Tuy nhiên khỏng phải mọi đoạn thằng xác định bởi một cỏng thức cho trước đều có thể dựng được bằng thước và cormpa.. Vậy với điều kiên nào thì đoạn thẳng xác định bởi một biểu thức có th
Trang 11 Tiéu chuan dimg duoc bang thudéc vA compa
Ta chú ý rằng mọi bài toán dựng hình đều có thể quy về dựng một hay nhiều đoạn thằng x, y, z, theo một số hữu hạn đoạn thằng a, b, c, Tuy nhiên khỏng phải mọi đoạn thằng xác định bởi một cỏng thức cho trước đều
có thể dựng được bằng thước và cormpa Vậy với điều kiên nào thì đoạn thẳng xác định bởi một biểu thức có thể dựng được bằng thước và compa
Địnk lý Yêu tiện cần và đủ để mật đoan thắng (phái từm) cá thể dựng được bằng thước và camipa là độ dai của nó cá thể biểu thị qua độ đài của các đoạn thẳng đã cho nhờ mật số hữu hạn các phép toán cơ sở (công, trừ, nhân, chìa và phép lấy căn số học của những số không ám)
Chứng mình
Điểu kiện âu Cho = Ẩ(a,, a, ., a„) chỉ chứa hữu hạn các phép toán cơ
sở => đoan y dựng được bảng thước và compa (hiển nhiên)
Diéu tiện cần Cha đoạn y dựng được bằng thước và cornpa
Trang 2Nhãn xét
- Vì đoạn thẳng y dựng được nên đẻ dài y của nó khỏng phụ thuộc vào
vị trí của các đoạn thằng a, da cho
- Đỏ dài y của y cũng khỏng phụ thuộc vào việc chọn điểm tùy ý thuộc hay không thuộc hình đã dựng
Trong mặt phẳng tọa đỏ Oxy, trên phản dương của tia Ox ta dat cdc đoạn thẳng OA, = đ, => À,(a,Ö) với ¡ = Ì, „ n
Vì y dựng được nên sau khi một số hữu: hạn bước dựng (chẳng hạn rmn bước) có điểm À và(s bước dựng) có điểm B mà y = AB
Suy ra y= AB= 4j(4g~ X4} +(ÿg~ Y4) ()
Từ (1) ta có y biéu th duve qua toa độ của các điểm À và B chỉ nhờ mốt
số hữu hạn các phép toán cơ sơ
Trang 3Xét điểm dang I
Giả sử đường thằng d, đi qua hai điểm da dumg IA M,(x,, ¥), Molx, ¥2)
và đường thằng d; đi qua hai điểm đã dựng là MI{x;, y;), MU(3„, và
=> phuong trinh d, : => y=k,x+ b,
T21
trong dé k, = ; Dị = YIÚ%¿ — XI) —XIÍYa — VỤ
Tương tự phương trình d;: y = kạx + bạ
7 y=hx+h
Goi M = d, 0 d; Giải hệ phương trình
y=kax+b
ee
=> Tọa đỏ của điểm I biểu thị được qua toa đỏ của các điểm đã dựng trước
đó MỊ, 1 = 1, , 4 chỉ nhờ một số hữu hạn các phép toán cơ sơ
Trang 4Xét điểm dang 2
y=kxr+b
(x~ su)” +(y~ xu = RO
với (x — xạ} + Cy — yoF = R? là phương trình đường tròn (©), trong đó tâm
Mg(xạ, yạ) là điểm đã dựng
Goi điểm MI = d © (C) Giải hệ phương trình trên ta có tọa đỏ của điểm Gia hệ phương ea
MI biểu thị được qua tọa độ của các điểm đã dựng trước, chỉ nhờ một sé hitu han các phép toán cơ sơ
Xét điểm dang 3
Ta đưa về giao điểm của một đường tròn và trục đằng phương của hai đường tròn đã cho (đưa về dang 2)
Vậy toa độ của các điểm À, B biểu thị được qua toa độ của những điểm
đã dựng trước đó chỉ nhờ mỏt số hữu han các phép toán cơ sơ Đối với những điểm đã dựng trước đó, thì toa độ của chúng lại biểu thị được qua toa độ của
những điểm đã dựng trước đó nữa, cho đến các điểm À(a,, 0), 1 = 1, n
Hệ quả Cho một số â > 0, cần và đủ để đựng được đoan thắng cá độ đài chỉ nhờ thước và cam ppa là số â biểu thị được qua số Ì chỉ nhờ mật số hữu han các phép toán cơ sở