ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH pot

Bài 1: Cho hai đường tròn S và 1 S có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A 2sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.. GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường

Bài 1: Cho hai đường tròn (S ) và (1 S ) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A 2

sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán

1

2

( )

( )

∈

∈

Ta có: AB = AC

Xét

'

1

( ) ( ')

(C (S '))

A

→

∈

֏

֏

Ñ

* Cách dựng:

Dựng (S1') ÑA( )S1 =(S1')

(S1')∩(S2)=C ( khác A )

Nối AC

Dựng AC∩( )S1 =B

Ta có ABC là đường thẳng cần dựng

* Chứng minh: AB = AC,thật vậy:

Chứng minh: ∆ABS1 = ∆ACS1'

Ta có: ∆BAS1 cân tại S1⇒S1 = 180

- 2BAS1 ∆ACS1 cân tại S1'⇒ S1' = 180

- 2CAS1'

Mà: BAS1 = CAS1'(đối đỉnh)

Suy ra: ∆BAS1 = ∆CAS1'

* Biện luận:

Nếu ( )S tiếp xúc 1 (S thì có 1 nghiệm hình 2)

Nếu ( )S , 1 (S2) cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình

Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi

các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm

trung điểm

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán

Với B ∈( )O , C ∈ ( )l , AB = AC

Xét phép đối xứng tâm A: ĐA

'

( )l →( )l

C ֏ B ( B ∈( )l' )

* Cách dựng:

Dựng '

( )l = Đ ( ) A l

Dựng B = ( )l' ∩( )O

Nối BA

Dựng C = BA ( )∩ l

Ta được đường thẳng ABC cần dựng

* Chứng minh: AB =AC

Theo cách dựng ta có ( )l // ( ') l

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên lần lượt tại H, K

Chứng minh ACH∆ = ABK∆

Ta có:

1 ( ) ( )



=





=



Suy ra: ∆ACHđồng dạng∆ABK (1)

Mà: AH = AK (tính chất đối xứng tâm A)

Suy ra: ∆ACH=∆ABK

Vậy: AB = AC

* Biện luận: (l’) = Đ ( )A l

Nếu (l )' tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình

Nếu ( )l' cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình

Nếu ( )l' và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm

Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm

GIẢI

* Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán

'

∈

∈

DE = DE’

Xét phép đối xứng : ' '

'

D

→

֏

Ñ

* Cách dựng:

Dựng B C' '=ÑD(BC)

Dựng E=B C' '∩AB

Nối DE

Dựng E’=BC∩DE

Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng

* Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì:

Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’

Suy ra DH = DH’ (1)

Mà ∆DE H' đồng dạng ∆DEH', Vì:

' '( ) ' '( ) ' 1



=







(2)

Từ (1), (2) suy ra ∆DE H' = ∆DEH'

Vậy: DE = DE’

* Biện luận:

Bài toán có 1 nghiệm hình

Bài 4:Cho hai đường tròn (O1), (O2) có giao điểm A Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai

đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A và AB – AC = a (a cho trước).

Xét phép đối xứng tâm qua A : '

( ) ( )

A

C ֏ C’

Suy ra: AC =AC’

Hai đường thẳng (l1), (l2) lần lượt qua O1, O2 và vuông góc với BC

Khoảng cách giữa (l1), (l2) là d =

2

a

( vì '

2 2 2

− = )

Suy ra (l2) là tiếp tuyến của đường tròn (O1;

2

a

)

* Cách dựng:

Dựng '

(O )=ÑA(O )⇒C'=ÑA( )(1)C

Dựng ( 1; )

2

a

O

Dựng (l2) là tiếp tuyến của ( 1; )

2

a

O đi qua O2’

Dựng qua O1 đường thẳng (l1)//(l2)

Dựng (l) qua A và vuông góc với (l2)

Dựng B=( )l ∩(O1)

C=( )l ∩(O2)

Ta có đường thẳng BAC cần dựng

*Chứng minh: AB – AC = a

Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’

Chứng minh: AB – AC’ = a

Ta có: d =

2

a

'

2 2 2

'

Vậy: AB - AC = a

*Biện luận:

Nếu (O1) tiếp xúc (O2) thì có 1 nghiệm hình

Nếu (O1) giao (O2) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, BC cố định, A di chuyển trên

đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

GIẢI

*Phần thuận:

Gọi I là trung điểm BC

A’ đối xứng của A qua O

Suy ra: ABA'=ACA'=90

Ta có:

'

' / /

' à ình ình ành '

/ / '

⇒

⇒



⇒

Mà: IB = IC

Nên: IH =IA’

Hay: A'=ÑI(H)

Khi A di chuyển trên đường tròn tâm O thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn tâm O

Vì O, BC, I cố định

Nên quỹ tích của H là đường tròn tâm(O’;BC) (Với O'=ÑI( )O )

*Phần đảo:

Lấy H ∈(O’;BC)

Bài 6: Cho tam giác ABC.Tìm các điểm trong tam giác sao cho 3 điểm đối xứng với nó qua trung

điểm các cạnh tam giác đều thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

GIẢI

*Phần thuận:

Gọi E là điểm cần tìm

Gọi M là trung điểm AB

Và giả sử: E→ÑM E1

Ta có: A→ÑM B

B→ÑM A

Suy ra: AEB=BE A1

ì ( ) , ên 180

180





Tương tự: AEC=180 −B

BEC =180 −A

Vậy E là giao điểm của 3 cung chứa góc (180 −C

) dựng trên AB, (180 −B

) dựng trên AC, (180 −A

) dựng trên BC

Theo hình học lớp 9, suy ra E cần tìm là điểm duy nhất và chính là trực tâm tam giác ABC

* Phần đảo:

Với E là trực tâm tam giác ABC

M là trung điểm AB

1

M

E1≡

Chứng minh: E1 thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi C’ đối xứng với C qua O, C’∈(O)

Nhận thấy: CAC'=CBC'=90

'

/ / ' à

⇒



⊥  Tương tự ta có: AE / / BC’

Suy ra AEBC’ là hình bình hành

Nên M là trung điểm EC’

Mặt khác:E→ÑM E1

Hay M là trung điểm EE1

Vậy E1≡C’⇒E1∈( )O

Bài 7: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD không cắt nhau, J thuộc CD Dựng X trên

đường tròn sao cho các dây cung AX, BX chắn trên dây CD đoạn EF nhận J làm trung điểm

GIẢI

* Phân tích:

XA, XB chắn dây CD tại E, F

Dựng E’ là điểm sao cho AEJE’ là hình bình hành

F’ là điểm sao cho JFBF’ là hình bình hành

Gọi I là trung điểm AB

Xét phép đối xứng : J →ÑI K

Ta có: AE’ // = F’B

Suy ra: ∆AE I' = ∆BF I'

Vậy I là trung điểm E’F’

KE’JF’ là hình bình hành

Ta có: JE K' =180 −E JF' '

= 180 −AXB

= 180 −ACB

( Cùng chắn cung AB )

* Cách dựng:

Dựng: K=ÑI( )J (1) Dựng cung chứa góc: (δ) nhìn dây JK với góc (180 −ACB

) cùng phía với A so với JK (2) Dựng (d) qua A và song song CD (3) Dựng: E’ = (d) ∩ (δ ) (4) Dựng cung chứa góc: (δ') nhìn dây JK với góc (180 −ACB

) cùng phía với B so với JK (5) Dựng (d’) qua B và song song CD (6) Dựng: F’ = (d’) ∩ (δ') (7) Dựng (l) qua A và song song E’J

E = (l) ∩ CD (8)

X = (l) ∩ (O)

Dựng (l’) qua B và song song F’J

F = (l’) ∩ CD (9)

X = (l’) ∩ (O)

Ta có X cần dựng

* Chứng minh: JE = JF

X ∈(O)

• Theo phép dựng (1), (2), (4), (5), (7) ta có KE’JF’ là hình bình hành

Mà: K=ÑI( )J

' '

' ' ' '( )

' '







Theo phép dựng (3),(8) ta có AE’JE là hình bình hành

⇒ AE’ = JE

Theo phép dựng (6),(9) ta có BF’JF là hình bình hành

⇒ BF’ = JF

Suy ra: JE = JF

• Theo phép dựng (8), (9) ta có: E JF' '=AXB

V ' 180 ' '

' '

V 2

à









Suy ra: AXB=ACB,C∈(O) hai góc cùng nhìn cung CB nên X∈(O)

* Biện luận:

Số nghiệm hình là số giao điểm của (d) và (δ )

Bài 8: Hãy dựng hình ngũ giác khi biết 5 trung điểm các cạnh

GIẢI

*Phân tích:

Giả sử đã dựng được ngũ giác A1A2A3A4A5 nhận B1, B2, B3, B4, B5 lần lượt là trung điểm các cạnh A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A1

Vậy: 5 4 3 2 1

B B B B B

A →Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ A (1)

Ta thấy:

Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ là phép đối xứng tâm Rõ ràng mọi phép đối xứng tâm chỉ có một

điểm bất động duy nhất, đó chính là tâm đối xứng

Từ (1) suy ra:

1

A

Ñ (2) Lấy X bất kì trên mặt phẳng

Do (2) suy ra: 1

5

A

Vậy: A1 là trung điểm XX5

* Cách dựng:

Lấy X bất kì thuộc mặt phẳng

Dựng: 1

1

B

X →Ñ X

2

B

3

B

X →Ñ X 4

B

5

B

Dựng A1: A1 là trung điểm XX5

Dựng: A2 1

B

A3 2

B

A4 3

B

A5 4

B

Nối: A1A5

Ta được ngũ giác A1A2A3A4A5 cần dựng

* Chứng minh: B5 là trung điểm A1A5

Theo phép dựng: A1 là trung điểm XX5 ⇒ XA1=A X1 5

1

1

1 1 2

B

B

XA X A



⇒



Ñ

Ñ là hình bình hành ⇒ XA1=A X2 1

Tương tự ta có: A X2 1=X A2 3=A X4 3=X A4 5

Suy ra: X A4 5=A X1 5

Vậy: X4A5X5A1 là hình bình hành

Mà: 5

B

Nên: B5 cũng là trung điểm A1A5

* Biện luận:

Bài toán có 1 nghiệm hình ( Vì A1A5 nhận B5 duy nhất làm trung điểm )

Chú ý : Cách dựng trên có thể mở rộng sang đa giác với số lẻ cạnh bất kì

Nghĩa là : nếu cho (2k + 1) trung điểm các cạnh của (2k + 1)giác ta sẽ dựng được (2k + 1)giác