luân văn lý thuyết trường và bài toán dựng hình bằng thước kể và compa

luân văn lý thuyết trường và bài toán dựng hình bằng thước kể và compa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn

Mục lục 1

Lời nói đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị về mở rộng trường 5 1.1 Trường và trường con 5

1.2 Mở rộng trường 7

1.3 Đa thức bất khả quy 11

1.4 Mở rộng đại số 14

2 Dựng hình bằng thước kẻ và compa 17 2.1 Khái niệm điểm dựng được bằng thước kẻ và compa 17

2.2 Tính dựng được của toạ độ các điểm 31

2.3 Một điều kiện cần cho tính dựng được 34

2.4 Một điều kiện đủ cho tính dựng được 36

2.5 Những bài toán dựng hình cổ điển 38

Phần kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học- Đạihọc Thái Nguyên và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tậntình chu đáo của PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc đến Cô về sự tận tình hướng dẫn trong suốt thờigian tôi làm luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo của trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô của Viện Toán, đã nhiệttình giảng dạy tôi trong suốt 2 năm qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toán -Tin trường

PT Vùng cao Việt Bắc nơi tôi công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi

để tôi hoàn thành khoá học

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới anh chị em lớp cao học K2 trường

Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã trao đổi kinh nghiệm, độngviên, khích lệ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứulàm luận văn Xin cảm ơn gia đình của tôi đã thông cảm và tạo điều kiệnthuận lợi giúp tôi hoàn thành khoá học này

Tác giả

Lời nói đầu

Đối với người Hylạp cổ, một phép dựng hình của hình học là phép dựnghình mà chỉ sử dụng thước kẻ và compa Trong lịch sử toán học, có babài toán cổ nổi tiếng mà sự ra đời của chúng có ảnh hưởng lớn tới sự pháttriển của toán học, đặc biệt là hình học Đó là các bài toán dựng hình bằngthước kẻ và compa như: '' Cầu phương một hình tròn"; '' Gấp đôi một hìnhlập phương"; ''Chia ba một góc"

Nhiều nhà toán học chuyên và không chuyên đã đưa ra nhiều phươngpháp, nhiều tranh luận khác nhau để giải quyết các bài toán trên, và bằngtrực giác họ thấy rằng bằng thước kẻ và compa không thể dựng được

Đến tận thế kỷ 19, điều không thể đó đã được các nhà toán học như P.L.Wantzel, Carl Lindemann chứng minh dựa trên các lý thuyết cơ bản của

Đại số hiện đại như Lý thuyết mở rộng trường, Lý thuyết Galois

Mục đích của luận văn là trình bày lại tính dựng được bằng thước kẻ vàcompa đã được trình bày trong các cuốn sách Lý thuyết Galois của JosephRotman [Rot] và Jean Pierre Escofier [Ese]

Luận văn này trình bày các kiến thức về Lý thuyết mở rộng trường của

Đại số hiện đại, đưa ra khái niệm về điểm dựng được bằng thước kẻ vàcompa, điểm lại một số bài toán cơ bản về dựng hình bằng thước kẻ vàcompa, và vận dụng lý thuyết mở rộng trường để chứng minh một điềukiện cần và một điều kiện đủ về tính dựng được bằng thước kẻ và compa.Phần áp dụng các điều kiện trên là để giải quyết một số bài toán dựnghình cổ nổi tiếng như ''Cầu phương một hình tròn", ''Gấp đôi một hình lậpphương", ''Chia ba một góc",

Luận văn này được chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn

bị về mở rộng trường Trong Chương I này chúng tôi đề cập đến các kiến

thức cơ bản trong lý thuyết mở rộng trường phục vụ cho Chương II nhưkhái niệm mở rộng trường, mở rộng hữu hạn, mở rộng đơn, mở rộng đại

số, bậc của các mở rộng, đa thức bất khả quy và tiêu chuẩn Eistenstein.Chương II: Dựng hình bằng thước kẻ và compa Trong Chương II chúngtôi trình bày khái niệm điểm dựng được bằng thước kẻ và compa, đưa ramột số bài toán cơ bản về dựng hình bằng thước kẻ và compa như bàitoán: ''Tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng"; ''Dựng một đườngthẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước", Nội dung chính của Chương II là thông qua kiến thức mở rộng trường ởChương I để trình bày một điều kiện cần và một điều kiện đủ về tính dựng

được bằng thước kẻ và compa, từ đó giải quyết các bài toán dựng hình

cổ nổi tiếng như: '' Cầu phương một hình tròn", ''Gấp đôi một hình lậpphương", ''Chia ba một góc"

Để hoàn thành được luận văn này tác giả đã rất nỗ lực và cố gắng songkhông tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy cô và bạn đọc giúp

đỡ

Tác giả

Kiến thức chuẩn bị về mở rộng trường

Mục đích của Chương là nhắc lại một số kiến thức trong lí thuyết mở rộngtrường của Đại số hiện đại như khái niệm mở rộng trường, mở rộng hữuhạn, mở rộng đại số, mở rộng siêu việt, bậc của mở rộng Đây là nhữngkiến thức thực sự cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả chính

ở Chương 2 về các điều kiện cần, điều kiện đủ liên quan đến tính dựng

được bằng thước kẻ và compa Các kiến thức và thuật ngữ trong toàn luậnvăn này được tham khảo từ các cuốn sách về lí thuyết trường và lí thuyếtGalois dành cho học viên sau đại học của C R Hadlock 1978 [Had],Joseph Rotman 2001 [Rot], Jean-Pierre Escofier 2004 [Esc], Jean-PierreSerre 1992 [Ser], Jean-PierreTignol 1987 [Tig]

1.1 Trường và trường con

1.1.1 Định nghĩa Trường là một một tập hợp T được trang bị hai phéptoán cộng và nhân thỏa mãn các tính chất sâu đây:

(i) T là một nhóm giao hoán với phép cộng: Phép cộng có tính chấtgiao hoán, kết hợp; T có phần tử không (tồn tại 0 ∈ T sao cho 0 + a = avới mọi a ∈ T ); mỗi phần tử của T đều có đối xứng (với mỗi a ∈ T , tồntại −a ∈ T sao cho a + −a = 0)

(ii) T là một vị nhóm giao hoán với phép nhân: Phép nhân có tính chấtgiao hoán, kết hợp; T có phần tử đơn vị (tồn tại 1 ∈ T sao cho 1a = a vớimọi a ∈ T ).

(iii) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng

(iv) Mỗi phần tử khác 0 của T đều có nghịch đảo (với mỗi 0 6= a ∈ T ,tồn tại a−1 ∈ T sao cho aa−1 = 1)

1.1.2 Ví dụ (i) Tập Z các số nguyên với phép cộng và nhân thông thườngkhông là trường Các tập Q, R và C (với phép cộng và nhân thông thường)

đều là trường

(ii) Tập Z6 với phép cộng và nhân các số nguyên modunlo 6 không làtrường vì 2 ∈ Z6 không khả nghịch Tập Z7 với phép cộng và nhân các sốnguyên modunlo 7 là trường Một cách tổng quát, Zn là trường khi và chỉkhi n là số nguyên tố

(iii) Tập hợp Q[√2] = {a + b√

2 | a, b ∈ Q} đóng kín với phép cộng vànhân thông thường, và cùng với hai phép toán này, Q[√2] là một trường.Chú ý rằng nếu 0 6= a + b√2 ∈ Q[√2] thì a

a2 − 2b2 − b

√2

a2 − 2b2 là nghịch

đảo của a + b√2

1.1.3 Định nghĩa Cho T là một trường Một tập con L của T được gọi làmột trường con của T nếu các phép toán cộng và nhân đóng kín trong L

và cùng với hai phép toán này L làm thành một trường

Rõ ràng Z không là trường con của trường Q Trường Q là trường concủa trường R và trường C

Chú ý rằng giao của một họ tuỳ ý những trường con của một trường T

là trường con của T Vì thế, nếu T là một trường thì giao của tất cả cáctrường con của T là trường con bé nhất của T Trường con này được gọi

là trường nguyên tố của T Vì Q không có trường con thực sự nào, nên Q

là trường nguyên tố của Q Rõ ràng Q là trường nguyên tố của trường R

và trường C

1.2 Mở rộng trường

1.2.1 Định nghĩa Cho K là một trường Trường L được gọi là một mởrộng của trường K nếu K là trường con của L Trong trường hợp này ta

kí hiệu là L/K và ta gọi nó là một mở rộng trường

Sau đây là một số ví dụ đơn giản về mở rộng trường

(i) Trường R và C là hai mở rộng của trường Q

(ii) Trường Q[√2] = {a + b√

2 | a, b ∈ Q} là mở rộng của Q1.2.2 Định nghĩa Cho K là một trường Một tập V có trang bị một phépcộng và một ánh xạ K ì V −→ V (gọi là tích vô hướng) được gọi là mộtkhông gian véc tơ trên trường K hay một K-không gian vec tơ nếu (V, +)

là một nhóm giao hoán và tích vô hướng thoả mãn các tính chất sau đây:

(i) Phân phối: (x + y)α = xα + yα và x(α + β) = xα + xβ;

(ii) Kết hợp: x(yα) = (xy)α;

(iii) Unita: 1α = α

với mọi x, y ∈ K và mọi α, β ∈ V

Một số ví dụ về không gian véc tơ thường gặp là:

(i) Tập R các số thực với phép cộng và phép nhân số thực với số hữu

tỉ là một Q-không gian véc tơ

(ii) Tập số phức C với phép cộng số phức và phép nhân số phức làmột C-không gian véc tơ Trong khi đó C cùng với phép cộng số phức vànhân số phức với số thực là một R-không gian véc tơ

Chú ý rằng nếu K là trường con của L thì L có cấu trúc tự nhiên làmột không gian véc tơ trên K Việc nghiên cứu chiều của không gian véctơ này là cần thiết cho việc trình bày các kết quả trong phần sau của luận

văn Trước khi trình bày các kết quả về chiều, chúng tôi nhắc lại một sốkhái niệm và tính chất của không gian véc tơ.

1.2.3 Định nghĩa Giả sử V là một K-không gian véc tơ

(i) Một hệ véc tơ {vi}i∈I trong V được gọi là một hệ sinh của V nếumọi phần tử x ∈ V đều có thể biểu thị tuyến tính theo hệ đó, tức là tồn tạihữu hạn phần tử vi1, , vik của hệ {vi}i∈I và hữu hạn phần tử ai1, , aikcủa K sao cho x = Pk

j=1aijvij Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần

tử thì V được gọi là K-không gian hữu hạn sinh

(ii) Một hệ véc tơ {vi}i∈I trong V được gọi là một hệ độc lập tuyếntính nếu từ mỗi ràng buộc tuyến tính của hệ Pk

1.2.4 Định nghĩa Cho L là một mở của trường K

(i) Số chiều của L, xét như là một K-không gian véc tơ, được gọi làbậc của L trên K và kí hiệu là [L : K]

(ii) Mở rộng L/K là mở rộng hữu hạn nếu [L : K] là hữu hạn.(iii) Mở rộng có bậc bằng 2 được gọi là mở rộng bậc 2

Sau đây là một số ví dụ về bậc của mở rộng trường

(i) C là mở rộng bậc 2 của R với cơ sở là {1, i};

(ii) Trường Q[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q} là mở rộng bậc 2 củatrường Q với cơ sở là {1,√2};

(iii) Trường R và C có lực lượng không đếm được vì vậy chúngkhông là mở rộng hữu hạn của Q

Tiếp theo là các kết quả về bậc của mở rộng trường sẽ được áp dụngcho những chứng minh tiếp theo

1.2.5 Mệnh đề Cho L là mở rộng có bậc hữu hạn của trường K và M

là mở rộng có bậc hữu hạn của L Khi đó M là mở rộng có bậc hữu hạncủa trường K và ta có công thức bậc

[M : K] = [M : L].[L : K]

Chứng minh Đặt n = [L : K] và p = [M : L] Chọn {l1, , ln} làmột cơ sở của K-không gian véc tơ L và {m1, , mp} là một cơ sở của

L-không gian véc tơ M Xét hệ {limj}16i6n,16j6p gồm np phần tử của

M Ta chứng minh hệ này là một cơ sở của K-không gian véc tơ M Thậtvậy, giả sử có một ràng buộc tuyến tính

X

16i6n,16j6p

xijlimj = 0,trong đó xij ∈ K Khi đó ta có

Do hệ {li}16i6n là độc lập tuyến tính trong K-không gian véc tơ L nên

ta có xij = 0 với mọi i = 1, , n và mọi j = 1, , p Do đó hệ

{limj}16i6n,16j6p là độc lập tuyến tính Giả sử v ∈ M Do {m1, , mp}

là một hệ sinh của L-không gian véc tơ M nên tồn tại x1, , xp ∈ L saocho v = Pp

j=1xjmj Với mỗi xj, vì {l1, , ln} là một hệ sinh của không gian véc tơ L nên tồn tại x1j, , xnj ∈ K sao cho xj = Pn

K-i=1xijli.Vì vậy

M thì L cũng là mở rộng có bậc hữu hạn của K và M là mở rộng có bậchữu hạn của L

Kí hiệu K[X] = K[X1, , Xn]là vành đa thức n biến với hệ số trongmột trường K Ta kí hiệu f(X) thay cho đa thức f(X1, , Xn) ∈ K[X].Cho L là mở rộng của trường K và α1, , αn ∈ L Ta kí hiệu f(α) thaycho giá trị f(α1, , αn) của f(X) tại α1, , αn Đặt

K(α1, , αn) = {f (α)/g(α) | f (X), g(X) ∈ K[X], g(α) 6= 0}

Ta dễ dàng kiểm tra được tính chất sau

1.2.7 Bổ đề K(α1, , αn) là một trường chứa K và là một trường concủa L Hơn nữa, K(α1, , αn) là giao của tất cả các trường con của Lchứa K và chứa các phần tử α1, , αn

Nhận xét rằng K(α1, , αn)xác định như trong Bổ đề 1.2.7 là trườngcon bé nhất của L chứa K và chứa α1, , αn theo nghĩa nếu trường con

F của L cũng chứa K và chứa α1, , αn thì K(α1, , αn) ⊂ F TrườngK(α1, , αn) được gọi là mở rộng của K bằng cách ghép thêm các phần

1.2.9 Định nghĩa Cho L là mở rộng của trường K và A là tập con của

L Khi đó tồn tại những trường con của L chứa K và chứa A, chẳng hạnnhư L Giao của tất cả trường con của L chứa K và chứa A được gọi là

mở rộng của K sinh bởi A hay mở rộng của K bằng cách ghép thêm tập

A và được kí hiệu là K(A)

Như vậy, K(A) là một mở rộng của trường K chứa tập A và là trường

bé nhất của L chứa K và A Kí hiệu E là tập

{f (α)/g(α) | α = (α1, , αk) ∈ Ak, k ∈ N, f, g ∈ K[X], g(α) 6= 0}.Khi đó ta dễ kiểm tra được K(A) = E

1.3 Đa thức bất khả quy

Luôn giả thiết K là một trường

1.3.1 Định nghĩa Một đa thức f(X) ∈ K[X] được gọi là bất khả quytrên K nếu deg f ≥ 1 và f không thể phân tích được thành tích của 2 đathức có bậc bé hơn

Sau đây là một số ví dụ về đa thức bất khả quy.

(i) X2 + 1 là bất khả quy trên R nhưng không bất khả quy trên C.(ii) Các đa thức bậc nhất là bất khả quy

(iii) Các đa thức f ∈ K[X] có bậc 2 hoặc bậc 3 là bất khả quy nếu vàchỉ nếu nó không có nghiệm trong K

(iv) Trên trường C, các đa thức bất khả quy là và chỉ là các đa thức bậcnhất

(v) Trên R, các đa thức bất khả quy là và chỉ là các đa thức bậc nhấthoặc bậc 2 có biệt thức âm

Đối với đa thức trên Q, việc xác định tính bất khả quy là vô cùng khókhăn Một trong những điều kiện đủ để một đa thức trên Q là bất khả quy

là tiêu chuẩn Eisenstein sau đây

1.3.2 Tiêu chuẩn Eisenstein Giả sử f = anXn + an−1Xn−1 + +

a1X + a0 là đa thức với hệ số nguyên sao cho có một số nguyên tố p thoảmãn các tính chất:

(i) p không là ước của hệ số cao nhất an

(ii) p là ước của các hệ số còn lại

(iii) p2 không là ước của hệ số tự do a0

Khi đó f là bất khả quy trên Q

Sử dụng tiêu chuẩn trên, đa thức X7 − 6 là bất khả quy trên Q (chọn

p = 2 hoặc p = 3)

1.3.3 Định nghĩa Cho K là một trường, L là mở rộng tuỳ ý của trường

K Phần tử a ∈ L được gọi là phần tử đại số trên K nếu a là một nghiệmcủa đa thức khác không trong K[X] Nếu a không phải là phần tử đại sốtrên K thì ta nói nó là phần tử siêu việt trên K

Sau đây là một số ví dụ về phần tử đại số và phần tử siêu việt

(i) Các số −√2,√3

2, e2iπn là đại số trên Q

(ii) Các số π và e là siêu việt trên Q.

Dưới đây chúng ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của phần tử đại

số liên quan đến đa thức bất khả quy

(iii) Nếu α là đại số trên K thì tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy

f ∈ K[X] nhận α làm nghiệm và có hệ số cao nhất bằng 1

Đa thức bất khả quy trong phát biểu (iii) ở mệnh đề trên được gọi là đathức bất khả quy của α

1.3.5 Mệnh đề Giả sử L/K là một mở rộng trường và α ∈ L Đặt

K[α] = {f (α) | f (X) ∈ K[X]}

Các phát biểu sau là đúng

(i) Nếu α đại số trên K thì K[α] = K(α)

(ii) Nếu α là siêu việt trên K thì K[α] đẳng cấu với vành đa thức K[x],trong trường hợp này K[α] không là trường và vì thế K[α] 6= K(α).Mệnh đề sau đây nói về bậc của một mở rộng đơn với phần tử ghépthêm là đại số

1.3.6 Mệnh đề Giả sử α là phần tử đại số trên một trường K Gọi

f ∈ K[X] là đa thức bất khả quy của α Khi đó ta có công thức bậc của

mở rộng trường K(α)/K sau đây

[K(α) : K] = deg f

Chứng minh Giả sử deg f = n Ta khẳng định hệ {1, α, , αn−1} làmột cơ sở của K-không gian véc tơ K(α) Thật vậy, β ∈ K(α) Khi

đó β = g(α)/h(α), trong đó g, h ∈ K[X] và h(α) 6= 0 Do h(α) 6= 0nên đa thức h không chia hết cho đa thức f Do f bất khả quy nên f

và h nguyên tố cùng nhau Vì thế có các đa thức p, q ∈ K[X] sao cho

f p + hq = 1 Thay α vào đẳng thức này, với chú ý rằng α là nghiệm của

f, ta có h(α)q(α) = 1 Suy ra β = g(α)/h(α) = g(α)q(α) Chia đa thức

gq cho f ta được gq = fs + r với deg r < deg f = n Thay α vào đẳngthức này ta được β = g(α)q(α) = r(α) Vì deg r < n nên thế β là tổ hợptuyến tính của hệ {1, α, , αn−1} Vậy hệ này sinh ra K(α) Giả sử hệnày không độc lập tuyến tính Khi đó có các phần tử a0, a1, , an−1 ∈ Kkhông đồng thời bằng 0 sao cho Pn−1

i=0 aiαi = 0 Do đó α là nghiệm củamột đa thức khác 0 có bậc nhỏ hơn n, vô lí 

1.4 Mở rộng đại số

1.4.1 Định nghĩa Một mở rộng L của trường K được gọi là mở rộng đại

số nếu mọi phần tử của L đều là đại số trên K Trong trường hợp ngượclại, ta nói L là mở rộng siêu việt trên K

Sau đây là một số ví dụ về mở rộng đại số và mở rộng siêu việt

(i) C là mở đại số của R, bởi vì bất kỳ số phức có dạng a + bi với a, b ∈ R

là một nghiệm của đa thức X2 − 2aX + a2 + b2 = 0 trong R[X]

(ii) Q(√2) là mở rộng đại số của Q

1.4.2 Mệnh đề Nếu L là mở rộng hữu hạn bậc n của trường K thì L/K

là mở rộng đại số và đa thức bất khả quy của mỗi phần tử của L đều cóbậc không quá n

Chứng minh Cho v ∈ L Nếu v = 0 thì v là nghiệm của đa thức X ∈K[X], đa thức này là bất khả quy bậc 1 Rõ ràng mở rộng L/K có bậc ítnhất là 1, vì thế định lí đúng trong trường hợp này Giả sử v 6= 0 Khi đó

vi 6= vj với mọi số tự nhiên i 6= j Vì thế hệ {vk

| 0 6 k 6 n} có nhiều

hơn n phần tử, do đó chúng không độc lập tuyến tính trên K Điều này

có nghĩa là tồn tại một họ {λk | 0 6 k 6 n} các phần tử của K không

đồng thời bằng 0 sao cho Pn−1

k=0λkvk = 0.Vì thế ta có đa thức khác không

f (X) =Pn−1

i=0 λkXk thuộc K[X] và đa thức này nhận v làm nghiệm VậyL/K là mở rộng đại số và mỗi phần tử của L đều là nghiệm của một đathức bất khả quy trên K với bậc không quá n 

1.4.3 Mệnh đề Giả sử L là mở rộng của K sao cho có một dãy

K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr = Lcác mở rộng trường với tính chất Ki = Ki−1[ai], trong đó ai là phần

tử đại số có bậc ni trên Ki−1 Khi đó L/K là mở rộng đại số bậc là

n = n1n2 nr

Sau đây là một số ví dụ về mở rộng đại số thường gặp:

(i) Q[√2] là mở rộng đại số của Q, vì [Q[√2] : Q] = 2;

(ii) Q[√2,√

3] là mở rộng đại số của Q vì [Q[√2,√

3] : Q] = 4.Nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm đến tính siêu việt của các sốthực (siêu việt trên trường Q) Chẳng hạn, tính siêu việt của các số π và e

có lịch sử như sau:

- Năm 1844 Joseph Liouville đã chứng minh lần đầu tiên rằng tập các sốthực chắc chắn chứa một số siêu việt

- Năm 1873 Hermite đã chứng minh số e là số siêu việt

- Năm 1882 Carl Lindemann đã chứng minh số π là số siêu việt, điều đódẫn đến là câu trả lời phủ định cho bài toán dựng hình cổ ''Cầu phương một

đường tròn": chỉ sử dụng thước kẻ và compa, hãy dựng một hình vuông

có cùng diện tích với một hình tròn cho trước

- Năm 1934 Alexandre Gelfond và Theodor Schneider đã chứng tỏ rằng

ab là số siêu việt với a là số đại số bất kỳ, a 6= 0 và a 6= 1 và b là một số

đại số vô tỷ (ví dụ 2√2 là số siêu việt) Alan Baker, người đã được tặng

huy chương Fields năm 1970, đã có những đóng góp lớn trong việc pháttriển các kết quả trên, tuy nhiên thời điểm đó vẫn còn chưa biết số e + π

có là số siêu việt hay không

Hiện nay lý thuyết về số siêu việt vẫn đang là chủ đề phát triển nhanhchóng của Đại số hiện đại

Trên đây là những kiến thức rất quan trọng về mở rộng trường, là cơ sở

để chứng minh các kiến thức của Chương 2 về điều kiện cần và điều kiện

đủ liên quan đến tính dựng được bằng thước kẻ và compa

Dựng hình bằng thước kẻ và compa

Chương 2 dành để giới thiệu bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa

và minh họa khái niệm này bằng những bài toán dựng hình cơ bản như:

"Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng"; ``Dựng một hệtrục tọa độ vuông góc từ hai điểm cho trước"; ``Dựng một đường thẳngsong song với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước" Nội dung chính của Chương 2 là thông qua kiến thức mở rộng trường ởChương 1 để trình bày một điều kiện cần và một điều kiện đủ về tính dựng

được bằng thước kẻ và compa, từ đó giải quyết các bài toán dựng hình cổ

điển nổi tiếng như ``Cầu phương một hình tròn", ``Gấp đôi một hình lậpphương", ``Chia ba một góc cho trước", ``Dựng một đa giác đều n cạnh"

và một số bài toán khác

2.1 Khái niệm điểm dựng được bằng thước kẻ và compa

Trong suốt chương này, cho E là một tập hợp điểm trong mặt phẳng Kíhiệu LE là tập hợp các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua hai điểmphân biệt của E Kí hiệu CE là tập các đường tròn trong mặt phẳng cótâm là một điểm của tập E và có bán kính bằng với khoảng cách giữa hai

điểm phân biệt nào đó của E

Với A, B ∈ E (điểm A khác điểm B), ta kí hiệu L(A, B) là đườngthẳng qua A, B, và với O ∈ E (điểm O có thể trùng với một trong hai

điểm A hoặc B) ta kí hiệu C(O, AB) là đường tròn tâm O, bán kính AB.Chẳng hạn, nếu E = {A, B, D} là tập 3 điểm phân biệt trong mặt phẳngthì LE là tập gồm 3 đường thẳng L(A, B); L(A, D); L(B, D) và CE là tậpgồm 9 đường tròn C(A, AB); C(A, AD); C(A, BD); C(B, BA);

C(B, BD); C(B, AD); C(D, AB); C(D, DB); C(D, DA)

2.1.1 Định nghĩa

a) Điểm A trong mặt phẳng được gọi là dựng được qua một bước từ tập Enếu A thoả mãn một trong các điều kiện sau:

(i) Là giao của hai đường thẳng trong LE;

(ii) Là giao của một đường thẳng của LE và một đường tròn của CE;(iii) Là giao của hai đường tròn trong CE

b) Một điểm P trong mặt phẳng gọi là dựng được từ E nếu tồn tại một dãyhữu hạn n điểm P1, P2, , Pn trong mặt phẳng sao cho Pn = P và Pi là

điểm dựng được qua một bước từ tập E ∪{Pj, j < i}với mọi i = 1, , n.Chú ý rằng nếu tập E chỉ có một điểm thì không có điểm mới nào dựng

được từ E

Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản sử dụng thước kẻ và compa.2.1.2 Bài toán: Dựng hình chiếu của một điểm M cho trước trên một

đường thẳng d cho trước

Cách dựng: Lấy hai điểm A, B khác nhau trên d Ta sẽ dựng hình chiếu

H của M trên d xuất phát từ tập 3 điểm cho trước E = {A, B, M}.Bước 1: Vẽ đường tròn C(A, AM)

Bước 2: Vẽ đường tròn C(B, BM) cắt C(A, AM) tại N

Bước 3: Vẽ đường thẳng L(M, N) cắt đường thẳng d tại H Ta có điểm

H cần dựng

Hình vẽ 2.1.2

2.1.3 Bài toán: Cho O và A là 2 điểm khác nhau trong mặt phẳng với độdài OA = 1 Hãy dựng một hệ toạ độ trực chuẩn từ 2 điểm đó

Cách dựng: Ta sẽ dựng một hệ toạ độ trực chuẩn OAB xuất phát từ tập 2

điểm cho trước {O, A}

Bước 1: Vẽ đường tròn C(O, OA), cắt L(O, A) tại A0

Bước 2: Vẽ đường tròn C(A, AA0)

Bước 3: Vẽ đường tròn C(A0, AA0), cắt C(A, AA0) tại M và N

Bước 4: Vẽ đường thẳng L(M, N) cắt C(O, OA) tại B và B0 Ta có một

hệ toạ độ trực chuẩn OAB cần dựng

Hình vẽ 2.1.3

2.1.4 Bài toán: Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vàsong song với một đường thẳng cho trước

Cách dựng: Giả sử d là một đường thẳng cho trước và M là một điểmkhông thuộc d Lấy A, B là 2 điểm khác nhau trên d Ta sẽ dựng một

đường thẳng qua M và song song với d xuất phát từ tập gồm 3 điểm chotrước {M, A, B}

Bước 1: Vẽ đường tròn C(A, AM), cắt d tại 2 điểm C và C0

Bước 2: Vẽ đường tròn C(C, AM)

Bước 3: Vẽ đường tròn C(M, AM), cắt C(C, AM) tại A và N Đườngthẳng cần dựng chính là L(M, N)

Hình vẽ 2.1.4

2.1.5 Bài toán: Cho M là một điểm thuộc đường thẳng d Dựng một

đường thẳng vuông góc với d tại điểm M

Cách dựng: Giả sử d là một đường thẳng cho trước, điểm M ∈ d Lấy

A ∈ d, A khác M Ta sẽ dựng một đường thẳng vuông góc với d tại Mxuất phát từ tập 2 điểm {M, A}

Bước 1: Vẽ đường tròn C(M, AM), cắt d tại A0

Bước 2: Vẽ đường tròn C(A, AA0)

Bước 3: Vẽ đường tròn C(A0, AA0) cắt C(A, AA0) tại E và F

Bước 4: Vẽ đường thẳng L(M, E), ta có đường thẳng L(M, E) cần dựngvuông góc với D tại M