Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hìnhPhạm Thị Mận – k34A - Toán 1 -LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này em đã được sự giúp đỡ nhiệt tình của cácthầy cô, các b

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Phạm Thị Mận – k34A - Toán 1

-LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã được sự giúp đỡ nhiệt tình của cácthầy cô, các bạn sinh viên trong khoa Qua đây em xin chân thành cảm ơn sựgiúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ hình học, các thầy cô trong khoa toán,các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên, đặc

biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Đinh Văn Thủy – Người

đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Mặc dù có cố gắng song do thời gian hạn chế và khả năng của bản thâncòn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em mongnhận được sự quan tâm, góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô giáo và các bạn để khóaluận của em hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012

Sinh viên Phạm Thị Mận

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Phạm Thị Mận – k34A - Toán 2

-LỜI CAM ĐOAN

Luận văn là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập, ở bậc đại học.Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo

trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Đinh Văn Thủy.

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài : “ Phép đồng dạng với các bàitoán dựng hình ”, không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012

Sinh viên Phạm Thị Mận

MỤC LỤC

Nội dung………

Lời cảm ơn………

Trang 1 Lời cam đoan……… 2

Mục lục……… 3

A – Lời nói đầu……… 4

B – Nội dung……… 6

Chương I: Cơ sở lý thuyết……… 6

1.1 Các kiến thức liên quan……… 6

1.2 Phép biến hình đồng dạng……… 8

1.3 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình……… 14

Chương II : Ứng dụng……… 16

2.1 Các ví dụ……… 16

2.1.1 Ví dụ 1……… 16

2.1.2 Ví dụ 2 ……… 18

2.1.3 Ví dụ 3……… 20

2.1.4 Ví dụ 4……… 22

2.1.5 Ví dụ 5……… 25

2.2 Bài tập luyện tập……… 28

2.2.1 Đề bài……… 28

2.2.2 Hướng dẫn giải……… 29

Kết luận……… 46

Tài liệu tham khảo……… 47

A – LỜI NÓI ĐẦU

Có thể nói rằng, trong chương trình toán phổ thông cũng như trên bậc đạihọc, phép biến hình chiếm một vị trí quan trọng Phép biến hình là một công cụđơn giản, nhưng đầy hiệu lực trong việc giải các bài toán hình học sơ cấp như bàitoán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh,…

Trong các phép biến hình thì không thể không nói tới phép biến hình đồngdạng, nó chiếm một mảng lớn của toàn bộ phép biến hình

Đặc biệt khi giải quyết các bài toán dựng hình, nhiều bài toán nếu sử dụngcác phương pháp thông thường nhiều khi gặp khó khăn, phức tạp, nhưng khi tachọn phép biến hình đồng dạng vào giải quyết thì bài toán trở lên đơn giản, dễdàng Áp dụng phép đồng dạng vào giải quyết các bài toán dựng hình được xem

là biện pháp khá tối ưu

Xuất phát từ những lí do trên, và qua quá trình học tập, nghiên cứu, kết hợpvới lòng yêu thích môn hình học mà em đã chọn đề tài : “ Phép đồng dạng vớicác bài toán dựng hình ” với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nội dung này,

và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương :

Chương 1 : Cơ sở lý thuyết

Chương này gồm 3 mục nhằm trang bị những kiến thức lý thuyết cơ bản

về phép đồng dạng; bài toán dựng hình và phương pháp áp dụng phép đồng dạngvào giải bài toán dựng hình

Các kiến thức liên quan : Bài này nói về mặt phẳng định hướng; góc định hướnggiữa hai tia, hai đường thẳng; đường tròn Aplonius

1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài này nói về định nghĩa, tính chất, phân loại,các định lí quan trọng của phép đồng dạng

1.2 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình : Đề xuất bài toán dựng hình vàphương pháp giải nhờ phép đồng dạng

Chương 2 : Ứng dụng : Gồm hai mục :

2.1 Các ví dụ : Nêu các bài toán có hướng dẫn giải chi tiết

2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt bài tập và có gợi ý ở phần sau

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo, các tạp chí toán học vàcác tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012

Sinh viên Phạm Thị Mận

+ x

B – NỘI DUNGCHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Các kiến thức liên quan.

1.1.1 Mặt phẳng định hướng

Định nghĩa :

Trong mặt phẳng xét điểm O tùy ý Xung quanh O có hai chiều quay,nếu tachọn chiều cùng chiều quay kim đồng hồ là chiều âm và chiều ngược lại là chiềudương, thì ta nói rằng mặt phẳng đã được định hướng

1.1.2 Góc định hướng giữa hai tia

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc Ox, Oy Góc định hướnggiữa tia đầu Ox, tia cuối Oy, kí hiệu là Ox, Oylà góc thu được khi quay tiađầu

Ox xung quanh O tới tia cuối Oy

-O

y

k 2(k Z )

1.1.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

a) Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a và b

b) Nhận xét

Gọi là giá trị đầu thu được khi ta quay a theo góc hình học bé nhất quanh giao điểm hai đường thẳng a và b tới trùng b thì a;b.

c) Hệ thức Chales

Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1,a2,…,an Khi đó ta có

hệ thức Chales như sau :

+) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng.

+) Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng

nó

+) Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với

+) Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn

Bởi vậy, AB

1C1 A ' B 'C ' Gọi g là phép dời hình biến A, B1,C1

lần lượtthành A '

, B ', C ' tích Như vậy g0V là phép đồng dạng biến A thành A', B

A

thành B', C thành C'

C1

B' B

A

A

k

Giả sử có hai phép đồng dạng f và h đều biến A

0 f = e Vậy h = f

d) Phân loại

Phép đồng dạng Zk trong mặt phẳng được gọi là phép đồng dạng thuận haynghịch nếu nó là phép afin loại 1 hay phép afin loại 2 ( tức là hai tam giác xácđịnh nó là cùng chiều hay ngược chiều )

(k 0)+) Tích của hai phép đồng dạng

Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau.

B C'

2 Nếu Zk không là phép vị tự thì điểm bất động xác định như sau :

+) Giả sử Zk được xác định bởi hai tam giác đồng dạng cùng chiều ABC

và A'B'C' và gọi O là điểm bất động cần tìm thì :

Vì Zk không là phép vị tự nên AB và A'B' không song song Gọi I =

AB A ' B '

C B'

I

Ta có hai tam giác OAB và O'A'B' đồng dạng và cùng chiều nên

Ta có : OA, OBOA ', OB '.OA, OBOA', OB '

Vậy phân giác của góc B□O

B'

2) Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phépđồng dạng nghịch.



Ngược lại, trong mặt phẳng một phép đồng dạng có thể phân tíchbằng vô số cách thành tích của mọi phép vị tự với một phép dời hình hoặc phảnchiếu thứ tự tùy ý thuộc phép đồng dạng thuận hay nghịch.

+) Định lý 2 :

Trong mặt phẳng :

1) Một phép đồng dạng thuận (kí hiệu ZT) không phải là đẳng cự hay vị tựđều có thể phân tích thành tích giao hoán được của một phép vị tự và một phépquay (trong đó tâm vị tự và tâm quay bằng nhau ) nghĩa là :

Z Q.V k V k Q k Z O, k,

2) Một phép đồng dạng nghịch (kí hiệu ZN) có thể phân tích thành tíchgiao hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng trục trong đó tâm vị tựnằm trên trục đối xứng nghĩa là :

+) Bước 4 : Biện luận

Khẳng định khi nào thì bài toán không có nghiệm, khi nào thì bài toán cónghiệm và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm

1.3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép đồng dạng

Phép biến hình nói chung và phép đồng dạng nói riêng, tham gia chủ yếu

ở bước phân tích Bước phân tích của bài toán dựng hình có thể tóm tắt theo sơ

Để có hình Hn-1 ta đi dựng hình Hn.Trong đó hình Hn phải là hình dễ dựng được nhờ các phép dựng cơ bản vàcác bài toán dựng cơ bản hoặc có thể là đã cho trong giả thiết

Như vậy, để dựng được hình Hn trong quá trình phân tích ta dẫn tới dựngđược hình H1, H2,…, Hn Quá trình đó có những lúc gặp nhiều khó khăn Ta sửdụng các thao tác đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa bằng cách thay đổitrường hợp điểm này ( hình này ) bằng trường hợp điểm khác ( hình khác) nhờ

sự hỗ trợ của phép biến hình

Ứng dụng phép đồng dạng với bài toán dựng hình là ta phải tìm ra phépđồng dạng thích hợp và làm theo các bước trên

CHƯƠNG II : ỨNG DỤNG

2.1 Các ví dụ

2.1.1 Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O), một đường thẳng d và một điểm A

không thuộc d và không thuộc (O) Hãy dựng một tam giác vuông cân ABC, vuông tại B sao cho đỉnh B trên d và đỉnh C thuộc (O).

Q

Theo cách dựng điểm C, thì C thuộc d ' là ảnh của d trong phép đồng

dạng Z, do đó ảnh của C trong phép đồng dạng Z* phải thuộc d và ABC vuôngcân tại B

d) Biện luận

Bài toán chỉ có nghiệm khi

d ' và (O) có điểm chung Mặt khác, có haiphép đồng dạng biến d thành

Bài toán có tối đa 4 nghiệm

N hậ

hoặc Z  V 2

45o A  A

Vì C O

d ' và d ' d Z  nên ta có thể thay đường tròn (O) hoặc

đường thẳng d bằng một đường thẳng hoặc một hình (H) bất kì nhưng không

Q

chứa A Từ đó vẫn giữ nguyên yếu tố cần dựng, thay đổi giá trị theo hướng trên

ta sẽ có những bài toán mới với cách giải tương tự, chẳng hạn :

'' Cho hai đường thẳng a,b và một điểm O không nằm trên hai đường thẳng a, b Dựng tam giác AOB có O□AB

, O□BA 

sao cho

Gọi O là giao điểm các đường chéo AC và BD, khi đó O cũng là tâm củahình bình hành BMDN

Khi đó, phép đồng dạng :

Z : ABCD  BMDN

A  B

B  M

C  D

D  N

B C

N

M A

+) Dựng hình bình hành ABCD và đặt AC = x ; BD = y Khi đó gọi

+) Dựng giao điểm O của hai đường chéo AC và BD

+) Dựng đường phân giác trong của góc □AOB kí hiệu là d

+) Thực hiện phép đồng dạng nghịch :

k y

x O

Giả sử đã dựng được hai điểm M, M' thỏa mãn đầu bài.

Lấy điểm I sao cho IOO ' đồng dạng với

IAA '

và cùng hướng

k 

R ' R

K

x' I

a) Phân tích

Giả sử đã dựng được tứ giác ABCD thỏa mãn đầu bài

d

c b

C

là đường tròn Aplonius ứng với đoạn CC' theo tỉ số

• Dựng đường tròn tâm D bán kính d kí hiệu (D, d) suy ra :

Từ (3) và (4) suy ra □ADC □ABC 180 o

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp

giải

a) Phân tích

Giả sử đã dựng được đường thẳng m thỏa mãn điều kiện đầu bài

Không giảm tổng quát, giả sử phép quay

chiều dương của mặt phẳng

Q0;

 180o 

thực hiện theo

O

Nếu m2 // m1 thì m1 // m (do m2 // m theo giả thiết ) α = 0o hoặc

α = 180o (trái với giả thiết )

Vậy m2 cắt m1 tại một điểm I trên d sao cho d là phân giác của góc I

Trước hết, ta xác định ảnh của đường thẳng m qua phép đồng dạng nghịch

1 1 1



d

kích thước Phép đồng dạng còn có ứng dụng đặc biệt trong việc dựng những hình có dạng cụ thể như: tam giác vuông cân, tam giác vuông có một góc nhọn

cho trước, hình bình hành, hình thoi, tứ giác nội tiếp

vuông cân tại A, biết A a, B b

Bài 2 Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 song song, điểm B1 trên d2 và một tam giácABC Dựng các điểm A1, C1 lần lượt nằm trên d1, d3 sao cho tam giác ABC đồngdạng với tam giác A1B1C1

Bài 3 Dựng hình thoi ABCD có hướng dương biết B□AD 0o

90o , đỉnh Acho trước còn hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên 2 đường tròn (O1) và (O2) chotrước không qua A

Bài 4 Dựng tam giác BAC vuông cân tại A, có C là một điểm cho trước còn hai

đỉnh A, B lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước

Bài 5 Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy và tiếp xúc với đường

tròn (C) cho trước

Bài 6 Dựng một tam giác nội tiếp một tam giác cho trước và có các cạnh song

song với các cạnh của một tam giác cho trước

Bài 7 Dựng tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng t (t < 180o) và tổng của đáy vớiđường cao thuộc đáy là a cho trước

Bài 8 Cho ba đường thẳng a, b,c đôi một song song Hãy dựng tam giác ABC

vuông ở A có □ABC

 60o sao cho A, B, C lần lượt nằm trên a, b, c

a A

□ABC

và □AO2O1 □ACB

Bài 10 Dựng tam giác biết độ dài ba đường cao.

Bài 11 Dựng tứ giác ABCD biết B□

C□



, BC = b, CD = c, DA = d,

Bài 12 Cho tam giác ABC tìm trong tam giác điểm X sao cho khoảng cách từ

điểm đó tới các cạnh BC, CA, AB tỉ lệ với n, m, p cho trước

Bài 13 Cho tam giác ABC với điểm P AB Hãy dựng tam giác PXY đồng

dạng với LMK cho trước sao cho X AC,Y BC

2.2.2 Hướng dẫn giải

Bài 1 :

Phân tích :

O

Vậy tam giác OAB vuông cân tại A.

Biện luận :

Vì hướng của tam giác AOB cần dựng không xem là điều kiện của bàitoán nên ta có thể thực hiện 2 phép đồng dạng :

Do đó có thể xảy ra các trường hợp sau :

TH1 : Nếu a' và a'' cắt b thì bài toán có hai nghiệm hình

TH2 : Nếu a' (hay a'') song song với b thì bài toán có một nghiệm hình TH3 : Nếu a' (hay a'') trùng với b thì bài toán có vô số nghiệm hình

 □ABC và

k BC

BA

Khi đó dễ dàng nhận được phép biến hình đồng dạng Z : Q

Gọi C' là giao của B1A1 và '

Khi đó C1 là tạo ảnh của C1

qua phép quay  Theo tính chất của

phépquay suy ra B C'

Bài toán có hai nghiệm hình đối xứng nhau qua đường thẳng

vuông góc với d2 và qua B

Thật vậy , nếu gọi A' , B' ,

/ 2

+) Dựng D là ảnh của B qua phép đối xứng trục SAC

+) Nối AB, AD, DB, CD ta được hình thoi ABCD cần dựng

Từ (2) và (3) suy ra :

AO 1 AC

2

Tứ giác ABCD có giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗiđường, hơn nữa 2 đường chéo này lại vuông góc với nhau nên nó là hình thoi.Vậy hình thoi ABCD vừa dựng ở trên thỏa mãn các điều kiện của đề bài.



x'

Qua phép vị tự V tâm A biến (B) thành (C) và các cạnh Ox, Oy biến thành cáctiếp tuyến O'x' và O'y' của (C).

Do phép vị tự bảo tồn phương của đường thẳng nên O'x' // Ox, O'y' // Oy.Ngoài ra do V(O) = (O') nên OO' đi qua A hay A là giao điểm của các đườngthẳng OO' với (C)

Dễ có (B) tiếp xúc với Ox, Oy, ngoài ra A là tâm vị tự biến (C) thành (B)

mà A lại thuộc (C) nên A cũng thuộc vào (B) và (B), (C) tiếp xúc nhau tại A

Biện luận :

Bài toán có một nghiệm hình

Bài 6 :

Phân tích :

Giả sử tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC ( M, N, P thứ tự nằm trên các cạnh

BC, CA, AB ) sao cho các cạnh MN, NP, PM thứ tự song song với các cạnhB'C', C'A', A'B' của một tam giác A'B'C' cho trước

x A

M' MB

Giả sử đã dựng được tam giác cân ABC đỉnh A có □A = t và tổng độ

dài đáy với đường cao thuộc đáy bằng a

C' B'

+) Dựng tam giác cân bất kì AB'C' sao cho B'C' thứ tự trên Ox, Oy

+) Hạ AH' vuông góc với B'C', giả sử độ dài của B'C' và AH' cộng lại làb

Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì có hai phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2)

và Z2 = Z(A, 60o, 2) biến a tương ứng thành a', a''

biến tia AO1 thành tia AO2) biến B thành C

(trong đó α là góc quay tâm A

Khi đó đường tròn (O1) biến thành (O') chứa C Điểm C là điểm chung củahai đường tròn (O') và (O2)

C B

độ dài các đường cao của tam giác này tương ứng là a b c .

+) Dựng tam giác ABC đồng dạng thuận với tam giác A''B''C'' theo tỉ sốđồng dạng h a

Hay □ABC □ADC

và dựng được điểm X sao cho AM :

XN : XP = m : n : p với M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ Xxuống các cạnh BC, CA, AB

Khi đó : P□XN ; N□XM ; D□XM 

cho

Trong mặt phẳng chọn điểm O bất kì Dựng các tia OM', ON', OP' sao

O

M□'OP ' , P□ON '  , N□'OM ' .

Trên tia đó đặt OM' = m, ON' = n, OP' = p

Qua M', N', P' dựng các đường thẳng vuông góc với OM, ON, OP chúngcắt nhau tại A', B', C'

Ta thấy tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC (g.g.g) và tam giácOA'B' đồng dạng với tam giác XAB ( được suy ra từ 2 cặp tam giác đồng dạng

là ON'P' đồng dạng với tam giác XNP; tam giác OM'P' đồng dạng với tam giácXMP )

Cách dựng :

+) Dựng A ' B 'C ' với điểm O như trên.

Trong tam giác ABC :

• Qua A dựng đường thẳng Ax sao cho B□AX B□' A 'O

• Qua B dựng đường thẳng By sao cho □ABX □A ' B 'OGiao của Ax và By chính là điểm X cần tìm