Một số lớp mở rộng của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

Các đóng góp mới của luận án Luận án đã đề xuất và nghiên cứu các lớp môđun giả c-nội xạ, giả c+-nội xạ, môđun có phần phụ cốt yếu, môđun nâng cốt yếu và môđun địa phương cốt yếu. Từ đó đưa ra các đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành tựa Frobenius, đặc trưng của môđun Artin. Sau đây là các kết quả chính đã thu được: Các tính chất của môđun giả c+-nội xạ, môđun có phần phụ cốt yếu, môđun nâng cốt yếu; Các đặc trưng của môđun và vành liên tục, môđun và vành tự nội xạ thông qua môđun và vành giả c+-nội xạ; Các đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành tựa Frobenius thông qua môđun và vành giả c+-nội xạ; Các đặc trưng của môđun địa phương cốt yếu; Đặc trưng của môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu. Ngoài các kết quả thu được ở trên, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan nhưng chưa được chứng minh trong luận án: Các điều kiện đủ dế môđun giả c+-nội xạ là giả nội xạ, liên tục, tựa nội xạ, nội xạ; Các đặc trưng của vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh, ỗ-hoàn chỉnh, ô-nửa hoàn chỉnh thông qua môđun có phần phụ cốt yếu, môđun nâng cốt yếu và môđun địa phương cốt yếu.

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TS Lê VănThuyết, ng-ời đã h-ớng dẫn tôi hoàn thành luận án này, ng-ời đã truyền chotôi niềm đam mê khoa học, đã tận tình dạy bảo, h-ớng dẫn và động viên tôitrong quá trình học tập, nghiên cứu của mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán; Phòng Đào tạo Sau đại học Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế và Ban Đào tạo - Đại học Huế đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

-và hoàn thành ch-ơng trình nghiên cứu sinh của mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Tr-ờng Cao đẳng Công nghiệp Huế đã hỗ trợ

về vật chất cũng nh- tinh thần, tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gianhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn nhóm nghiên cứu Đại số kết hợp, GS TS

Lê Văn Thuyết; GS TSKH Phạm Ngọc ánh - Viện Hàn lâm khoa họcHungary; GS TS Bùi Xuân Hải -Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đạihọc Quốc gia TP HCM; TS Phan Dân -Tr-ờng Đại học Quốc tế Hồng Bàng

TP HCM; TS Tr-ơng Công Quỳnh -Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học ĐàNẵng; TS Trần Giang Nam - Viện Toán học; TS Trịnh Thanh Đèo - Tr-ờng

Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP HCM, đã có những ýkiến thảo luận, góp ý có giá trị trong quá trình nghiên cứu tại Viện nghiêncứu Cao cấp về Toán

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thành viên trong gia đình, những ng-ời

đã đồng cảm, chia sẻ, động viên, cổ vũ và là động lực thúc đẩy tôi hoànthành việc học tập và nghiên cứu của mình Tôi xin cảm ơn những ng-ờibạn và đồng nghiệp đã có sự quan tâm, động viên tôi v-ợt qua những khókhăn để hoàn thành luận án này

Mục lục

Mở đầu 6

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị. 1.1 Các ký hiệu và khái niệm cơ bản 15

1.2 Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó 18

1.3 Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó 21

1.4 Môđun và vành Artin, Nơte 25

1.5 Vành tựa Frobenius 28

Ch-ơng 2 Môđun và vành giả c+-nội xạ. 2.1 Môđun giả c-nội xạ 32

2.2 Môđun giả c+-nội xạ 38

Ch-ơng 3 Một số tr-ờng hợp mở rộng của môđun xạ ảnh. 3.1 Môđun nâng cốt yếu và môđun có phần phụ cốt yếu 58

3.2 Môđun địa ph-ơng cốt yếu 69

3.3 Môđun thỏa mãn điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu 79

Kết luận và kiến nghị 86

Danh mục các công trình của tác giả 87

Tài liệu tham khảo 88

Bảng các ký hiệu và viết tắt

A ≤ B (A < B) : A là môđun con (t.-., con thực sự) của B

A ≤ max B : A là môđun con cực đại của B

A ≤ ⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B

A ≤ e B : A là môđun con cốt yếu của B

A  B : A là môđun con bé (đối cốt yếu) của B

A  δ B : A là môđun con δ-bé của B

A  e B : A là môđun con bé cốt yếu của B

A ∼ = B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện dây chuyền tăng (t.-., giảm)

E(M ), Soc(M ) : Bao nội xạ, đế của môđun M (t-ơng ứng)

End(M ) : Vành các tự đồng cấu của môđun M

u dim(M ) : Chiều Goldie (chiều đều) của môđun M

HomR (M, N ) : Nhóm các R-đồng cấu từ M vào N

Im(f ), Ker(f ) : ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (t-ơng ứng)

M (I) : ⊕ i∈I M (tổng trực tiếp của I bản sao của M )

M I : Πi∈I M (tích trực tiếp của I bản sao của M )

M R (R M ) : M là một R-môđun phải (t.-., trái)

Rad(M ), J (R) : Căn của môđun M , căn của vành R (t-ơng ứng) δ(M ) : Tổng các môđun con δ-bé của M

Rade (M ) : Tổng các môđun con bé cốt yếu của M

Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M

Mở đầu

Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn

vị 1 6= 0 và mọi R-môđun là môđun unita Với vành R đã cho, ta viết M R

(t.-., R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.-., trái), khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, ta viết gọn là môđun M thay cho M R

Nh- chúng ta đã biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt là vànhQF) là vành tự nội xạ hai phía và Artin hai phía Việc nghiên cứu loại vànhnày xuất phát từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Những năm đầu của

thế kỷ XX, G Frobenius và một số tác giả khác nh- R Brauer, C Nesbitt,

T Nakayama bắt đầu nghiên cứu về đại số Frobenius, các kết quả liên quan

đã đ-ợc công bố trong những năm cuối của thập niên 30 và đầu của thậpniên 40 Khái niệm vành tựa Frobenius đ-ợc T Nakayama giới thiệu vàonăm 1939 Các tác giả C Faith và E A Walker đã chỉ ra một đặc tr-ng

quan trọng của các môđun trên vành QF: vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun

phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ Tuy nhiên, đặc tr-ng tự nội xạ hai phía vàArtin hai phía đ-ợc nêu ở trên là khá mạnh, chính vì vậy nhiều tác giả đãtìm cách giảm nhẹ các điều kiện này để đặc tr-ng cho vành QF

Năm 1951, điều kiện tự nội xạ hai phía và Artin hai phía đ-ợc M Ikedagiảm nhẹ trở thành điều kiện tự nội xạ một phía và Artin một phía Sau

đó, năm 1965, Y Utumi đã đặc tr-ng vành QF bởi điều kiện liên tục haiphía và Artin hai phía Năm 1966, C Faith đã đ-a ra điều kiện giảm nhẹ sovới kết quả của M Ikeda, đó là điều kiện tự nội xạ một phía và thỏa mãn

điều kiện ACC trên các linh hóa tử trái (hoặc phải) Đồng thời, B Osofsky,

W K Nicholson và M F Yousif cũng đã đặc tr-ng vành này thông quavành hoàn chỉnh, đó là điều kiện tự nội xạ hai phía (hoặc nội xạ đơn haiphía) và hoàn chỉnh trái Năm 1994, W K Nicholson và M F Yousif đã

mở rộng kết quả của Y Utumi và của C Faith với điều kiện đủ là vành liêntục phải, min-CS trái và thỏa mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải.Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã nghiên cứu và tìm cách đặc tr-ng vànhtựa Frobenius theo các h-ớng mở rộng khác, chẳng hạn nh-, J Clark và

D V Huynh ([9]); C Faith và D V Huynh ([16], Tuy nhiên, cho đến

nay một giả thuyết của C Faith, vành tự nội xạ phải và hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành QF, vẫn ch-a có câu trả lời Giả thuyết này vẫn còn mở

đối với vành nửa nguyên sơ

Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng của vành QF chủ yếu tập trung theohai h-ớng, một là giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hoặc hai là giảm nhẹ điềukiện Artin Trong đề tài này, chúng tôi vẫn lấy đặc tr-ng của vành QF làmnền Định lý Faith-Walker chỉ ra một đặc tr-ng quan trọng của vành QF đó

là, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ

ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ Chính

vì vậy, các tr-ờng hợp mở rộng của môđun nội xạ và xạ ảnh đ-ợc xem xét

đến Cụ thể, trong Ch-ơng 2, chúng tôi nghiên cứu các lớp mở rộng củamôđun nội xạ và trong Ch-ơng 3 là các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh

Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành

mở rộng của vành tự nội xạ và vành Artin nh- đã nêu ở trên là một h-ớngnghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời cho giả thuyếtcủa C Faith Từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun nội xạ, chúngtôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành đó, đồng thời, từ việcnghiên cứu các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh, chúng tôi tìm đặc tr-ng củavành QF thông qua đặc tr-ng của vành Artin, vành hoàn chỉnh, vành nửahoàn chỉnh,

Cấu trúc của Luận án gồm có 3 ch-ơng Ch-ơng 1 trình bày về cáckiến thức chuẩn bị, Ch-ơng 2 trình bày các kết quả liên quan đến môđungiả c-nội xạ và giả c+-nội xạ, Ch-ơng 3 trình bày các kết quả về môđun

nâng cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu.

Từ việc khảo sát các lớp môđun trên, ở Ch-ơng 2, chúng tôi đ-a ra các đặctr-ng của vành QF thông qua vành giả c+-nội xạ và ở Ch-ơng 3 là các đặctr-ng của môđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và

điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu

Khái niệm về môđun nội xạ bắt đầu xuất hiện trong danh mục các côngtrình nghiên cứu về nhóm aben Năm 1935, Zippin chỉ ra rằng, một nhómaben là chia đ-ợc khi và chỉ khi nó là hạng tử trực tiếp của mọi nhóm lớnhơn, chứa nó nh- là một nhóm con Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R Baernghiên cứu đầu tiên vào năm 1940 Những năm sau đó, khái niệm này vàcác khái niệm mở rộng của nó đã nhận đ-ợc sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà Toán học trên thế giới Năm 1961, R E Jonhson và E T Wong([27]) đã giới thiệu khái niệm môđun tựa nội xạ Đây là một lớp môđun mởrộng của lớp môđun nội xạ Nhiều đặc tr-ng của môđun tựa nội xạ và vành

tự nội xạ cũng đã đ-ợc chỉ ra

Một lớp môđun mở rộng của lớp tựa nội xạ đ-ợc S Singh và S K Jain

([39]) đ-a ra vào năm 1967, đó là lớp môđun giả nội xạ Môđun M đ-ợc gọi là giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M , với mỗi đơn cấu từ A vào

M , đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M Các tác giả R R Hallett

([21]), S K Jain, S Singh ([26]) và M L Teply ([40]) đã đ-a ra các ví dụchứng tỏ rằng lớp môđun này là mở rộng thực sự của lớp môđun tựa nội xạ.Sau đó, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun này

và lớp vành t-ơng ứng, chẳng hạn, A K Tiwary và B M Padeya ([45]),

T Wakamatsu ([48]), P C Bharadwaj và A K Tiwary ([6]), H.Q Dinh([12]),

Năm 1982, M Harada ([22]) đ-a ra khái niệm môđun GQ-nội xạ Môđun

M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng cấu với môđun

con đóng của M , với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến

đồng cấu từ M vào M Sau đó, C S Clara và P F Smith ([11]) đ-a ra khái niệm môđun tựa c-nội xạ Môđun N đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu với mỗi môđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu từ A vào M đều có thể mở rộng đến đồng cấu từ M vào M

Ngoài ra, các lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liên tục, CS, cũng đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Y Utumi ([47]);

S K Jain, S H Mohamed ([24]), S K Jain, B J Muller ([25]); K Oshiro([35], [36]); M Harada ([22]), L V Thuyet, T C Quynh ([42]); L V Thuyet

và N Chien ([10]);

Theo h-ớng mở rộng trên, chúng tôi đ-a ra các khái niệm mở rộng củamôđun nội xạ, đó là môđun giả c-nội xạ và giả c+-nội xạ Môđun M đ-ợc

gọi là giả c-nội xạ (t.-., giả c+-nội xạ) nếu với mọi môđun con A của M ,

A đóng trong M (t.-., A đẳng cấu với môđun con đóng của M ), với mỗi

đơn cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M Các

kết quả liên quan đã đ-ợc công bố trong các bài báo [2], [37], [44] và đ-ợctrình bày trong Ch-ơng 2 của luận án Chúng tôi chứng minh đ-ợc rằng,lớp môđun giả c+-nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sự của các lớp môđungiả nội xạ và lớp môđun liên tục Đồng thời, lớp môđun giả c+-nội xạ làlớp con thực sự của lớp môđun giả c-nội xạ và lớp môđun thỏa mãn điềukiện C2 Hơn nữa, một số điều kiện đủ để môđun giả c+-nội xạ là môđunliên tục hoặc tựa nội xạ cũng đã đ-ợc chỉ ra

Một tính chất quan trọng của lớp môđun giả c+-nội xạ đó là tính nội xạt-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của chúng Trong [32], S H Mohamed

và B J Muller đã chỉ ra rằng nếu M ⊕ N là môđun liên tục thì M là N -nội

xạ Tác giả H Q Dinh ([12]) cũng đã chứng minh đ-ợc kết quả t-ơng tự

đối với tr-ờng hợp M ⊕ N là giả nội xạ Kết quả trên vẫn đúng đối với

môđun giả c+-nội xạ, tuy nhiên các ph-ơng pháp chứng minh của các tácgiả trên không áp dụng đ-ợc đối với tr-ờng hợp này:

Định lý 2.2.11 Nếu M ⊕ N là giả c+-nội xạ thì M là N -nội xạ.

Tính chất quan trọng tiếp theo của lớp môđun giả c+-nội xạ đó là chínhquy của vành th-ơng của vành các tự đồng cấu của chúng Đây là kết quả

mở rộng kết quả đối với môđun liên tục của Y Utumi:

Định lý 2.2.21 Cho M là môđun giả c+-nội xạ và S = End(M ) Khi

đó S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và J (S) = ∆(S) = {s ∈ S| Ker s ≤ e M }.

Từ đó, chúng tôi đ-a ra các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius Định lý

Faith-Walker chỉ ra rằng, nếu mọi R-môđun phải xạ ảnh là nội xạ thì R là

vành tựa Frobenius Ngoài ra, C Faith ([16]) cũng đã chứng minh rằng nếu

R(N)R là nội xạ (nghĩa là R là P

-nội xạ đếm đ-ợc phải) thì R là vành tựa

Frobenius Trong [23], tác giả D V Huynh cũng đã chứng minh rằng, nếu

R là vành tựa liên tục phải, P

-CS đếm đ-ợc phải và nửa hoàn chỉnh thì R

là vành tựa Frobenius Chúng tôi đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông quavành giả c+-nội xạ và giảm nhẹ điều kiện trong định lý Faith-Walker và kếtquả của C Faith ([16]):

Định lý 2.2.20 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

Một đặc tr-ng khác của vành tựa Frobenius đ-ợc W K Nicholson và

M F Yousif chứng minh trong [34], vành R là tựa Frobenius khi và chỉ khi

R là vành liên tục phải, min-CS trái và thoả mãn điều kiện ACC trên các

linh hoá tử phải Chúng tôi giảm nhẹ điều kiện vành liên tục phải bởi điềukiện giả c+-nội xạ phải và thêm điều kiện min-CS phải trong kết quả củahai tác giả trên Cụ thể:

Định lý 2.2.33 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là giả c+-nội xạ phải, min-CS hai phía và thoả mãn điều kiện ACC trên các linh hoá tử phải.

Kết quả trong Ch-ơng 2 cũng chỉ ra rằng, nếu R là vành giả c+-nội xạ

phải và CS phải thì R là vành liên tục phải Tuy nhiên, chúng tôi ch-a có

câu trả lời cho câu hỏi "vành giả c+-nội xạ phải và min-CS phải có là vànhliên tục phải hay không?" Ngoài các kết quả trên, chúng tôi đ-a ra các đặctr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ và giả c+-nội

xạ Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải giả c-nội xạ là nội xạ, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải có hệ sinh đếm đ-ợc là giả

c+-nội xạ Đây là kết quả mở rộng kết quả của B Osofsky "vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ".

Nh- đã nêu ở trên, một đặc tr-ng quan trọng của vành QF là mọi môđunnội xạ là xạ ảnh và mọi môđun xạ ảnh là nội xạ Vì vậy, ta xét đến kháiniệm đối ngẫu của môđun nội xạ, đó là môđun xạ ảnh Khái niệm này đ-ợc

H Cartan và S Eilenberg đ-a ra vào năm 1956 Sau đó, các khái niệm mởrộng của nó cũng đã đ-ợc các tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđuntựa xạ ảnh, môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện

D1, D2, D3, Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé trong M , ký hiệu là

N  M , nếu N + L = M thì L = M Môđun P đ-ợc gọi là phủ xạ ảnh

của môđun M nếu P là xạ ảnh và tồn tại toàn cấu f : P → M sao cho Ker f  P Ta biết rằng không phải mọi môđun đều có phủ xạ ảnh, vì vậy,

H Bass ([5]) đã gọi vành R là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều

có phủ xạ ảnh Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh thì vành R đ-ợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh Sau đó, năm 1966, F Kasch và

E A Mares ([28]) đã chuyển khái niệm này sang môđun và đặc tr-ng vànhhoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh thông qua môđun có phần phụ (supplemented)

M đ-ợc gọi là môđun có tính chất mọi môđun con đều có phần phụ, đ-ợc gọi tắt là môđun có phần phụ, nếu mọi môđun con N của M , tồn tại L sao cho N + L = M và N ∩ L  L Các tác giả trong [28] đã chỉ ra rằng vành

R là hoàn chỉnh phải (t.-., nửa hoàn chỉnh) nếu mọi R-môđun (t.-., hữu hạn sinh) là môđun có phần phụ, đồng thời vành R là nửa hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu R R là môđun có phần phụ Ngoài ra, I Al-Khazzi và P F Smith

([3]) đã chứng minh rằng, môđun M là Artin khi và chỉ khi M là môđun

có phần phụ và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con phần phụ vàmôđun con bé

Mở rộng khái niệm môđun con bé, trong [51], Y Zhou giới thiệu khái

niệm môđun con δ-bé Môđun con N của M đ-ợc gọi là δ-bé trong M , ký hiệu là N  δ M , nếu N + L = M với M/L suy biến thì L = M Từ đó tác

giả này cũng đã đ-a ra tr-ờng hợp mở rộng của vành hoàn chỉnh (t.- nửa

hoàn chỉnh) đó là vành δ-hoàn chỉnh (t.-., δ-nửa hoàn chỉnh) Sau đó, năm

2007, M T Kosan ([29]) đã đ-a ra khái niệm môđun δ-nâng (δ-lifting) và môđun có δ-phần phụ (δ-supplemented), đồng thời đặc tr-ng vành δ-hoàn chỉnh, δ-nửa hoàn chỉnh thông qua các lớp môđun này Cụ thể, vành R là δ-hoàn chỉnh phải (t.-., δ-nửa hoàn chỉnh) khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (t.-., hữu hạn sinh) xạ ảnh là δ-nâng, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (t.-., hữu hạn sinh) xạ ảnh là môđun có δ-phần phụ Trong [49], Y Wang tiếp tục khảo sát về lớp môđun có δ-phần phụ, đồng thời chứng minh rằng môđun

M là Artin khi và chỉ khi M là môđun có δ-phần phụ nhiều và thỏa mãn

điều kiện DCC trên các môđun con δ-phần phụ và môđun con δ-bé Một lớp con của lớp môđun có δ-phần phụ cũng đã đ-ợc các tác giả E Buyukasik

và C Lomp ([7]) khảo sát, đó là lớp môđun δ-địa ph-ơng Đồng thời các tác giả trong [7] đã đ-a ra các điều kiện đủ để một môđun có δ-phần phụ là môđun có phần phụ, vành δ-nửa hoàn chỉnh là nửa hoàn chỉnh Năm 2013,

R Tribak ([46]) tiếp tục khảo sát lớp môđun δ-địa ph-ơng và cũng đã đặc tr-ng vành δ-nửa hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun

này

Năm 2011, D X Zhou và X R Zhang ([53]) đã đ-a ra khái niệm mở

rộng khái niệm môđun con δ-bé, đó là môđun con bé cốt yếu (essentially small) Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé cốt yếu trong M , ký hiệu là

N  e M , nếu N + L = M với L ≤ e M thì L = M Theo đó, chúng tôi đ-a ra khái niệm môđun có phần phụ cốt yếu Môđun M đ-ợc gọi là

có phần phụ cốt yếu nếu mọi môđun con N của M , tồn tại môđun con L sao cho M = N + L và N ∩ L  e L Các lớp con của lớp môđun có

phần phụ cốt yếu cũng đã đ-ợc đề xuất và khảo sát, đó là các lớp môđun

nâng cốt yếu, địa ph-ơng cốt yếu Môđun M đ-ợc gọi là nâng cốt yếu nếu với mỗi môđun con N của M , tồn tại sự phân tích M = A ⊕ B sao cho A ≤ N và N ∩ B  e M Môđun M đ-ợc gọi là địa ph-ơng cốt yếu

thực sự của lớp môđun δ-nâng, lớp môđun địa ph-ơng cốt yếu chứa lớp các

môđun địa ph-ơng mà không là môđun đơn Bên cạnh đó, chúng tôi chứngminh đ-ợc rằng, tổng trực tiếp của một môđun địa ph-ơng cốt yếu với mộtmôđun nửa đơn là môđun địa ph-ơng cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu

là tổng trực tiếp của một môđun cyclic, địa ph-ơng cốt yếu với một môđun

nửa đơn Một đặc tr-ng quan trọng của môđun địa ph-ơng cốt yếu M đó

là M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực

sự, cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại Cụ thể:

Định lý 3.2.10 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M :

(1) M là môđun địa ph-ơng cốt yếu;

(2) Rad e (M ) là môđun con cực đại của M và mỗi môđun con thực sự, cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại;

(3) M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực

sự, cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại.

Từ tính nửa đơn của môđun M/ Rad e (M ), trong đó M là môđun có

phần phụ cốt yếu và đặc tr-ng Artin của môđun Rade (M ) thông qua điều

kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu, chúng tôi chỉ ra một đặc

tr-ng Artin của môđun M :

Định lý 3.3.7 Cho M là một môđun Khi đó M là Artin khi và chỉ khi M

là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con phần phụ cốt yếu và môđun con bé cốt yếu.

Ngoài ra, một số điều kiện đủ để một môđun là môđun có phần phụ cốtyếu nhiều (amply e-supplemented) cũng đã đ-ợc chỉ ra Chẳng hạn, môđun

có phần phụ cốt yếu và π-xạ ảnh là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều; môđun M hữu hạn sinh và mọi môđun con cyclic của M là môđun có phần phụ thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều;

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các ký hiệu và khái niệm cơ bản.

Cho N là môđun con của M Môđun con N đ-ợc gọi là cốt yếu (hay môđun con lớn) trong M , ký hiệu là N ≤ e M , nếu N ∩ A 6= 0 với mọi môđun con A khác không của M Môđun con K của M đ-ợc gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự, nghĩa là, nếu L là một môđun con của M sao cho K ≤ e L thì K = L Môđun con H của M

đ-ợc gọi là phần bù của N trong M nếu H là môđun con lớn nhất trong các môđun con Q của M thoả mãn tính chất Q ∩ N = 0 ([13, 1.10]) Sau

đây là một số tính chất của môđun con đóng:

Bổ đề 1.1.1 ([13, 1.10]) Cho L, K, N là các môđun con của môđun M và

K ≤ L Khi đó ta có:

(1) Tồn tại môđun con đóng H của M sao cho N ≤ e H

(2) Môđun con K đóng trong M khi và chỉ khi với Q ≤ e M, K ≤ Q thì Q/K ≤ e M/K

(3) Nếu L đóng trong M thì L/K đóng trong M/K.

(4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M

(5) Giả sử N là phần bù của K Khi đó K đóng trong M khi và chỉ khi

K là phần bù của N trong M

Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé (hay đối cốt yếu) trong M nếu với mọi L ≤ M, N + L = M thì L = M Môđun con N của M đ-ợc gọi là

môđun con cực tiểu nếu N 6= 0 và N không chứa thực sự bất kỳ môđun con khác không nào của M Môđun con L của M đ-ợc gọi là môđun con cực

đại nếu L 6= M và L không thực sự chứa trong bất kỳ môđun con thực sự nào của M

Môđun con Rad(M ) = P

{N ≤ M |N  M } đ-ợc gọi là căn của môđun M Đế của môđun M đ-ợc ký hiệu là Soc(M ) và đ-ợc xác định bởi Soc(M ) = T

{N ≤ M |N ≤ e M } Đối với vành R, ta có Rad(R R) =Rad(R R), vì vậy căn của vành R đ-ợc ký hiệu là J (R) = Rad(R R)

Với R-môđun M cho tr-ớc và X ⊂ M , linh hoá tử phải của X trong

R đ-ợc ký hiệu là r R (X) và đ-ợc xác định bởi r R (X) = {r ∈ R| xr =

0 với mọi x ∈ X} Linh hoá tử trái đ-ợc định nghĩa hoàn toàn t-ơng

tự và ký hiệu là l R (X) Nếu không sợ nhầm lẫn về vành R, linh hoá

tử phải và trái của X trong R có thể viết gọn là r(X), l(X) Ký hiệu Z(M ) = {m ∈ M |r R (m) ≤ e R} là môđun con suy biến của M , nếu

M = Z(M ) thì M đ-ợc gọi là môđun suy biến Nếu Z(M ) = 0 thì M

đ-ợc gọi là môđun không suy biến

Môđun M khác không đ-ợc gọi là đều (uniform) nếu bất kỳ hai môđun con khác không của M đều có giao khác không, nghĩa là mọi môđun con khác không đều cốt yếu trong M Môđun M đ-ợc gọi là có chiều đều (hay chiều Goldie) là n, ký hiệu là u dim M = n, nếu tồn tại môđun con V cốt yếu trong M sao cho V là tổng trực tiếp của n môđun con đều Ng-ợc lại,

ta viết u.dim M = ∞ Môđun M đ-ợc gọi là không phân tích đ-ợc nếu M

là môđun khác không và M không là tổng trực tiếp của các môđun con khác không Môđun M khác không đ-ợc gọi là đơn nếu M chỉ có hai môđun con tầm th-ờng là 0 và M Môđun M đ-ợc gọi là nửa đơn nếu M là tổng

trực tiếp của các môđun đơn

Định nghĩa 1.1.1 Cho L là tập các môđun con nào đó của môđun M

i) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu với mọi dãy L1 ≤ L2 ≤ ã ã ã ≤ L n ≤ trong L, tồn tại n ∈ N sao cho

Định nghĩa 1.1.2 Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là chính quy nếu tồn

tại phần tử x ∈ R sao cho axa = a Vành R đ-ợc gọi là chính quy Von Neumann nếu mọi phần tử của R là chính quy Vành R đ-ợc gọi là nửa chính quy nếu R/J (R) là vành chính quy Von Neumann và các luỹ đẳng nâng đ-ợc modulo J (R).

Tập con I của R đ-ợc gọi là T -lũy linh trái (t.-., phải) nếu mọi dãy

a1, a2, trong I, tồn tại n sao cho a1.a2 a n = 0 (t -., a n a2.a1 = 0)

I đ-ợc gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho I n = 0

Định nghĩa 1.1.3 Vành R đ-ợc gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J (R) là nửa

đơn và J (R) là lũy linh Vành R đ-ợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J (R)

là nửa đơn và các lũy đẳng nâng đ-ợc modulo J (R) Vành R đ-ợc gọi là hoàn chỉnh trái (t.-., phải) nếu R/J (R) là nửa đơn và J (R) là T -lũy linh

trái (t.-., phải)

Theo định nghĩa, vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải.Vành hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành nửa hoàn chỉnh

1.2 Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.2.1 Cho M, N là các R-môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ nếu

với mọi môđun con A của N , với mỗi đồng cấu từ f : A → M , tồn tại mở rộng của f từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi là nội xạ nếu M là N nội xạ với mọi môđun N Môđun M đ-ợc gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ Vành R đ-ợc gọi là tự nội xạ phải (t.-., trái) nếu R R (t.-., R R) là môđun

tựa nội xạ

Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi

iđêan phải I của R và đồng cấu β : I → M , tồn tại đồng cấu f : R R → M

là mở rộng của β.

Theo định nghĩa, môđun M là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun

N Tiêu chuẩn Baer chỉ ra rằng, R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là R-nội xạ Hơn nữa, khái niệm vành nội xạ và vành tự nội xạ là trùng nhau.

Sau đây là một số khái niệm mở rộng của môđun nội xạ:

Định nghĩa 1.2.2 ([39]) Cho M và N là hai R-môđun M đ-ợc gọi là giả

N -nội xạ nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đơn cấu từ A vào M ,

đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi là giả nội xạ nếu M là giả M -nội xạ.

Định nghĩa 1.2.3 ([32]) Cho M là R-môđun.

i) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C1 (hay M là môđun CS) nếu mỗi môđun con A của M , A cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

ii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C2 nếu mỗi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M

iii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C3 nếu với A, B là hai hạng tử

trực tiếp của M , A ∩ B = 0 thì A ⊕ B là hạng tử trực tiếp của M

iv) M đ-ợc gọi là liên tục (t.-., tựa liên tục) nếu M là CS và thoả điều

kiện C2 (t.-., C3)

Từ định nghĩa ta thấy, nếu môđun M là tựa nội xạ thì M là giả nội xạ.

Các tác giả R R Hallett ([21]), K S Jain, S Singh ([26]) và M L Teply([40]) đã chỉ ra rằng, lớp môđun giả nội xạ là mở rộng thực sự của lớpmôđun tựa nội xạ Trong [12], Q H Dinh đã chứng minh rằng lớp môđungiả nội xạ là lớp con của lớp các môđun thỏa mãn điều kiện C2

Định lý 1.2.2 ([12, Theorem 2.6]) Nếu M là giả nội xạ thì M thoả mãn

Ngoài các lớp môđun trên, các lớp môđun sau cũng là các tr-ờng hợp

mở rộng của môđun nội xạ:

Định nghĩa 1.2.4 Cho M, N là các R-môđun.

i) Môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ đơn nếu với mọi môđun con A của

N , với mỗi đồng cấu f : A → M sao cho f (A) là môđun con đơn, tồn tại

đồng cấu từ N vào M là mở rộng của f Vành R đ-ợc gọi là nội xạ đơn phải (t.-., trái) nếu R R (t.-., R R) là R-nội xạ đơn ([34]).

ii) Môđun M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng

cấu với môđun con đóng của M , với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M ([22]).

iii) Môđun N đ-ợc gọi là M -c-nội xạ nếu với mỗi môđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu từ A vào N đều có thể mở rộng đến đồng cấu từ

M vào N Môđun M đ-ợc gọi là c-nội xạ nếu M là N -c-nội xạ với mọi môđun N Môđun M đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu M là M -c-nội xạ ([11]).

Sau đây là tính nội xạ t-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của môđun giảnội xạ và môđun tựa liên tục:

Mệnh đề 1.2.3 ([12, Theorem 2.2]) Nếu M = K ⊕ N là giả nội xạ thì K

Mệnh đề 1.2.5 ([32, Corollary 1.19]) Môđun ⊕ n i=1 M i là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là M j -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, , n Đặc biệt, M n là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ.

Định lý 1.2.6 ([32, Theorem 2.13]) Cho {M i : i ∈ I} là họ các môđun tựa liên tục Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) M = ⊕ i∈I M i là tựa liên tục;

(2) ⊕ i∈I\j M i là M j -nội xạ.

Đối với vành tự đồng cấu S của môđun liên tục M , tác giả Y Utumi đã chỉ ra rằng S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và liên tục phải Hơn nữa, S là vành nửa chính quy:

Định lý 1.2.7 ([34, Theorem 1.25]) Cho M là R-môđun phải liên tục Khi

đó

(1) S là nửa chính quy và J (S) = {α ∈ S| Ker α ≤ e M },

(2) S/J (S) là liên tục phải.

1.3 Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.3.1 ([32]) Cho M, P là các R-môđun:

i) Môđun P đ-ợc gọi là M -xạ ảnh nếu với mọi môđun N và mọi toàn cấu α : M → N , với mọi đồng cấu β : P → N , tồn tại đồng cấu f : P → M sao cho β = αf

ii) Môđun P đ-ợc gọi là xạ ảnh nếu P là M -xạ ảnh với mọi môđun M Môđun P đ-ợc gọi là tựa xạ ảnh nếu P là P -xạ ảnh.

Sau đây là một số tính chất của môđun xạ ảnh:

Mệnh đề 1.3.1 ([32, Proposition 4.31]) Cho P là M -xạ ảnh Nếu A ≤ M

thì P là A-xạ ảnh và M/A-xạ ảnh.

Mệnh đề 1.3.2 ([32, Lemma 4.32]) Cho P = ⊕ i∈I A i Khi đó, P là M -xạ

ảnh khi và chỉ khi A i là M -xạ ảnh với mọi i ∈ I.

Mệnh đề 1.3.3 ([32, Proposition 4.33]) Môđun P là (⊕ n i=1 A i)-xạ ảnh (n ∈ N) khi và chỉ khi P là A i -xạ ảnh với mọi i = 1, 2, , n.

Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện D1 (hay M là môđun nâng) nếu mỗi môđun con N của M , tồn tại sự phân tích M = A ⊕ B sao cho

A ≤ N và N ∩ B  B Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện D2 nếu mỗi môđun con N của M , M/N đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì

N là hạng tử trực tiếp của M Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện D3 nếu với A, B là hai hạng tử trực tiếp của M , A + B = M thì A ∩ B

là hạng tử trực tiếp của M Môđun M đ-ợc gọi là rời rạc (t.-., tựa rời rạc) nếu M thoả mãn điều kiện D1 và D2 (t.-., D1 và D3) Môđun con L đ-ợc gọi là phần phụ của N ≤ M nếu L + N = M và N ∩ L  L M đ-ợc

gọi là môđun có tính chất mọi môđun con đều có phần phụ (supplemented),

đ-ợc gọi tắt là môđun có phần phụ, nếu mọi môđun con N của M , tồn tại

L là phần phụ của N trong M

Sơ đồ sau thể hiện mối quan hệ giữa lớp môđun xạ ảnh và một số lớpmôđun mở rộng khác:

rời rạc → tựa rời rạc → D1 → có phần phụ

Nhận xét 1.3.2 Môđun tựa xạ ảnh ch-a hẳn là môđun rời rạc Thật vậy,

xét Z-môđun Z Khi đó, Z là môđun xạ ảnh và không thỏa mãn điều kiện

D1 Nh- vậy Z là môđun tựa xạ ảnh và không là rời rạc.

Mở rộng khái niệm môđun con bé, Y Zhou đã đ-a ra khái niệm môđun

δ-bé và một số khái niệm liên quan Môđun con N của M đ-ợc gọi là δ-bé trong M , ký hiệu là N  δ M , nếu N + L = M với M/L suy biến thì

L = M Môđun P đ-ợc gọi là δ-phủ xạ ảnh của môđun M nếu P là xạ

ảnh và tồn tại toàn cấu f : P → M sao cho Ker f  δ P Vành R đ-ợc gọi

là δ-hoàn chỉnh (t.-., δ-nửa hoàn chỉnh) nếu mọi R-môđun (t.-., hữu hạn sinh) đều có δ-phủ xạ ảnh ([52]) Sau đó, T M Kosan giới thiệu khái niệm

môđun δ-nâng và môđun có δ-phần phụ, đồng thời đặc tr-ng vành δ-hoàn chỉnh và δ-nửa hoàn chỉnh thông qua hai lớp môđun này:

Định nghĩa 1.3.3 ([29]) Cho M là R-môđun và N ≤ M

i) Môđun con L đ-ợc gọi là δ-phần phụ của N trong M nếu M = N + L

và N ∩ L  δ L.

ii) M đ-ợc gọi là môđun δ-nâng (δ-lifting) nếu với mỗi môđun con N của M , tồn tại sự phân tích M = A ⊕ B sao cho A ≤ N và B ∩ N  δ M iii) Môđun M có tính chất mọi môđun con đều có δ-phần phụ, đ-ợc gọi tắt là môđun có δ-phần phụ (δ-supplemented), nếu mọi môđun con N của

M tồn tại L ≤ M sao cho L là δ-phần phụ của N trong M

Định lý 1.3.4 ([29, Theorem 1.1]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R:

(1) R là δ-hoàn chỉnh (t.-., δ-nửa hoàn chỉnh);

(2) Mọi R-môđun (t.-., hữu hạn sinh) là có δ-phần phụ;

(3) Mọi R-môđun xạ ảnh (t.-., hữu hạn sinh và xạ ảnh) là có δ-phần phụ; (4) Mọi R-môđun xạ ảnh (t.-., hữu hạn sinh và xạ ảnh) là δ-nâng.

Các tác giả trong [46] và [7] tiếp tục nghiên cứu lớp môđun có δ-phần phụ và khảo sát các lớp con của nó, đó là các lớp môđun có δ-phần phụ nhiều và môđun δ-địa ph-ơng Từ đó, R Tribak ([46]) chỉ ra một đặc tr-ng của vành nửa hoàn chỉnh thông qua môđun δ-địa ph-ơng:

Định nghĩa 1.3.4 i) M đ-ợc gọi là môđun có δ-phần phụ nhiều (amply

δ-supplemented) nếu mỗi môđun con A, B của M sao cho A + B = M , tồn tại δ-phần phụ P của A sao cho P ≤ B ([46]).

ii) Môđun M đ-ợc gọi là δ-địa ph-ơng nếu δ(M ) = P

{N ≤ M |N  δ

M } là môđun con cực đại của M và δ(M )  δ M ([7]).

Mệnh đề 1.3.5 ([46, Proposition 2.3]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng

đối với vành R:

(1) R là nửa hoàn chỉnh;

(2) R/J (R) là nửa đơn, R R là tổng hữu hạn các môđun con đơn và δ-địa ph-ơng.

Các lớp môđun δ-nâng và môđun có δ-phần phụ là các lớp mở rộng

thực sự của môđun nâng và môđun có phần phụ (t-ơng ứng) Tuy nhiên,trong [7], các tác giả đã chỉ ra các ví dụ chứng tỏ hai lớp môđun địa ph-ơng

và môđun δ-địa ph-ơng là không chứa nhau Sau đây là các đặc tr-ng của môđun δ-địa ph-ơng:

Mệnh đề 1.3.6 ([46, Proposition 2.17]) Cho M = N ⊕ K là một môđun.

Các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:

(1) M là δ-địa ph-ơng;

(2) a) N là δ-địa ph-ơng, K là nửa đơn và xạ ảnh, hoặc (b) K là δ-địa ph-ơng, N là nửa đơn và xạ ảnh.

Mệnh đề 1.3.7 ([46, Proposition 2.19]) Cho M là một môđun Khi đó,

các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) M là δ-địa ph-ơng;

(2) M = L ⊕ N sao cho L là môđun cyclic, δ-địa ph-ơng và N là nửa

đơn, xạ ảnh.

Các đặc tr-ng Artin của môđun Rad(M ) và δ(M ) thông qua điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé và δ-bé đã đ-ợc I Al-Khazzi, P F Smith

và Y Wang chứng minh:

Định lý 1.3.8 ([3, Theorem 5]) Cho M là một môđun Khi đó Rad(M ) là

Artin khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé.

Định lý 1.3.9 ([50, Theorem 2.5]) Cho M là một môđun Khi đó δ(M ) là

Artin khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con δ-bé.

Từ đó, các tác giả trên đã đ-a ra các đặc tr-ng của môđun Artin thông

qua môđun con bé và môđun con δ-bé:

Định lý 1.3.10 ([3, Theorem 7]) Cho M là một môđun Khi đó M là Artin

khi và chỉ khi M là môđun có phần phụ và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con phần phụ và môđun con bé.

Định lý 1.3.11 ([50, Theorem 3.10]) Cho M là một môđun Khi đó M là

Artin khi và chỉ khi M là môđun có δ-phần phụ nhiều và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con δ-phần phụ và môđun con δ-bé.

1.4 Môđun và vành Artin, Nơte.

Định nghĩa 1.4.1 i) Môđun M đ-ợc gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các

môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.

ii) Môđun M đ-ợc gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.

iii) Vành R đ-ợc gọi là Nơte phải (t.-., trái) nếu môđun R R (t.-., R R)

là Nơte

iv) Vành R đ-ợc gọi là Artin phải (t.-., trái) nếu môđun R R (t.-., R R)

là Artin

Môđun M đ-ợc gọi là hữu hạn sinh nếu M có tập sinh hữu hạn Môđun

M đ-ợc gọi là hữu hạn đối sinh nếu với mọi A là tập các môđun con nào

Sau đây là một số đặc tr-ng của môđun Artin và Nơte:

Định lý 1.4.1 ([1, Định lý 1.1.3, trang 72]) Cho M là một môđun và

A ≤ M

(I) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) M là Artin;

(2) A và M/A là Artin;

(3) M thoả mãn điều kiện DCC đối với tập các môđun con;

(4) Mỗi môđun th-ơng của môđun M hữu hạn đối sinh;

(5) Trong tập {A i , i ∈ I} 6= ∅ các môđun con của môđun M tồn tại tập con hữu hạn {A i , i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊆ I hữu hạn) sao cho

(4) Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh;

(5) Trong tập {A i , i ∈ I} 6= ∅ các môđun con của môđun M tồn tại tập con hữu hạn {A i , i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊆ I hữu hạn) sao cho

Định lý 1.4.2 ([50, 31.3]) Cho M là môđun nửa đơn Các điều kiện sau là

Định lý 1.4.3 ([31, Therem 3.46]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là Nơte phải;

(2) Tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ là nội xạ;

(3) Tổng trực tiếp đếm đ-ợc các R-môđun phải nội xạ là nội xạ.

Vành R đ-ợc gọi là J -nửa đơn nếu J (R) = 0 Vành R đ-ợc gọi là nửa đơn nếu R R là môđun nửa đơn Trong [31], T Y Lam đã chứng minh

rằng, vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành Artin phải (hoặc trái)

và J (R) = 0 Để tránh nhầm lẫn với vành J -nửa đơn, ng-ời ta th-ờng gọi vành nửa đơn là vành Artin nửa đơn Ta biết rằng, R là vành Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải là nội xạ Hơn nữa, B Osofsky đã chứng minh rằng, nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ thì R là vành

Artin nửa đơn

Định lý 1.4.4 ([30, Theorem 2.9]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là Artin nửa đơn;

(2) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ;

(3) Mỗi R-môđun phải cyclic là nội xạ.

1.5 Vành tựa Frobenius.

Định nghĩa 1.5.1 ([34]) Vành R đ-ợc gọi là tựa Frobenius nếu R là vành

tự nội xạ hai phía và Artin hai phía

Sau đây là một đặc tr-ng quan trọng của vành tựa Frobenius (Định lýFaith-Walker):

Định lý 1.5.1 ([34, Theorem 7.56]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) Mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ ảnh;

(3) Mọi R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ.

Việc tìm các điều kiện đủ, giảm nhẹ các điều kiện tự nội xạ hai phía vàArtin hai phía để đặc tr-ng cho vành tựa Frobenius thông qua các lớp vành

mở rộng của vành tự nội xạ đã đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu Chẳng hạn,

năm 1951, M Ikeda đã chứng minh rằng nếu vành R tự nội xạ một phía và Artin (hoặc Nơte) một phía thì R là vành tựa Frobenius.

Định lý 1.5.2 ([34, Theorem 1.50]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Artin phải (hoặc trái);

(3) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Nơte phải (hoặc trái).

Sau đó, năm 1965, Y Utumi ([47]) đặc tr-ng vành tựa Frobenius thôngqua vành tiên tục:

Định lý 1.5.3 ([47, Theorem 7.10]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là liên tục hai phía và Artin hai phía.

Năm 1966, C Faith đã mở rộng kết quả của M Ikeda, giảm nhẹ điềukiện đặc tr-ng cho vành tựa Frobenius đ-ợc nêu trong Định lý 1.5.2:

Định lý 1.5.4 ([34, Theorem 1.50]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và thoả điều kiện ACC trên các linh hoá tử phải (hoặc trái);

(3) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và thoả điều kiện DCC trên các linh hoá tử phải (hoặc trái).

Các tác giả B Osofsky, W K Nicholson và M F Yousif cũng đã đặctr-ng vành tựa Frobenius thông qua vành hoàn chỉnh trái và vành nội xạ đơnhai phía:

Định lý 1.5.5 ([34, Theorem 6.39]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

với vành R đã cho:

(1) R là tựa Frobenius;

(2) R là tự nội xạ hai phía và hoàn chỉnh trái;

(3) R là nội xạ đơn hai phía và hoàn chỉnh trái.

Một đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành liên tục và

min-CS, mở rộng kết quả của Y Utumi (Định lý 1.5.3) và của C Faith (Định lý1.5.4), đã đ-ợc W K Nicholson và M F Yousif chứng minh:

Định nghĩa 1.5.2 ([34]) Cho vành R và M là R-môđun.

i) Môđun M đ-ợc gọi là min-CS nếu mọi môđun con đơn của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

ii) Vành R đ-ợc gọi là min-CS phải (t.-., trái) nếu R R (t.-., R R) là

min-CS

Nhận xét 1.5.3 Nếu M là môđun CS thì M là môđun min-CS Điều ng-ợc

lại không đúng Chẳng hạn, xét R = Z4 Z4

0 Z4

!

, khi đó R R là min-CSnh-ng không là CS ([34, trang 86])

Định lý 1.5.6 ([34, Theorem 4.22]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối

Định lý 1.5.7 ([9, Theorem 1]) Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với

Trong đó, vành R đ-ợc gọi là P

-nội xạ đếm đ-ợc phải nếu R(N)R là nộixạ ([16])

Ch-ơng 2 môđun và vành giả C+-nội xạ

Nội dung của ch-ơng này là các kết quả liên quan đến môđun giả c-nộixạ và giả c+-nội xạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun giả c-nộixạ, giả c+-nội xạ và một số lớp môđun mở rộng khác của môđun nội xạ cóliên quan đã đ-ợc chỉ ra Các kết quả quan trọng trong ch-ơng này đó là các

đặc tr-ng của môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, môđun liên tục; đặc tr-ngcủa vành Artin nửa đơn thông qua tính chất giả c-nội xạ và giả c+-nội xạ;tính chính quy của vành th-ơng của vành tự đồng cấu của môđun giả c+-nộixạ và các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+-nội xạ

2.1 Môđun giả c-nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất củamôđun giả c-nội xạ Các tính chất cơ bản của lớp môđun này đ-ợc chứngminh trong Mệnh đề 2.1.3 và Mệnh đề 2.1.5 Kết quả chính trong phần này

đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ đ-ợcchứng minh ở Định lý 2.1.6

Định nghĩa 2.1.1 Cho M, N là hai R-môđun N đ-ợc gọi là giả M -c-nội

xạ nếu với mọi môđun con đóng A của M , mỗi đơn cấu từ A vào N đều

mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào N Môđun M đ-ợc gọi là giả c-nội xạ nếu M là giả M -c-nội xạ Vành R đ-ợc gọi là giả c-nội xạ phải (t.-., trái) nếu R R (t.-., R R) là giả c-nội xạ.

Nhận xét 2.1.2 Từ định nghĩa suy ra:

(1) Mọi môđun tựa c-nội xạ hoặc giả nội xạ là giả c-nội xạ

(2) Mọi môđun CS là giả c-nội xạ

Nhắc lại rằng, môđun con A của M đ-ợc gọi là bất biến hoàn toàn nếu

f (A) ≤ A với mọi f ∈ End(M ) Bổ đề sau đây là những tính chất cơ bản

của tính giả c-nội xạ:

Bổ đề 2.1.1 Cho M, N là hai R-môđun Khi đó, ta có:

(1) Nếu N là giả M -c-nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N thì A là giả

(4) Giả sử M ∼ = M 0 và N ∼ = N 0 Khi đó, nếu N là giả M -c-nội xạ thì N

là giả M 0 -c-nội xạ và N 0 là giả M 0 -c-nội xạ.

Chứng minh (1) Giả sử N = A ⊕ B, N là giả M -c-nội xạ, K là môđun con đóng của M và f : K → A là đơn cấu Khi đó, tồn tại đồng cấu

g : M → N là mở rộng của f Đặt ϕ = π A ◦ g với π A : N → A là toàn cấu chính tắc Ta có ϕ là đồng cấu từ M vào A Vì g(k) = f (k) ∈ A với mọi k ∈ K nên ϕ(k) = g(k) = f (k) với mọi k ∈ K Do đó ϕ : M → A là

đồng cấu mở rộng của f Vậy A là giả M -c-nội xạ.

(2) Giả sử K là môđun con đóng của B và f : K → N là đơn cấu Ta có

K là môđun con đóng của M Theo giả thiết, tồn tại đồng cấu g : M → N

là mở rộng của f Khi đó g | B : B → N là mở rộng của f

(3) Giả sử K là môđun con đóng của A và f : K → A là đơn cấu.

Ta có K là môđun con đóng của M Theo giả thiết, tồn tại đồng cấu

g : M → M là mở rộng của f Vì A bất biến hoàn toàn nên g(A) ≤ A Khi đó g | A : A → A là mở rộng của f

(4) Giả sử K là môđun con đóng của M 0 và f : K → N là đơn cấu Gọi ϕ : M 0 → M, ψ : N 0 → N là các đẳng cấu Ta có ϕ(K) đóng trong

M và ψf : K → N là đơn cấu Đặt g = ψ f ϕ −1 |ϕ(K) : ϕ(K) → N Theo giả thiết, tồn tại h : M → N là mở rộng của g Khi đó ψ −1 hϕ : M 0 → N 0

là mở rộng của f Thật vậy, với mỗi k ∈ K, (ψ −1 hϕ)(k) = ψ −1 (hϕ(k)) =

ψ −1 (gϕ(k)) = ψ −1 (ψf (k)) = f (k).

Từ Bổ đề 2.1.1, ta có:

Hệ quả 2.1.2 Cho M là môđun giả c-nội xạ Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là giả c-nội xạ.

(2) Nếu N ∼ = M thì N là giả c-nội xạ.

Mệnh đề 2.1.3 Môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi R-môđun là giả M

-c-nội xạ.

Chứng minh (⇒) Điều này là rõ ràng vì mọi môđun con đóng của môđun

CS M là hạng tử trực tiếp của M

(⇐) Giả sử K là môđun con đóng của M Theo giả thiết, K là giả

M -c-nội xạ nên tồn tại đồng cấu f : M → K là mở rộng của đơn cấu

(2) Với mỗi môđun con K của X sao cho π M (K) là môđun con đóng của

M và K ∩ M = K ∩ N = 0, tồn tại C ≤ X sao cho K ≤ C và

X = N ⊕ C

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử K là môđun con của X sao cho K ∩ M =

K ∩ N = 0 và π M (K) là môđun con đóng của M Ta có N ⊕ K =

N ⊕ π M (K) Với mỗi k ∈ K, k = m + n, với m ∈ M, n ∈ N Gọi

ϕ : π M (K) → π N (K) là đồng cấu xác định bởi ϕ(m) = n Có thể kiểm tra đ-ợc rằng ϕ là đơn cấu Vì N là giả M -c-nội xạ nên tồn tại đồng cấu ψ : M → N là mở rộng của ϕ Đặt C = {m + ψ(m)|m ∈ M } Khi đó X = N ⊕ C và K ≤ C Thật vậy, với mỗi x ∈ X, ta có x =

(2) ⇒ (1) Giả sử A là môđun con đóng của M và ϕ : A → N là

đơn cấu Đặt K = {a − ϕ(a)|a ∈ A} Rõ ràng π M (K) = A Hơn nữa,

K ∩ M = K ∩ N = 0 Thật vậy, nếu a − ϕ(a) ∈ M ∩ K với a ∈ A thì ϕ(a) = a − (a − ϕ(a)) ∈ M , do đó ϕ(a) = 0 hay a = 0 T-ơng tự nếu

a − ϕ(a) ∈ N ∩ K với a ∈ A thì a = ϕ(a) + a − ϕ(a) ∈ N , do đó a = 0 Ngoài ra, ta có N ⊕K = N ⊕π M (K) = N ⊕A Theo giả thiết, tồn tại môđun con C của X và K ≤ C sao cho X = N ⊕ C Gọi π : X = N ⊕ C → N

là phép chiếu chính tắc Khi đó với mọi a ∈ A, a = a − ϕ(a) + ϕ(a), do đó π(A) = ϕ(a) hay π | M là mở rộng của ϕ.

Trong [12], H Q Dinh đã chứng minh rằng nếu M ⊕ N là giả nội xạ thì N là M -nội xạ Đối với môđun giả c-nội xạ ta có kết quả t-ơng tự:

Mệnh đề 2.1.5 Nếu M ⊕ N là giả c-nội xạ thì N là M -c-nội xạ.

Chứng minh Xét A là môđun con đóng của M và f : A → N là một đồng cấu Đặt g : A → M ⊕ N, g(a) = (a, f (a)) với mọi a ∈ A Khi đó g là

đơn cấu và A đóng trong M ⊕ N Vì M ⊕ N là giả c-nội xạ nên theo Bổ

đề 2.1.1, M ⊕ N là giả M -c-nội xạ Do đó, tồn tại h : M → M ⊕ N là

mở rộng của g Gọi π N : M ⊕ N → N là phép chiếu chính tắc Khi đó

π N ◦ h : M → N là mở rộng của f

Tổng trực tiếp của hai môđun giả c-nội xạ ch-a hẳn là môđun giả c-nộixạ Ví dụ sau chỉ ra điều này:

Ví dụ 2.1.3 Cho p là số nguyên tố và M = Z/pZ và N = Z/p3Z là các

Z-môđun Khi đó M, N là các môđun đều nên là giả c-nội xạ Tuy nhiên

M ⊕ N không là giả c-nội xạ Thật vậy, xét K = (1, p)Z = (1 + pZ, p +

p3Z)Z Khi đó K là môđun con đóng của M ⊕ N ([13, Section 7]) Xét

đồng cấu: f : K → M ⊕ N đ-ợc xác định bởi f (1, p) = (0, 1) Rõ ràng f

là đơn cấu Giả sử tồn tại g là mở rộng của f và

g(1+Zp, 0+p3Z) = (a+pZ, b+p3Z), g(0+pZ, 1+p3Z) = (c+pZ, d+p3Z) Khi đó (0 + pZ, 0 + p3Z) = pg(1 + pZ, 0 + p3Z) = (0 + pZ, pb + p3Z), do

đó b là bội của p2 Mặt khác,

f (1 + pZ, p + p3Z) = g(1 + pZ, p + p3Z)

= g(1 + pZ, 0 + p3Z) + pg(0 + pZ, 1 + p3Z)

= (a + pZ, b + p3Z) + (0 + pZ, pd + p3Z) = (0, 1).

Do đó, 1 − (b + pd) ∈ p3Z Vì b là bội của p2 nên p − p2d ∈ p3Z Nghĩa là

với mỗi x ∈ Z, p − p2d = p3x hay 1 = pd + p2x = p(d + px), điều này mâu

thuẫn

Nhắc lại rằng, môđun M đ-ợc gọi là có hạng hữu hạn nếu bao nội xạ E(M ) là tổng hữu hạn của các môđun con không phân tích đ-ợc ([18, trang

95]) Theo [18, Corollary 5.18], mọi môđun Nơte đều có hạng hữu hạn

Định lý sau đây là một đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, đó là vành màmọi môđun giả c-nội xạ (trên vành đó) là nội xạ

Định lý 2.1.6 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:

(1) R là Artin nửa đơn;

(2) Tổng trực tiếp của hai R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ;

(3) Mọi R-môđun giả c-nội xạ là nội xạ;

(4) Tổng trực tiếp của các R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ.

Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì R là nửa đơn nên mọi R-môđun là nội xạ Do

đó ta có (2)

(2) ⇒ (3) Giả sử M là giả c-nội xạ Theo giả thiết, tổng trực tiếp (ngoài)

M ⊕ E(M ) là giả c-nội xạ Xét i : M → M ⊕ E(M ) với i(m) = (0, m) Theo Bổ đề 2.1.1, M là giả M ⊕ E(M )-c-nội xạ Do đó, tồn tại đồng cấu

α : M ⊕ E(M ) → M là mở rộng của 1 M Khi đó α ◦ i = 1 M Ta có i = ι2ι với ι : M → E(M ), ι2 : E(M ) → M ⊕ E(M ) là các phép nhúng Do đó

1M = (αι2)ι Nh- vậy M là hạng tử trực tiếp của E(M ) hay M là nội xạ (3) ⇒ (1) Giả sử S là môđun nửa đơn Vì mỗi môđun con của S

là hạng tử trực tiếp của S nên S là giả c-nội xạ Theo giả thiết S là nội xạ Xét (S i)i∈N là họ các môđun đơn và E i = E(S i ) là bao nội xạ của S i

Khi đó ⊕ i∈N S i là nội xạ Do đó, ⊕ i∈N S i là hạng tử trực tiếp của ⊕ i∈N E i

Nh-ng ⊕ i∈N S i ≤ e ⊕ i∈N E i nên ⊕ i∈N S i = ⊕ i∈N E i Nh- vậy ⊕ i∈N E i là nội

xạ Theo Định lý 1.4.3, R là Nơte phải Do đó R R có hạng hữu hạn Khi

đó, E(R R ) = K1 ⊕ K2 ⊕ ã ã ã ⊕ K n với K i là các R-môđun phải không phân tích đ-ợc Hơn nữa, các môđun K i là nội xạ Xét x ∈ K i , x 6= 0 với

i = 1, 2, , n Vì K i đều nên xR đều Do đó xR là giả c-nội xạ Theo giả thiết xR là nội xạ Nh- vậy xR là hạng tử trực tiếp của K i và do đó

xR = K i Nh- vậy K i là đơn với mọi i = 1, 2, , n Nghĩa là E(R R) là nửa

đơn Từ đó suy ra R R là nửa đơn

(1) ⇒ (4) ⇒ (2) là rõ ràng.

2.2 Môđun giả c+-nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả về lớp môđun giả c+-nộixạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun này và các lớp môđun mởrộng khác của môđun nội xạ đã đ-ợc chỉ ra trong các Hệ quả 2.2.3; Định

lý 2.2.5; Định lý 2.2.6; Hệ quả 2.2.7 và Định lý 2.2.31 Các tính chất quantrọng đối với lớp môđun này đó là tính nội xạ t-ơng hỗ của các hạng tử

trực tiếp và tính chính quy của vành th-ơng End(M )/J (End(M )) Các tính

chất này đ-ợc chứng minh trong Định lý 2.2.11 và Định lý 2.2.21 Đồngthời các đặc tr-ng của lớp môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun

và vành liên tục thông qua môđun và vành giả c+-nội xạ cũng đã đ-ợc chỉ

ra trong Mệnh đề 2.2.1, Hệ quả 2.2.12, Hệ quả 2.2.14 và Định lý 2.2.16.Kết quả chính trong mục này đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn và các

đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+-nội xạ Các đặctr-ng này đ-ợc chứng minh trong Hệ quả 2.2.13, Định lý 2.2.20 và Định lý2.2.33

Định nghĩa 2.2.1 Cho M, N là các R-môđun Môđun N đ-ợc gọi là giả

M -c+-nội xạ nếu với mọi môđun con A của M , A đẳng cấu với môđun con

đóng của M , với mỗi đơn cấu từ A vào N đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu

từ M vào N (trong các bài báo [2]; [37] và [44], N đ-ợc gọi là môđun giả

M -c ∗ -nội xạ) Môđun M đ-ợc gọi là giả c+-nội xạ nếu M là giả M -c+-nội

xạ Vành R đ-ợc gọi là giả c+-nội xạ phải (t.-., trái) nếu R R (t.-., R R) là

giả c+-nội xạ

Nhận xét 2.2.2 Từ định nghĩa, ta có:

(1) Nếu M là môđun giả nội xạ thì M là giả c+-nội xạ

(2) Nếu M là môđun giả c+-nội xạ thì M là giả c-nội xạ.

(3) Nếu M là môđun GQ-nội xạ thì M là giả c+-nội xạ

Ví dụ sau chỉ ra rằng lớp môđun và vành giả c-nội xạ rộng hơn hẳn sovới lớp môđun và vành giả c+-nội xạ

Ví dụ 2.2.3 (1) Xét M = Z ⊕ Z là Z-môđun Khi đó, M là môđun CS và

giả c-nội xạ nh-ng không phải là môđun giả c+-nội xạ Thật vậy, xét

A = {(2n, 0) ∈ M |n ∈ Z} và B = M Khi đó B là môđun con đóng của M và A ∼ = B Xét f : A → B, f (2n, 0) = (n, n) với mọi n ∈ Z.

Ta có f là đẳng cấu Giả sử tồn tại g : M → M là mở rộng của f

và g(1, 0) = (x, y) với x, y ∈ Z Khi đó, f (2, 0) = g(2, 0) = (2x, 2y) Suy ra (1, 0) = (2x, 2y) Từ đó suy ra 1 = 2x, điều này mâu thuẫn Do

đó M không là giả c+- nội xạ

(2) Xét R = Z Khi đó R là vành giả c-nội xạ phải nh-ng không là

vành giả c+-nội xạ phải Thật vậy, ZZ chỉ có hai môđun con đóng là

0 và Z Do đó, dễ thấy ZZ là giả c-nội xạ Tuy nhiên, với đơn cấu

f : nZ → Z, f (nz) = z (n > 1), không tồn tại mở rộng nào của f từ

phía nh-ng không thỏa điều kiện C2 Thật vậy, ta có:

Tuy nhiên J không phải là hạng tử trực tiếp của R Nh- vậy, R là vành

giả c-nội xạ phải nh-ng không là giả c+-nội xạ phải

Ta đã biết rằng, môđun M là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N Mệnh đề sau đây chỉ ra một điều kiện giảm nhẹ đối với môđun nội xạ M thông qua điều kiện giả c+-nội xạ và giả c-nội xạ:

R-Mệnh đề 2.2.1 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với R-môđun M :

(1) M là nội xạ;

(2) M là giả N -c+-nội xạ với mọi R-môđun N ;

(3) M là giả N -c-nội xạ với mọi R-môđun N

là các phép nhúng chính tắc Do đó 1M = (αι2)ι Nh- vậy M là hạng tử trực tiếp của E(M ) hay M là nội xạ.

Bổ đề 2.2.2 Cho M, N là hai môđun Khi đó ta có:

(1) Nếu N là giả M -c+-nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N thì A là giả M -c+-nội xạ.

(2) Nếu N là giả M -c+-nội xạ và B là môđun con đóng của M thì N là giả B-c+-nội xạ.

(3) Nếu M là giả c+-nội xạ và A là môđun con đóng bất biến hoàn toàn của M thì A là giả c+-nội xạ.

(4) Giả sử M ∼ = M 0 và N ∼ = N 0 Khi đó, nếu N là giả M -c+-nội xạ thì

N 0 là giả M 0 -c+-nội xạ.

Chứng minh T-ơng tự Bổ đề 2.1.1.

Hệ quả 2.2.3 Cho M là môđun giả c+-nội xạ Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là giả c+-nội xạ.

(2) Nếu N ∼ = M thì N là giả c+-nội xạ.

Mệnh đề 2.2.4 Nếu X = Π i∈I N i là giả M -c+-nội xạ thì N i là giả M -c+-nội xạ với mọi i ∈ I.

Chứng minh Giả sử X = Π i∈I N i là giả M -c+-nội xạ, A là môđun con

đẳng cấu với môđun con đóng của M và f i : A → N i là đơn cấu Gọi

η i : N i → X là phép nhúng tự nhiên và π i : X → N i là phép chiếu chính

tắc, ta có g i = η i ◦ f i : A → X là đơn cấu Khi đó, tồn tại đồng cấu

ϕ i : M → X là mở rộng của g i Đặt ψ i = π i ◦ g i , ta có thể kiểm chứng ψ i

là đồng cấu mở rộng của f i Vậy N i là giả M -c+-nội xạ

Trong [12], H Q Dinh đã chứng minh rằng, môđun giả nội xạ thì thỏamãn điều kiện C2 Kết quả này vẫn đúng đối với lớp môđun giả c+-nội xạ:

Định lý 2.2.5 Nếu M là giả c+-nội xạ thì M thoả mãn điều kiện C2.

Chứng minh Giả sử M là giả c+-nội xạ, B là hạng tử trực tiếp của M và

A ≤ M, A ∼ = B Khi đó, tồn tại đẳng cấu f : A → B Theo Bổ đề 2.2.2, B

là giả M -c+-nội xạ Do đó, tồn tại đồng cấu α : M → B là mở rộng của

f Gọi i : A → M là đồng cấu bao hàm, ta có (f −1 ◦ α) ◦ i = 1 A Từ đó

suy ra A là hạng tử trực tiếp của M

Điều ng-ợc lại của Định lý 2.2.5 là không đúng Thật vậy, ta có phản

là một không gian vectơ hai chiều trên F Khi đó R là vành giao hoán, địa

ph-ơng, Artin và thỏa mãn điều kiện C2 (xem [34, Example 5.12]) nh-ngkhông là giả c+-nội xạ Thật vậy, giả sử V có cơ sở là {u, v} Ký hiệu