Một số lớp mở rộng của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng (TT)

Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớpvành mở rộng của vành tự nội xạ và vành Artin nh- đã nêu ở trên là mộth-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm

§¹i häc HuÕ Tr-êng §¹i Häc S- Ph¹m

Phan Hång TÝn

Mét sè líp më réng cña m«®un néi x¹, x¹ ¶nh vµ øng dông

Chuyªn Ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè

M· sè: 62 46 01 04

Tãm t¾t LuËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc

HuÕ - N¨m 2016

C«ng tr×nh ®-îc hoµn thµnh t¹i: Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häcHuÕ

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS TS Lª V¨n ThuyÕt

Cã thÓ t×m hiÓu LuËn ¸n t¹i:

1 Trung t©m Häc liÖu - §¹i häc HuÕ;

2 Th- viÖn Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häc HuÕ

Mở đầu

Nh- chúng ta đã biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt là vànhQF) là vành tự nội xạ hai phía và Artin hai phía Khái niệm vành tựaFrobenius đ-ợc T Nakayama giới thiệu vào năm 1939 Sau đó, năm 1951,

M Ikeda đã đặc tr-ng vành này bởi điều kiện tự nội xạ và Artin nh- đãnêu ở trên Đặc tr-ng tự nội xạ hai phía và Artin hai phía là khá mạnh,chính vì vậy nhiều tác giả đã tìm cách giảm nhẹ các điều kiện này để

đặc tr-ng cho vành QF Chẳng hạn, M Ikeda (1951); Y Utumi (1965);

C Faith; B Osofsky (1966); W K Nicholson và M F Yousif; J Clark và

D V Huynh (1994), Tuy nhiên, cho đến nay một giả thuyết của C Faith,

vành tự nội xạ phải và hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành QF, vẫn ch-a có

câu trả lời Giả thuyết này vẫn còn mở đối với vành nửa nguyên sơ

Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng của vành QF chủ yếu tập trung theohai h-ớng, một là giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hoặc hai là giảm nhẹ điềukiện Artin Trong đề tài này, chúng tôi lấy đặc tr-ng của vành QF làm nền

Định lý Faith-Walker chỉ ra một đặc tr-ng quan trọng của vành QF đó là,

vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ

ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ Chính

vì vậy, các tr-ờng hợp mở rộng của môđun nội xạ và xạ ảnh đ-ợc xemxét đến Cụ thể, trong Ch-ơng 2, chúng tôi nghiên cứu các lớp mở rộngcủa môđun nội xạ và trong Ch-ơng 3 là các lớp mở rộng của môđun xạ

ảnh Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớpvành mở rộng của vành tự nội xạ và vành Artin nh- đã nêu ở trên là mộth-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời chogiả thuyết của C Faith Từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđunnội xạ, chúng tôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành đó,

đồng thời, từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh, chúngtôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua đặc tr-ng của vành Artin, vànhhoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh,

Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm

1940 Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của

nó đã nhận đ-ợc sự quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học trên thế giới.Năm 1961, R E Jonhson và E T Wong đã giới thiệu khái niệm môđuntựa nội xạ Khái niệm môđun giả nội xạ đ-ợc S Singh và S K Jain đ-a ravào năm 1967 Sau đó, các tác giả M Harada, C S Clara và P F Smithlần l-ợt đ-a ra các khái niệm môđun GQ-nội xạ và c-nội xạ vào các năm

1982 và 2000 Ngoài ra, các lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liêntục, CS, cũng đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu, chẳng hạn, Y Utumi; S K.Jain; S H Mohamed; B J Muller; K Oshiro; M Harada; L V Thuyet;

T C Quynh;

Theo h-ớng mở rộng trên, chúng tôi đ-a ra các khái niệm mở rộng củamôđun nội xạ, đó là môđun giả c-nội xạ và giả c+-nội xạ Các kết quảliên quan đ-ợc trình bày trong Ch-ơng 2 của Luận án Chúng tôi đã chứngminh đ-ợc rằng, lớp môđun giả c+-nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sựcủa các lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục Hơn nữa, lớp môđungiả c+-nội xạ là lớp con thực sự của lớp môđun giả c-nội xạ và lớp môđunthỏa mãn điều kiện C2 Bên cạnh các tính chất nội tại của lớp môđun giả

c+-nội xạ, chúng tôi đã chỉ ra điều kiện đủ để một môđun giả c+-nội xạ làmôđun liên tục, tựa nội xạ Các tính chất quan trọng của môđun giả c+-nội

xạ M đó là tính nội xạ t-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của nó và tính chính quy của vành th-ơng End(M )/J (End(M )).

Nh- đã nêu ở trên, một đặc tr-ng quan trọng của vành QF là mọi môđunnội xạ là xạ ảnh và mọi môđun xạ ảnh là nội xạ Vì vậy, ta xét đến kháiniệm đối ngẫu của môđun nội xạ, đó là môđun xạ ảnh Khái niệm này đ-ợc

H Cartan và S Eilenberg đ-a ra vào năm 1956 Sau đó, các khái niệm mởrộng của nó cũng đã đ-ợc các tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđuntựa xạ ảnh, môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện

D1, D2, D3, Ta biết rằng không phải mọi môđun đều có phủ xạ ảnh,

vì vậy, H Bass đã gọi vành R là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải

đều có phủ xạ ảnh Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có phủ xạ

ảnh thì vành R đ-ợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh Năm 1966, F Kasch và

E A Mares đã chuyển khái niệm này sang môđun và đặc tr-ng vành hoànchỉnh, nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun có phần phụ (supplemented).Các đặc tr-ng của môđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ và

điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cũng đã đ-ợc I Al-Khazzi và

P F Smith chứng minh

Mở rộng khái niệm môđun con bé, Y Zhou giới thiệu khái niệm môđun

con δ-bé Từ đó tác giả này cũng đã đ-a ra tr-ờng hợp mở rộng của vành hoàn chỉnh (t.- nửa hoàn chỉnh) đó là vành δ-hoàn chỉnh (t.-., δ-nửa hoàn chỉnh) Sau đó, năm 2007, M T Kosan đã đ-a ra khái niệm môđun δ-nâng (δ-lifting) và môđun có δ-phần phụ (δ-supplemented), đồng thời đặc tr-ng vành δ-hoàn chỉnh, δ-nửa hoàn chỉnh thông qua các lớp môđun này Một lớp con của lớp môđun có δ-phần phụ cũng đã đ-ợc các tác giả E Buyukasik,

C Lomp và R Tribak khảo sát, đó là lớp môđun δ-địa ph-ơng Các đặc tr-ng vành nửa hoàn chỉnh và vành δ-nửa hoàn chỉnh thông qua môđun

δ-địa ph-ơng cũng đã đ-ợc chứng minh.

Năm 2011, D X Zhou và X R Zhang đã đ-a ra khái niệm môđun con

bé cốt yếu (essentially small) Theo đó, trong Ch-ơng 3, chúng tôi đ-a rakhái niệm môđun có phần phụ cốt yếu và môđun nâng cốt yếu Đây là

các lớp môđun mở rộng của môđun có δ-phần phụ và δ-nâng (t-ơng ứng).

Một lớp con của lớp môđun có phần phụ cốt yếu đó là môđun địa ph-ơngcốt yếu cũng đ-ợc khảo sát Ngoài các tính chất đồng điều của các lớp

môđun trên và mối liên hệ với các lớp môđun δ-nâng, môđun có δ-phần phụ, môđun δ-địa ph-ơng và môđun địa ph-ơng, chúng tôi đã chứng minh

đ-ợc các đặc tr-ng quan trọng của môđun địa ph-ơng cốt yếu

Từ việc khảo sát các lớp môđun trên, trong Ch-ơng 2, chúng tôi đ-a racác đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, vành tựa Fronenius thông qua môđungiả c+-nội xạ, đây là kết quả mở rộng của B Osofsky về đặc tr-ng củavành Artin nửa đơn, kết quả của C Faith, W K Nicholson và M F Yousif

về đặc tr-ng của vành QF Đồng thời trong Ch-ơng 3 là các đặc tr-ng củamôđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và điều kiệndây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các ký hiệu và khái niệm cơ bản.

Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn

vị 1 6= 0 và mọi R-môđun là môđun unita Với vành R đã cho, ta viết MR

(t.-., RM ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.-., trái), khi không sợ nhầm

lẫn về phía của môđun, ta viết gọn là môđun M thay cho MR

Cho N là môđun con của M Môđun con N đ-ợc gọi là cốt yếu (hay môđun con lớn) trong M , ký hiệu là N ≤e M , nếu N ∩ A 6= 0 với mọi

môđun con A khác không của M Môđun con K của M đ-ợc gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự, nghĩa là, nếu L là một môđun con của M sao cho K ≤e L thì K = L Môđun con N của M đ-ợc

gọi là bé (hay đối cốt yếu) trong M nếu với mọi L ≤ M, N + L = M thì

L = M

Môđun M khác không đ-ợc gọi là đều (uniform) nếu bất kỳ hai môđun con khác không của M đều có giao khác không, nghĩa là mọi môđun con khác không đều cốt yếu trong M Môđun M đ-ợc gọi là có chiều đều (hay chiều Goldie) là n, ký hiệu là u dim M = n, nếu tồn tại môđun con V cốt yếu trong M sao cho V là tổng trực tiếp của n môđun con đều Ng-ợc lại, ta viết u.dim M = ∞ Môđun M đ-ợc gọi là không phân tích đ-ợc nếu M là môđun khác không và M không là tổng trực tiếp của các môđun con khác không Môđun M khác không đ-ợc gọi là đơn nếu M chỉ có hai môđun con tầm th-ờng là 0 và M Môđun M đ-ợc gọi là nửa đơn nếu M

là tổng trực tiếp của các môđun đơn

Định nghĩa 1.1.1 Cho L là tập các môđun con nào đó của môđun M

i) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dãy tăng (ACC) nếu với

mọi dãy L1 ≤ L2 ≤ ã ã ã ≤ Ln ≤ trong L, tồn tại n ∈ N sao cho

Ln+i = Ln(i = 1, 2, ).

ii) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dãy giảm (DCC) nếu với

mọi dãy L1 ≥ L2 ≥ ã ã ã ≥ Ln ≥ trong L, tồn tại n ∈ N sao cho

Ln+i = Ln(i = 1, 2, ).

Cho I là iđêan của vành R Nếu với mọi lũy đẳng f của vành th-ơng

R/I tồn tại luỹ đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I thì ta gọi các lũy

đẳng nâng đ-ợc modulo I.

Định nghĩa 1.1.2 Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là chính quy nếu tồn

tại phần tử x ∈ R sao cho axa = a Vành R đ-ợc gọi là chính quy Von Neumann nếu mọi phần tử của R là chính quy Vành R đ-ợc gọi là nửa chính quy nếu R/J (R) là vành chính quy và các luỹ đẳng nâng đ-ợc modulo J (R).

Tập con I của R đ-ợc gọi là T -lũy linh trái (t.-., phải) nếu mọi dãy

a1, a2, trong I, tồn tại n sao cho a1.a2 an = 0 (t -, an a2.a1 = 0)

I đ-ợc gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho In = 0

Định nghĩa 1.1.3 Vành R đ-ợc gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J (R) là nửa

đơn và J (R) là lũy linh Vành R đ-ợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J (R)

là nửa đơn và các lũy đẳng nâng đ-ợc modulo J (R) Vành R đ-ợc gọi là hoàn chỉnh trái (t.-., phải) nếu R/J (R) là nửa đơn và J (R) là T -lũy linh

trái (t.-., phải)

1.2 Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.2.1 Cho M, N là các R-môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ

nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đồng cấu từ f : A → M , tồn tại mở rộng của f từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi là nội xạ nếu M là

N nội xạ với mọi môđun N Môđun M đ-ợc gọi là tựa nội xạ nếu M là

M -nội xạ Vành R đ-ợc gọi là tự nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., RR)

là môđun tựa nội xạ

Theo định nghĩa, môđun M là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun

N Tiêu chuẩn Baer chỉ ra rằng, R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M

là R-nội xạ Hơn nữa, khái niệm vành nội xạ và vành tự nội xạ là trùng

nhau Sau đây là một số khái niệm mở rộng của môđun nội xạ:

Định nghĩa 1.2.2 Cho M và N là hai R-môđun M đ-ợc gọi là giả N -nội

xạ nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đơn cấu từ A vào M , đều

mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi là giả nội xạ nếu M là giả M -nội xạ.

Định nghĩa 1.2.3 Cho M là R-môđun.

i) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C1 (hay M là môđun CS) nếu mỗi môđun con N của M , N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

ii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C2 nếu mỗi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M

iii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C3 nếu với A, B là hai hạng tử trực tiếp của M , A ∩ B = 0 thì A ⊕ B là hạng tử trực tiếp của M

iv) M đ-ợc gọi là liên tục (t.-., tựa liên tục) nếu M là CS và thoả điều

kiện C2 (t.-., C3)

Định nghĩa 1.2.4 Cho M, N là các R-môđun.

i) Môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ đơn nếu với mọi môđun con A của

N , với mỗi đồng cấu f : A → M sao cho f (A) là môđun con đơn, tồn tại

đồng cấu từ N vào M là mở rộng của f Vành R đ-ợc gọi là nội xạ đơn phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., RR) là R-nội xạ đơn.

ii) Môđun M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng cấu với môđun con đóng của M , với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M

iii) Môđun N đ-ợc gọi là M -c-nội xạ nếu với mỗi môđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu từ A vào N đều có thể mở rộng đến đồng cấu từ

M vào N Môđun M đ-ợc gọi là c-nội xạ nếu M là N -c-nội xạ với mọi

môđun N Môđun M đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu M là M -c-nội xạ.

1.3 Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.3.1 Cho M, P là các R-môđun Môđun P đ-ợc gọi là M -xạ

ảnh nếu với mọi môđun N và mọi toàn cấu α : M → N , với mọi đồng cấu

β : P → N , tồn tại đồng cấu f : P → M sao cho β = αf Môđun P đ-ợc

gọi là xạ ảnh nếu P là M -xạ ảnh với mọi môđun M Môđun P đ-ợc gọi

là tựa xạ ảnh nếu P là P -xạ ảnh.

Một khái niệm mở rộng của khái niệm môđun con bé đ-ợc Y Zhou đ-a

ra vào năm 2011, đó là khái niệm môđun δ-bé Môđun con N của M đ-ợc gọi là δ-bé trong M , ký hiệu là N δ M , nếu N + L = M với M/L suy

biến thì L = M Sau đó, T M Kosan giới thiệu khái niệm môđun δ-nâng

và môđun có δ-phần phụ:

Định nghĩa 1.3.3 Cho M là R-môđun và N ≤ M

i) Môđun con L đ-ợc gọi là δ-phần phụ của N trong M nếu M = N +L

Các lớp môđun con của môđun có δ-phần phụ cũng đã đ-ợc E Buyukasik,

C Lomp và R.Tribak khảo sát:

Định nghĩa 1.3.4 i) M đ-ợc gọi là môđun có δ-phần phụ nhiều (amply

δ-supplemented) nếu mỗi môđun con A, B của M sao cho A + B = M ,

tồn tại δ-phần phụ P của A sao cho P ≤ B.

ii) Môđun M đ-ợc gọi là δ-địa ph-ơng nếu δ(M ) = P

{N ≤ M |N δ

M } là môđun con cực đại của M và δ(M ) δ M

Các lớp môđun δ-nâng và môđun có δ-phần phụ là các lớp mở rộng

thực sự của môđun nâng và môđun có phần phụ (t-ơng ứng) Tuy nhiên,các tác giả E Buyukasik và C Lomp đã chỉ ra các ví dụ chứng tỏ hai lớp

môđun địa ph-ơng và môđun δ-địa ph-ơng là không chứa nhau.

1.4 Môđun và vành Artin, Nơte.

Định nghĩa 1.4.1 i) Môđun M đ-ợc gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng

các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.

ii) Môđun M đ-ợc gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.

iii) Vành R đ-ợc gọi là Nơte phải (t.-., trái) nếu môđun RR (t.-., RR)

rằng, vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành Artin phải (hoặc trái) và

J (R) = 0 Để phân biệt với vành J -nửa đơn, vành nửa đơn th-ờng đ-ợc

gọi là vành Artin nửa đơn

Định lý 1.4.4 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là Artin nửa đơn;

(2) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ;

(3) Mỗi R-môđun phải cyclic là nội xạ.

1.5 Vành tựa Frobenius.

Định nghĩa 1.5.1 Vành R đ-ợc gọi là tựa Frobenius nếu R là vành tự nội

xạ hai phía và Artin hai phía

Việc tìm các điều kiện đủ, giảm nhẹ các điều kiện tự nội xạ hai phía vàArtin hai phía để đặc tr-ng cho vành tựa Frobenius thông qua các lớp vành

mở rộng của vành tự nội xạ đã đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu Chẳng hạn,

năm 1951, M Ikeda đã chứng minh rằng nếu vành R tự nội xạ một phía

và Artin (hoặc Nơte) một phía thì R là vành tựa Frobenius.

Định lý 1.5.2 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Artin phải (hoặc trái);

(3) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Nơte phải (hoặc trái).

Sau đó, các tác giả B Osofsky, W K Nicholson và M F Yousif cũng

đã đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông qua vành hoàn chỉnh, vành nội xạ

đơn, vành liên tục và vành min-CS:

Định lý 1.5.5 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là tự nội xạ hai phía và hoàn chỉnh trái;

(3) R là nội xạ đơn hai phía và hoàn chỉnh trái.

Định lý 1.5.6 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là liên tục phải, min-CS trái và thỏa mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải.

Ch-ơng 2 môđun và vành giả C+-nội xạ

Nội dung của ch-ơng này là các kết quả liên quan đến môđun giả c-nội

xạ và giả c+-nội xạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun giả c-nội

xạ, giả c+-nội xạ và một số lớp môđun mở rộng khác của môđun nội xạ cóliên quan đã đ-ợc chỉ ra Các kết quả quan trọng trong ch-ơng này đó làcác đặc tr-ng của môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành

liên tục; đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua tính chất giả c-nội

xạ và giả c+-nội xạ; tính chính quy của vành th-ơng của vành tự đồng cấucủa môđun giả c+-nội xạ và các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thôngqua vành giả c+-nội xạ

2.1 Môđun giả c-nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của

môđun giả c-nội xạ Kết quả chính trong phần này đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ.

Định nghĩa 2.1.1 Cho M, N là hai R-môđun N đ-ợc gọi là giả M -c-nội

xạ nếu với mọi môđun con đóng A của M , mỗi đơn cấu từ A vào N đều

mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào N Môđun M đ-ợc gọi là giả c-nội

xạ nếu M là giả M -c-nội xạ Vành R đ-ợc gọi là giả c-nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., RR) là giả c-nội xạ.

Nhận xét 2.1.2 Từ định nghĩa suy ra:

(1) Mọi môđun tựa c-nội xạ hoặc giả nội xạ là giả c-nội xạ.

(2) Mọi môđun CS là giả c-nội xạ.

Mệnh đề 2.1.3 Môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi R-môđun là giả

M -c-nội xạ.

Tổng trực tiếp của hai môđun giả c-nội xạ ch-a hẳn là môđun giả c-nội

xạ Ví dụ sau chỉ ra điều này:

Ví dụ 2.1.3 Cho p là số nguyên tố và M = Z/pZ và N = Z/p3Z Khi

đó M, N là các môđun đều nên là giả c-nội xạ nh-ng M ⊕ N không là giả

c-nội xạ.

Định lý sau đây là một đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, đó là vành

mà mọi môđun giả c-nội xạ (trên vành đó) là nội xạ:

Định lý 2.1.6 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là Artin nửa đơn;

(2) Tổng trực tiếp của hai R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ;

(3) Mọi R-môđun giả c-nội xạ là nội xạ;

(4) Tổng trực tiếp của các R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ.

2.2 Môđun giả c+-nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả về lớp môđun giả c+-nộixạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun này và các lớp môđun

mở rộng khác của môđun nội xạ đã đ-ợc chỉ ra Đồng thời các đặc tr-ngcủa lớp môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành liên tụcthông qua môđun và vành giả c+-nội xạ cũng đã đ-ợc chứng minh Kếtquả chính trong mục này đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn và vànhtựa Frobenius thông qua vành giả c+-nội xạ

Định nghĩa 2.2.1 Cho M, N là các R-môđun Môđun N đ-ợc gọi là giả

M -c+-nội xạ nếu với mọi môđun con A của M , A đẳng cấu với môđun con

đóng của M , với mỗi đơn cấu từ A vào N đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu

từ M vào N Môđun M đ-ợc gọi là giả c+-nội xạ nếu M là giả M -c+-nội

xạ Vành R đ-ợc gọi là giả c+-nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., RR) là

giả c+-nội xạ

Nhận xét 2.2.2 Từ định nghĩa, ta có:

(1) Nếu M là môđun giả nội xạ thì M là giả c+-nội xạ

(2) Nếu M là môđun giả c+-nội xạ thì M là giả c-nội xạ.

(3) Nếu M là môđun GQ-nội xạ thì M là giả c+-nội xạ

Ví dụ 2.2.3 (1) Xét M = Z ⊕ Z là Z-môđun Khi đó, M là môđun CS

và giả c-nội xạ nh-ng không phải là môđun giả c+-nội xạ

(2) Xét R = Z Khi đó R là vành giả c-nội xạ phải nh-ng không là vành

giả c+-nội xạ phải

(3) Cho F là một tr-ờng và R = F F

0 F

!

là vành CS hai phía nh-ng

không thỏa điều kiện C2 Nh- vậy, R là vành giả c-nội xạ phải nh-ng

không là giả c+-nội xạ phải

Hệ quả 2.2.3 Cho M là môđun giả c+-nội xạ Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là giả c+-nội xạ.

(2) Nếu N ∼ = M thì N là giả c+-nội xạ.

H Q Dinh đã chứng minh rằng, môđun giả nội xạ thì thỏa mãn điềukiện C2 Kết quả này vẫn đúng đối với lớp môđun giả c+-nội xạ:

Định lý 2.2.5 Nếu M là giả c+-nội xạ thì M thoả mãn điều kiện C2.

Điều ng-ợc lại của Định lý 2.2.5 là không đúng Thật vậy, ta có phản

V là một không gian vectơ hai chiều trên F Khi đó R là vành giao hoán,

địa ph-ơng, Artin và thỏa mãn điều kiện C2 nh-ng không là giả c+-nội xạ

Định lý sau là một đặc tr-ng của môđun và vành liên tục thông quamôđun giả c+-nội xạ:

Định lý 2.2.6 Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu mọi môđun là giả

M -c+-nội xạ.

Hệ quả 2.2.7 Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu M là giả c+-nội xạ và CS.

Từ các kết quả ở trên, ta có sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa môđun giả

c+-nội xạ và các tr-ờng hợp mở rộng khác của môđun nội xạ:

Nhận xét 2.2.5 Theo Q H Dinh, hai lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun

liên tục là không chứa nhau Do đó, lớp môđun giả c+-nội xạ là mở rộngthực sự của lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục Hơn nữa, theo Ví

dụ 2.2.3 và Ví dụ 2.2.4, lớp môđun giả c+-nội xạ là lớp con thực sự của

lớp môđun thỏa mãn điều kiện C2 và lớp môđun giả c-nội xạ.

Nhận xét 2.2.6 Môđun con đẳng cấu với môđun con đóng của môđun M

ch-a hẳn là đóng trong M Điều này đúng khi môđun M là giả c+-nội xạ.Thật vậy, ta có ví dụ và bổ đề sau:

Ví dụ 2.2.7 (1) Xét M = Z là Z-môđun và A = nZ, n > 1 Khi đó

Tuy nhiên J không phải là iđêan phải đóng của R.

Bổ đề 2.2.9 Cho M là môđun giả c+-nội xạ Khi đó, mọi môđun con đẳng cấu với môđun con đóng của M là môđun con đóng của M

Đối với môđun liên tục M ⊕ N , S H Mohamed và B J Muller đã chỉ

ra rằng M là N -nội xạ Tác giả H Q Dinh cũng đã chứng minh đ-ợc kết quả t-ơng tự đối với tr-ờng hợp M ⊕ N là giả nội xạ Chúng tôi cũng thu

đ-ợc kết quả t-ơng tự đối với môđun giả c+-nội xạ Tuy nhiên, ph-ơngpháp chứng minh của S H Mohamed, B J Muller và H Q Dinh không

áp dụng đ-ợc đối với tr-ờng hợp này

Định lý 2.2.11 Nếu M ⊕ N là giả c+-nội xạ thì M là N -nội xạ.

Từ đó ta có các đặc tr-ng của môđun tựa nội xạ, vành tự nội xạ và đặctr-ng của vành Artin nửa đơn:

Hệ quả 2.2.12 Cho n là số nguyên, n ≥ 2 M là tựa nội xạ khi và chỉ khi

Mn là giả c+-nội xạ.

Hệ quả 2.2.13 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn;

(2) Mỗi R-môđun phải có hệ sinh đếm đ-ợc là giả c+-nội xạ.

Định lý 2.2.16 Giả sử M = ⊕i∈IMi, Mi là các môđun đều Khi đó M là liên tục khi và chỉ khi M là giả c+-nội xạ.

Định lý 2.2.21 Cho M là môđun giả c+-nội xạ và S = End(M ) Khi

đó S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và J (S) = ∆(S) = {s ∈ S| Ker s ≤e M }.

Từ đó, ta có các điều kiện đủ để vành tự đồng cấu của môđun c+-nộixạ là vành hoàn chỉnh, vành nửa nguyên sơ:

Hệ quả 2.2.25 Cho M là môđun giả c+-nội xạ và S = End(M ) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) S là vành hoàn chỉnh phải;

(2) Với mọi dãy vô hạn s1, s2, ∈ S, dây chuyền Ker s1 ≤ Ker s2s1 ≤ ã ã ã

là dừng.

Mệnh đề 2.2.27 Cho M là môđun giả c+-nội xạ và S = End(M ) Nếu

M thỏa mãn điều kiện ACC trên các M -linh hóa tử thì S là nửa nguyên sơ.

Định lý sau là một điều kiện đủ để môđun th-ơng của R-môđun giả

RR-c+-nội xạ là giả RR-c+-nội xạ:

Định lý 2.2.31 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

(1) Mỗi iđêan phải đóng của R là xạ ảnh;

(2) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR-c+-nội xạ là giả RR-c+-nội xạ; (3) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR-nội xạ là giả RR-c+-nội xạ; (4) Mỗi môđun th-ơng của môđun nội xạ là giả RR-c+-nội xạ.

Các tác giả W K Nicholson và M F Yousif đã chỉ ra rằng vành R là tựa Frobenius khi và chỉ khi R là vành liên tục phải, min-CS trái và thoả

ACC trên các linh hoá tử phải Kết quả sau là một mở rộng của kết quảtrên về đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+-nội xạ

Định lý 2.2.33 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius;

(2) R là vành giả c+-nội xạ phải, min − CS hai phía và thoả mãn điều kiện ACC trên các linh hoá tử phải.

Ch-ơng 3 Các tr-ờng hợp mở rộng của môđun xạ ảnh

Nội dung của ch-ơng 3 là các kết quả liên quan đến các lớp môđunthông qua khái niệm môđun con bé cốt yếu Cụ thể là các lớp môđun nângcốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu và địa ph-ơng cốt yếu Các tính chất

của các lớp môđun trên và mối liên hệ của chúng với các lớp môđun δ-nâng, môđun có δ-phần phụ, δ-địa ph-ơng và môđun địa ph-ơng cũng đã đ-ợc

chỉ ra Kết quả chính của ch-ơng 3 đó là các đặc tr-ng của môđun địaph-ơng cốt yếu và đặc tr-ng của môđun Artin thông qua môđun có phầnphụ cốt yếu và điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu

3.1 Môđun nâng cốt yếu và môđun có phần phụ cốt yếu.

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm môđun nâng cốt yếu và cóphần phụ cốt yếu Đây là các lớp môđun mở rộng của các lớp môđun

δ-nâng và δ-phần phụ (t-ơng ứng) đã đ-ợc các tác giả T Kosan, Y Wang

nghiên cứu Các tính chất về đồng điều của các lớp môđun này đã đ-ợcchỉ ra, ngoài ra chúng tôi khảo sát lớp môđun có phần phụ cốt yếu nhiều

và đ-a ra các điều kiện đủ để một môđun là môđun có phần phụ cốt yếunhiều

Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé cốt yếu trong M , ký hiệu là

N e M , nếu với mỗi L ≤e M , N + L = M thì L = M

Định nghĩa 3.1.1 Môđun M đ-ợc gọi là nâng cốt yếu nếu với mọi N ≤ M ,

tồn tại sự phân tích M = A ⊕ B sao cho A ≤ N và N ∩ B e M

Mệnh đề 3.1.3 Hạng tử trực tiếp của môđun nâng cốt yếu là nâng cốt yếu.

Môđun M đ-ợc gọi là phân phối nếu A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) với mọi môđun con A, B, C của M Mệnh đề sau là một điều kiện đủ để

môđun th-ơng của môđun nâng cốt yếu là nâng cốt yếu:

Mệnh đề 3.1.4 Cho M là môđun nâng cốt yếu và X ≤ M Nếu một trong

các điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn:

(1) Với mỗi hạng tử trực tiếp K của M , (K + X)/X là hạng tử trực tiếp của M/X.

Định nghĩa 3.1.2 Cho N, L là các môđun con của M L đ-ợc gọi là phần

phụ cốt yếu của N trong M nếu M = N + L và N ∩ L e L Môđun M

đ-ợc gọi là có phần phụ cốt yếu nếu mọi môđun con của M đều có phần phụ cốt yếu trong M

Theo định nghĩa, mỗi môđun con bé là δ-bé và mỗi môđun con δ-bé là

bé cốt yếu Hơn nữa, mỗi môđun nâng cốt yếu là môđun có phần phụ cốtyếu Nh- vậy, ta có sơ đồ sau:

nâng → δ-nâng → nâng cốt yếu

có phần phụ → có δ-phần phụ → có phần phụ cốt yếu

Nhận xét 3.1.3 Nếu M là môđun xạ ảnh thì với mọi N ≤ M , N là môđun

con bé cốt yếu trong M khi và chỉ khi N là δ-bé trong M Do đó, nếu M

là nâng cốt yếu (t.-., có phần phụ cốt yếu) và xạ ảnh thì M là δ-nâng (t.-.,

có δ-phần phụ cốt yếu).

Ví dụ 3.1.4 Xét R = Z8, khi đó M = (2Z8/4Z8) ⊕ RR là môđun nâng cốt

yếu theo Định lý 3.1.6 Tuy nhiên, M không phải là môđun δ-nâng.

Bổ đề 3.1.9 Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu Khi đó:

(1) M/ Rade(M ) là môđun nửa đơn.

(2) Nếu L là môđun con của M với L ∩ Rade(M ) = 0 thì L là môđun nửa đơn.

Mệnh đề 3.1.10 Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu Khi đó M = M1⊕

M2, trong đó M1 là môđun nửa đơn và M2 ≤ M với Rade(M2) ≤e M2.

Mệnh đề 3.1.12 Cho M = M1 + M2 Nếu M1 và M2 là các môđun có phần phụ cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu.

Theo định nghĩa, hạng tử trực tiếp của môđun có phần phụ cốt yếu làmôđun có phần phụ cốt yếu Từ đó ta có hệ quả sau:

chất của môđun có phần phụ cốt yếu nhiều:

Mệnh đề 3.1.16 Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều Khi đó,

mọi ảnh toàn cấu của M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.

Mệnh đề 3.1.17 Cho M là một môđun Nếu mọi môđun con của M là

môđun có phần phụ cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.

Môđun M đ-ợc gọi là π-xạ ảnh nếu với mọi môđun con U, V của M với U + V = M , tồn tại f ∈ End(M ) với Im(f ) ≤ U và Im(1 − f ) ≤ V

Định lý 3.1.19 Cho M là một môđun Nếu M là π-xạ ảnh, có phần phụ

cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.

3.2 Môđun địa ph-ơng cốt yếu.

Nội dung của mục này là các kết quả về môđun địa ph-ơng cốt yếu Cáctính chất và đặc tr-ng của lớp môđun này đã đ-ợc chứng minh Cụ thể,tổng trực tiếp của một môđun địa ph-ơng cốt yếu và môđun nửa đơn làmôđun địa ph-ơng cốt yếu; môđun địa ph-ơng cốt yếu là tổng trực tiếp củamột môđun cyclic, địa ph-ơng cốt yếu với một môđun nửa đơn Hơn nữa,Rade(M ) là môđun con cực đại, cốt yếu duy nhất của môđun địa ph-ơng cốt yếu M Ngoài ra các điều kiện đủ để một môđun trở thành môđun có

phần phụ cốt yếu nhiều cũng đã đ-ợc chỉ ra

Định nghĩa 3.2.1 Môđun M đ-ợc gọi là địa ph-ơng cốt yếu nếu Rade(M )

là môđun con cực đại của M và Rade(M ) e M

Nhận xét 3.2.2 Mọi môđun đơn là địa ph-ơng Hơn nữa, nếu M là môđun

nửa đơn thì M e M , do đó Rade(M ) = M Nh- vậy M không là địa

(1) M là địa ph-ơng;

(2) M là môđun không phân tích đ-ợc.

Sau đây là các tính chất và đặc tr-ng của môđun địa ph-ơng cốt yếu:

Định lý 3.2.7 Cho M = N ⊕ K là một môđun Các khẳng định sau là

δ-địa ph-ơng.

(3) Xét R = Z, M = Z24 Khi đó, Rad(M ) = δ(M ) = 6Z24, Rade(M ) =

2Z24 Vì vậy, M là môđun địa ph-ơng cốt yếu nh-ng không là địa ph-ơng hoặc δ-địa ph-ơng.

(4) Cho F là một tr-ờng và R = F F

0 F

!

Khi đó R là δ-địa ph-ơng nh-ng không là địa ph-ơng Vì R là xạ ảnh nên R là địa ph-ơng cốt

(2) M = L ⊕ N sao cho L là môđun cyclic địa ph-ơng cốt yếu và N là nửa đơn.

Định lý 3.2.10 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M :

(1) M là môđun địa ph-ơng cốt yếu;

(2) Rade(M ) là môđun con cực đại của M và mỗi môđun con thực sự cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại;

(3) M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực

sự cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại.

Sau đây là một đặc tr-ng của môđun có phần phụ cốt yếu nhiều:

Mệnh đề 3.2.15 Cho M là môđun hữu hạn sinh Các điều kiện sau là

t-ơng đ-ơng:

(1) M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều;

(2) Nếu L, N là các môđun con của M và M = L + N thì M = N +

L1 + + Ln, trong đó n là số nguyên d-ơng, Li là địa ph-ơng cốt yếu hoặc Li là nửa đơn.

Hệ quả 3.2.18 Nếu M là môđun hữu hạn sinh và mỗi môđun con cyclic

của M là môđun có phần phụ cốt yếu thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.

3.3 Môđun thỏa mãn điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu.

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện dây chuyền trên các môđuncon bé cốt yếu và chứng minh rằng môđun Rade(M ) là Nơte (t.-., Artin) khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện ACC (t.-., DCC) trên các môđun

con bé cốt yếu Các kết quả quan trọng đã thu đ-ợc trong mục này đó làcác đặc tr-ng của môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu, cóphần phụ cốt yếu nhiều và điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốtyếu

Mệnh đề 3.3.1 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M :

(1) Rade(M ) là Nơte;

(2) M thỏa mãn ACC trên các môđun con bé cốt yếu.

Định lý 3.3.4 Các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M :

(1) Rade(M ) là Artin;

(2) Mỗi môđun con bé cốt yếu của M là Artin;

(3) M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé cốt yếu.

Từ đó, ta có các đặc tr-ng của môđun Artin:

Định lý 3.3.7 Cho M là một môđun Khi đó M là Artin khi và chỉ khi M

là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con phần phụ cốt yếu và môđun con bé cốt yếu.

Hệ quả 3.3.8 Cho M là môđun hữu hạn sinh Khi đó M là Artin khi và

chỉ khi M là môđun có phần phụ cốt yếu và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé cốt yếu.

Ví dụ 3.3.1 (1) Xét M = Z là Z-môđun, ta có môđun con bé cốt yếu duy

nhất của M là 0 Nh- vậy M thỏa điều kiện DCC trên các môđun con

bé cốt yếu Tuy nhiên M không phải là môđun có phần phụ cốt yếu Vì vậy M không là Artin.

(2) Xét M = Q là Z-môđun Ta có M không phải là môđun có phần phụ cốt yếu Vì vậy M không là Artin.

trong đó F là một tr-ờng Khi

đó, A là R-môđun có phần phụ cốt yếu và Artin.

Từ Hệ quả 3.3.8 và Hệ quả 3.2.18, ta có:

Hệ quả 3.3.9 Cho M là môđun hữu hạn sinh Nếu mỗi môđun con cyclic

của M là môđun có phần phụ cốt yếu và M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé cốt yếu thì M là Artin.

Kết luận và kiến nghị

Các kết quả chính trong luận án:

1 Các tính chất của môđun giả c+-nội xạ (Định lý 2.2.11; Định lý 2.2.21);mối liện hệ giữa môđun giả c+-nội xạ với các tr-ờng hợp mở rộng kháccủa môđun nội xạ (Định lý 2.2.5; Hệ quả 2.2.7);

2 Các đặc tr-ng mở rộng của môđun và vành tự nội xạ thông qua tínhchất giả c+-nội xạ (Hệ quả 2.2.12); Đặc tr-ng của môđun và vành liêntục thông qua môđun giả c+-nội xạ (Định lý 2.2.6; Định lý 2.2.16);

3 Đặc tr-ng vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ và giả

c+-nội xạ (Định lý 2.1.6; Hệ quả 2.2.13); Đặc tr-ng vành tựa Frobeniusthông qua vành giả c+-nội xạ (Định lý 2.2.20; Định lý 2.2.33);

4 Các đặc tr-ng của môđun địa ph-ơng cốt yếu (Định lý 3.2.7; Mệnh đề3.2.9 và Định lý 3.2.10)

5 Đặc tr-ng Artin của môđun Rade(M ) (Định lý 3.3.4); các đặc tr-ng

của môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và điều kiệndây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu (Định lý 3.3.7; Hệ quả3.3.8)

Ngoài các kết quả đã chứng minh đ-ợc ở trên, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiêncứu và giải quyết một số vấn đề liên quan nh-ng ch-a đ-ợc chứng minhtrong luận án:

1 Tính nửa chính quy của vành tự đồng cấu của môđun giả c+-nội xạ;các điều kiện đủ để môđun giả c+-nội xạ là môđun giả nội xạ, liêntục, tựa nội xạ, nội xạ;

2 Các đặc tr-ng của vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh, δ-hoàn chỉnh,

δ-nửa hoàn chỉnh thông qua môđun nâng cốt yếu, môđun có phần phụ

cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu

Danh mục các công trình của tác giả

[1] Phan Hồng Tín và Tr-ơng Công Quỳnh, Về môđun giả c∗-nội xạ,Tạp chí Khoa học & Công nghệ, ĐH Đà Nẵng, 6 (2011), 118-126

[2] T C Quynh and P H Tin, Modules satisfying extension conditionsunder monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal

of Mathematics, Vol 5, No 3 (2012), 12 pages

[3] T C Quynh and P H Tin, Some properties of lifting and

e-supplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol 41, No 3(2013), 303 - 312

[4] P H Tin, Pseudo c∗-injective and co-Hopfian modules, Journal ofScience Hue University, Accepted

[5] L V Thuyet and P H Tin, Some Characterizations of Modules viaEssentially small, Kyungpook Mathematical Journal, Accepted

Các kết quả trong luận án

đ-ợc thảo luận và báo cáo tại:

1 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô toàn quốc, Thái Nguyên, 2011

2 Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 2013

3 Hội thảo Nhóm, vành và các vấn đề liên quan, VIASM, 2014

4 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô toàn quốc, Hạ Long, 2014

5 Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất, Quy nhơn,2015