: Z r (R) = {x � R: r(x) � R}e

Ta gọi idean suy biến trái của R là: Z l (R) = {x � R: l(x) � R}e

5.2 Định nghĩa.

(a) Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con của nó D được gọi là phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B � D luôn có Hom D (A, B) = Hom C (A, B).

(b) Phạm trù con của Mod - R gồm tất cả các môđun con của các môđun sinh bởi M được kí hiệu là  [M].

(c)  [M] là một phạm trù con đầy của Mod - R

(a) Phần tử e được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e.

(b) Hai phần tử lũy đẳng e và f được gọi là lũy đẳng trực giao nếu ef =

fe = 0.

CHƯƠNG 2

VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (C i ) CỦA MÔĐUN

VÀ MÔĐUN LIÊN TỤC

Chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách hệ thống các kiến thức về

các điều kiện (C i ) của môđun, môđun tựa liên tục, môđun liên tục.

Năm 1960 Utumi đã đưa ra khái niệm vành liên tục (thuật ngữ liên tụcđược dùng đến ở đây xuất xứ từ hình học liên tục của Von Neumann không cóliên quan đến khái niệm liên tục trong tôpô và giải tích) Sau đó 1977Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm liên tục từ vành sang môđun

1 Các điều kiện (Ci) của môđun.

1.1 Môđun tựa liên tục

Trước hết để chỉ ra mối quan hệ giữa môđun tựa liên tục, liên tục vớimôđun nội xạ, tựa nội xạ ta có mệnh đề:

1.1.1 Mệnh đề Mỗi môđun tựa nội xạ M đều có hai tính chất sau:

(C 1 ) - Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp (C 2 ) - Nếu mỗi môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là môđun tựa nội xạ Ta phải chứng minh M có tính chất (C 1 ) Giả sử N là môđun con bất kỳ của M khi đó ta có:

N�E(N)� nghĩa là N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp.M

E(N)� của M hay M có tính chất (CM 1 )

- M có tính chất (C 2 ).

Giả sử A va B là các môđun con của M sao cho A đẳng cấu với B và B

là hạng tử trực tiếp của M Vì M là nội xạ và B là hạng tử trực tiếp của M nên

B là M nội xạ, do đó dãy khớp sau chẻ ra:

Vậy (M )2 �M1là hạng tử trực tiếp của M Theo chứng minh trên thì

1.1.4 Định lý Các phép kéo theo sau đây là đúng:

Môđun nội xạ � Môđun tựa nội xạ� Môđun liên tục� Môđun tựa liên tục � CS- môđun.

Chú ý:

Trong [6] đã chỉ ra các chiều ngược lại của các phép kéo theo trongđịnh lý này nói chung là không đúng và như vậy các lớp môđun của định lýnày là mở rộng thực sự của lớp môđun đi trước

Ta nhắc lại là rằng một môđun con N của M được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.

Một môđun con X của M gọi là bù nếu nó là tối đại trong M với tính

chất X�Y 0 , đối với một môđun con Y nào đó của M.

1.1.5 Hệ quả Môđun con A là đóng trong môđun M khi và chỉ khi A là

môđun con bù trong M Môđun con đóng hay bù là luôn tồn tại.

Chứng minh Giả sử A là môđun con đóng của môđun M khi đó A là bù vì:

Nếu A = M rõ ràng A là bù (vì A tối đại mà A�0 0 )

Nếu A � M do A đóng nên A cốt yếu trong M vì vậy C tối đại mà

A�C 0

Khi đó A là môđun con bù, bởi vì giả sử có B� mà B C 0M �  và

B� lúc đó lấy X B,X 0A ̹̹ ta được Xǹ A 0 Trái lại, C� sẽ giaoX

với A bằng 0, mâu thuẫn với tính tối đại của C Vì vậy A� và do đó A = Be B

hay A là môđun con bù.

Ngược lại, giả sử A là môđun con bù tức là A tối đại mà A�C 0 với

C là môđun con nào đó của M và giả sử A� khi đó dễ thấy B C 0e B � 

Từ tính tối đại của A ta có A = B hay A là môđun đóng W

Sự tồn tại của môđun con đóng hay bù từ bổ đề Zorn

1.1.6 Mệnh đề Một môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng của

M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là CS và A là môđun con đóng của M Do tính CS của

M nên tồn tại B� mà M A� và B là hạng tử trực tiếp của M.e B

Do A đóng nên A = B nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M.

Ngược lại, mọi môđun con đóng của con M là hạng tử trực tiếp của M

và X là môđun con bất kỳ của M Bởi Zorn, tồn tại A là mở rộng cốt yếu tối đại của X, nghĩa là X � và A là đóng Vì A là hạng tử trực tiếp của , vậy MA

là CS - môđun W

1.1.7 Mệnh đề Mỗi môđun không phân tích được M và là CS-môđun khi và

chỉ khi M là đều Mỗi môđun đều là tựa iên tục.

Chứng minh Giả sử M là CS - môđun không phân tích được và A là môđun con bất kỳ của M Vì M là CS nên có B� mà M A� và Be B ��M Nhưng

do M không phân tích được nên B = M và như vậy A�e M nghĩa là M đều.

Ngược lại, mỗi môđun đều M đều CS và không phân tích được là hiển

nhiên

Mỗi môđun đều V rõ ràng là tựa liên tục W

1.1.8 Bổ đề Giả sử A là môđun con của môđun M Nếu A là đóng trong một

hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.

Chứng minh Giả sử M M 1�M2và đóng trong M 1 Xét phép chiếu:

Gọi B là một mở rộng cốt yếu nào đó của A trong M Bởi vì A�M1

Nhưng bởi A đóng do đó  B � � Khi đó ta có: A B 1   B �B

Mặt khác nếu a A� mà a  1   b   b  b với b B� suy ra:

như vậy A = B và A đóng trong M W

1.1.9 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun tựa liên tục (liên tục) là

tựa liên tục (liên tục).

Chứng minh Trước hết ta chứng minh nếu M có tính chất (C 1 ) và

M M �M thì M 1 có tính chất (C 1 ) Thật vậy, nếu A đóng trong M 1, theo bổ

đề 1.1.8 A đóng trong M Và do đó A là hạng tử trực tiếp của M, vì M có (C 1 )

tức là M A �X

Khi đó bởi luật môdular: M1  �A (M1�X)

Nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M và do đó từ mệnh đề 1.1.6, M 1 có

Bởi theo luật môdular, A là hạng tử trực tiếp của M 1 điều đó chứng tỏ

M 1 có tính chất (C 2 )

Cuối cùng chứng minh nếu M M 1�M2 và M có tính chất (C 3 ) thì M

cũng có tính chất (C 3 ) Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp của M 1 và

A�B 0 khi đó dễ thấy rằng A, B cũng là hạng tử trực tiếp của M Bởi M có tính chất (C 3 ) nên A � là hạng tử trực tiếp của M và do đó theo luật MôdularB

A� là hạng tử trực tiếp của MB 1 Vậy M 1 là môđun có tính chất (C 3 ).

Như vậy ta đã chứng minh được: hạng tử trực tiếp của một môđun có

tính chất (C i ) (i=1,2,3, ) cũng có tính chất (C i ) Từ đó ta nhận được hạng tử

trực tiếp của một môđun tựa liên tục (liên tục) là một môđun tựa liên tục (liêntục) Mệnh đề 1.1.9 được chứng minh W

Bây giờ ta đưa ra một số đặc trưng của môđun tựa liên tục

1.1.10 Định lý Các phát biểu sau đây là tương đương đối với một môđun M:

(1) M là tựa liên tục.

(2) M X  � đối với 2 môđun con X, Y sao cho chúng bù lẫn nhau.Y

(3).fM � đối với luỹ đẳng M f End E M � �� ��

Vì M là tựa liên tục và X là bù của M nên X là hạng tử trực tiếp của M,

bởi mệnh đề 1.1.6 nghĩa là: M X � , trong đó Y là môđun con nào đó củaY

M.

Bây giờ ta chứng minh X và bù lẫn nhau Thật vậy, giả sử A � màX

A�Y 0 khi đó M A � và từ đó A = X Tương tự ta nhận được Y là bùY

của X.

(2) => (3)

Giả sử A1 M�f (E(M)) và A2 M�(1 f )(E(M)) Giả sử B 1 là bù

của A 2 mà B 1 chứa A 1 và B 2 là bù của B 1 mà B 2 chứa A 2

Thật vậy, giả sử x, y M� mà x (f  )(y) hay x f (y)  (y)

Từ đó ta có: f (y) x  (y) M� suy ra f (y) A� 1

Mặt khác, bởi vì (1 f )(y) y f (y) M   � , nên (1 f )(y) A � 2

Do (1 f )(y) 0   �(y) (f (y)) 0

Hay (y) f (y)  mà f (y) A , (y) B� 1  � và 1 A1�B1 0 Do vậy

f (y) (y) 0 Từ đó ta có x 0 , nghĩa là: M (f�  )(M) 0

Bây giờ từ M�e E(M)ta có (f  )(M) 0 hay f (M) (M) Mà  làphép chiếu từ M đến B1 � Do vậy f (M) MM �