bai toan dung hinh.

LỜI NÓI ĐẦUDựng hình là một dạng bài tập khó đối với hoc sinh THCS.Thông thường các em chưa hiểu một cách đầy đủ về các kiến thức cơ bản, các suy luận để giải mộtbài toán dựng hình.. 1.2

LỜI NÓI ĐẦU

Dựng hình là một dạng bài tập khó đối với hoc sinh THCS.Thông thường các

em chưa hiểu một cách đầy đủ về các kiến thức cơ bản, các suy luận để giải mộtbài toán dựng hình Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó khăn trongviệc hướng dẫn, gợi ý giúp học sinh tìm ra các yếu tố có liên quan để dựng đượchình thoả mãn yêu cầu bài toán Vì vậy chúng tôi làm bài tiểu luận này với hy vọng giúp cho các em hiểu rõ hơn cách giải một bài toán dựng hình qua một số

ví dụ cụ thể và mong góp một phần nhỏ cho các bạn sinh viên sư phạm toán sắp

ra trường có thêm tư liệu để làm tốt công việc giảng dạy Chúng tôi thực hiện tiểu này với cả sự cố gắng, tìm tòi, tham khảo ý kiến của một số thầy cô bậc trung học cơ sở và các tư liệu có liên quan Đồng thời có trình bày thêm những quan điểm nhận xét riêng của mình

Phần tiểu luận gồm hai chương:

Chương I : Kiến thức cơ bản về dựng hình.

- Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng

- Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa

- Các bài toàn dựng hình cơ bản

- Các bước giải một bài toán dựng hình

- Dựng hình bằng các dụng cụ khác

Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa.

- Điều kiện giải được các bài toán dựng hình bằng thước và compa

- Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao

- Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình

- Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao, bằng phương pháp biếnhình và hướng dẫn giải

Hệ thống bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ lớp 6 đến lớp 9, phầnhướng dẫn được trình bày rõ ràng, cụ thể có phần mở rộng, phát triển và một vài

đề nghị nhỏ đối với người dạy và học sinh

Lần đầu tiên làm bài tập tiểu luận chắc rằng chúng tôi khó tránh khỏi nhữngthiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các bạn nghiên cứu đóng góp ýkiến , để chúng tôi hoàn chỉnh , khắc phục những khuyết điểm và lấy nó làmkinh nghiệm cho việc dạy học Xin cảm ơn thầy cô giáo hướng dẫn giúp đỡchúng em hoàn thành phần tiểu luận này Cảm ơn tất cả c ác bạn sinh viên tronglớp đã đọc và nghiên cứu phần tiểu luận Mong rằng, sẽ giúp các bạn nắm vữngđược phần nào mấu chốt các bài tập

MỤC LỤC

Nội dung chính của tiểu luận trang 3 Chương 1: Kiến thức cơ bản về dựng hình trang 5.Thế nào là dựng một hình , thế nào là một hình được dựng trang 5.Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa trang 5

Các bước giải bài toán dựng hình trang 7.Dựng hình bằng các dụng cụ khác trang 9 Chương 2: Phương pháp dựng hình bằng thước và compa trang 10 Điều kiện giải được một bài toán dựng hình bằng thước và compa trang 10.Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao trang 10.Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình trang 15

Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao trang 24.Các bài tập dựng hình bằng phương pháp biến hình trang 25

NỘI DUNG CHÍNH CỦA TIỂU LUẬN.

- Tiểu luận này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, các bài tập

cơ bản về dựng hình bằng phương pháp tương giao, phương pháp biến hình Ở sau mỗi bài tập chúng tôi có nhận xét, đưa ra những đề nghị, bài tập mở rộng giúp sinh viên sư phạm khi đi thực tập và bắt đầu bước vào nghề có thể lưu ý hơn trong cách dạy, rèn luyện tư duy cho học sinh Đồng thời giúp cho học sinh tránh được những khó khăn, sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình -Nội dung nghiên cứu :

Tiểu luận gồm hai chương:

Chương I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình

Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa

2.1 Dựng hình bằng phương pháp tương giao: Các ví dụ

từ đó nhận xét, khuyến cáo, mở rộng, rèn luyện tư duy cho học sinh

- Kết quả nghiên cứu:

Kiến thức về dựng hình ở cấp trung học cơ sở không được sách giáo khoa

đi sâu về lý thuyết và bài tập Đây là dạng bài tập khó Sách giáo khoa đã đưa ra một số bài tập cơ bản, đơn giản Bước đầu cho các em làm quen với dựng hình Các bài tập về dựng hình có tác dụng tốt trong việc phát triển khả năng phân tích, suy luận, dự đoán các khả năng xảy ra và rèn luyện tư duy sáng tạo của hocsinh Vì vậy trong tiêủ luận này, chúng tôi xin trình bày rõ ràng, chi tiết các kiếnthức cơ bản về dựng hình:

1 Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng

2 Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa ( 5 tiên đề về dựng

hình )

3 Các bài tâp dựng hình cơ bản (25 bài tập)

4 Các bước giải và dạy bài toán dựng hình ( thường 4 bước)

5 Dựng hình bằng các dụng cụ khác ( êke, thước chia độ )

9 Có 7 bài tập áp dụng 2 phương pháp dựng hình trên

Những ví dụ và bài tập mà chúng tôi lựa chọn trình bày, đều mang tính chủquan, nó chưa đặc trưng hết những gì chúng tôi muốn nói Chúng tôi nghĩ rằng

người đọc có thể tìm thêm những cách giải khác tốt hơn và hay hơn Dù vậy, v

ới lòng mong mỏi được tập dượt nghiên cứu Chúng tôi mạnh dạn thực hiện ti

ểu luận này Do lần đầu thực hiện công việc nghiên cứu, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những nhận xét chủ quan Kính mong quí thầy cô và các bạn góp ý.Xin chân thành cảm ơn

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HÌNH

1.1 THẾ NÀO LÀ DỰNG MỘT HÌNH, THẾ NÀO LÀ MỘT HÌNH ĐƯỢC DỰNG:

1.1.1 Thế nào là dựng một hình ;

Dựng một hình H là chỉ rõ một dãy thứ tự hữu hạn ,các phép cơ bản

dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy

1.1.2 Thế nào là một hình được dựng;

Một hình H gọi là được dựng nếu ta đã chỉ rõ được một dãy thứ tự, hữu

hạn,các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy

Chú ý: Ta cần phân biệt được việc vẽ hình mà chúng ta thường làm

trước đây với dựng hình mới vừa nêu trên

- Vẽ hình là ta có thể sử dụng bất kỳ dụng cụ nào ( thước kẻ, compa,

êke, thước đo góc ) để vẽ hình ấy trên giấy

- Dựng hình là ta phải nêu được một dãy thứ tự, các phép dựng hình cơ

bản để tạo ra hình ấy chỉ với hai dụng cụ là thước kẻ và compa

1.2 CÁC PHÉP DỰNG HÌNH CƠ BẢN BẰNG THƯỚCVÀ COMPA:

1.3 CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN:

Có nhiều bài toán dựng hình cơ bản, song chúng ta có thể sắp xếp lại và phân ra các loại sau:

1.3.1 Liên quan đường thẳng:

1) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng đã cho

2) Dựng một góc bằng một góc đã cho

3) Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng đã cho.4) Dựng một góc bằng tổng (hiệu) của hai góc đã cho

5) Tìm trung điểm của một đoạn thẳng đã cho

6) Dựng đường phân giác của một góc đã cho

7) Dựng trung trực của đoạn thẳng đã cho

8) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một đường thẳng khác đã cho.

9) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vuông góc với một đường thẳng đã cho

10) Dựng tam giác biết ba cạnh

11) Dựng tam giác biết hai cạnh và góc nằm giữa

12) Dựng tam giác một cạnh kề hai góc

13) Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông

14) Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vuông và góc nhọn

15) Dựng đoạn thẳng mà bình phương của nó bằng tổng (hiệu) các bình phương của hai đoạn đẳng đã cho

1.3.2 Liên quan đường tròn:

16) Dựng tiếp tuyến của hai đường tròn cho trước

17) Dựng cung chứa góc α cho trước có hai điểm mút là A và B

18) Chia đôi một cung đã cho

19) Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó

20) Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho

21) Dựng đường tròn nội tiếp tam giác đã cho

22) Lấy một đoạn thẳng làm đường kính, dựng một đường tròn

1.3.3 Liên quan tỷ lệ:

23) Chia đoạn thẳng thành những phần tỷ lệ với những đoạn thẳng đã cho.24) Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước

25) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng thứ tư

Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Hãy dựng đường tròn nội

tiếp tam giác ABC

4) - Dựng giao điểm O của d và d' (phép dựng hình cơ bản 4)

5) - Dựng đường tròn tâm O , bán kính OA (phép dựng hình cơ bản 3)

Đường tròn ( O,OA) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

1.4 CÁC BƯỚC GIẢI VÀ DẠY BÀI TOÁN DỰNG HÌNH :

Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán đó

Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó

Sơ đồ giải một bài toán dựng hình thông thường gồm 4 bước:phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận

Bước 1: phân tích:

- Giả sử đã dựng được hình thoã mãn các yêu cầu bài toán

- Tìm ra các bộ phận của hình đã dựng được ngay ( có thể vẽ thêm hình phụ )

- Đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản đã biết

Bước 2: cách dựng:

- Dựa vào kết quả của phần phân tích, ta trình bày trình tự các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình cần dựng

Bước 3: chứng minh:

- Chứng minh rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng được thoã

mãn các yêu cầu bài toán

Bước 4: biện luận:

- Kiểm tra lại xem với những điều kiện nào của các giả thiết thì bài toán giải được và khi giải được thì có bao nhiêu hình dựng được gọi là số nghiệm hình

- Biện luận phải theo sát từng bước:

+ Nếu bài toán không qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình

đã cho thì những hình bằng nhau ( chỉ khác nhau về vị trí ) thoã mãn điều kiện đầu bài được xem là một nghiệm

+ Nếu bài toán có qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì mỗi vị trí được tính là một nghiệm

+ Nếu có tất cả n nhóm hình thoã mãn điêù kiện bài toán, mỗi nhóm hình gồm nhiều hình bằng nhau nhưng hình của nhóm này không bằng hình của nhóm kia hoặc kiểu khác thì bài toán có n nghiệm.

Lời giải đầy đủ của bài toán dựng hình bao gồm 4 bước trên, cốt yếu là bước dựng,quan trọng là bước phân tích, nhưng trong khi dạy, người dạy nên sử dụng linh hoạt các bước giải của một bài toán dựng hình.Tùy theo từng bài tập cụ thể, người dạy có thể hướng dẫn học sinh rút gọn bớt bước hoặc thêm một số bước khác như giả thiết, kết luận để giúp học sinh nắm rõ đề bài cần dựng cái gì

và cái gì đã cho để dựng được hình

Ví dụ: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = a, BC = b, AD = c,

+ Dựng tam giác ABC biêt AB = a, BC = b, AC = e

+ Trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng Cx //AB

- Biện luận:

Với a  b < e < a+b thì tam giác ABC luôn dựng được

Gọi AH là khoảng cách từ A tới Cx, để dựng được thì c >AH.Vậy: c >AH thì bài toán có 2 nghiệm hình

c = AH thì bài toán có 1 nghiệm hình

c < AH thì bài toán vô nghiệm

Mở rộng: Người dạy có thể đưa ra một số bài tập về dựng hình thang từ việc

thay đổi một vài dữ diệu của đề bài:

1) Dựng hình thang cân ABCD ( AB//CD) Biết AB = a, BC = b, AC = d 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) Biết AB = a,BC = b, góc B = α 3) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) Biết AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là α

Nhận xét:

Khi hướng dẫn học sinh giái bài tập này, phân tích rõ ràng giúp học sinh thấy được tam giác ABC có đủ ba yêú tố về cạnh nên trước hết ta dựng được ngay tam giác ABC Vậy vấn đề đặt ra là chỉ cần xác định đỉnh D Đỉnh D phải thoả mãn những yêu cầu nào của bài toán, suy ra cách dựng điểm D

1.5 DỰNG HÌNH BẰNG CÁC DỤNG CỤ KHÁC:

Ngoài hai dụng cụ thước và compa (ở đây là thước thẳng, một lề không chia khoảng) ta còn có nhiều dụng cụ khác trong dựng hình như êke, thước đo góc, thước thẳng một lề chia khoảng, thước thẳng hai lề chia khoảng và một số dụng

- Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4cm (thước thẳng chia khoảng)

- Dựng đường tròn tâm B, bán kính 7 cm (dùng thước có chia khoảng và phép dựng cơ bản 3)

- Dựng giao điểm C của đường tròn (B,7cm) và cạnh góc vuông kia

- Dựng đoạn thẳng BC (phép dựng cơ bản 2 )

Tam giác ABC là tam giác vuông cần dựng

C

A B

Nhận xét: Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nhưng để giảm đến

mức thấp nhất những sai sót và có được hình dựng tương đối hoàn thiện ta nên hạn chế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng thước thẳng và compa Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là phải dựng hình bằng thước và compa

CHƯƠNG II:

PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA

2.1 Điều kiện giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa:

Không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể dựng được bằng thước và compa (mặc dù có thể dựng bằng các dụng cụ khác)

Trước hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều qui về việc dựng một số đoạnthẳng mà độ dài biểu thị qua các đoạn thẳng đã cho Định lý sau cho thấy phạm

vi giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa

Định lý: Điệu kiện cần và đủ để một đoạn thẳngdựng được bằng thước và

compa là độ dài của nó biểu thị được qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ một

số hữu hạn các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc 2 ( khi phép toán có nghĩa )

(để hiểu rõ cách chứng minh định lý này, mời các bạn đọc thêm sách hình học 3-giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ cao đẳng sư phạm ).

2.2 GiảI bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao:

2.2.1Cơ sở lý thuyết: Mọi hình hình học đơn giản đều được xác định bởi một

số hữu hạn điểm nên ta có thể đưa bài toán dựng hình về việc dựng một số điểm nhất định Thông thường bao giờ cũng có hai điều kiện đã cho, với mỗi điều kiện chúng ta lần lượt dựng quỹ tích tương ứng Vì những điểm nằm trên quỹ tích thoã mãn điều kiện thứ nhất, những điểm nằm trên quỹ tích thứ hai thoả mãn điệu kiện thứ hai, cho nên giao điểm của hai quỹ tích đồng thời thoã mãn

cả hai điều kiện, đó là điểm cần tìm Phương pháp dựng hình dựa vào giao điểm của hai quỹ tích như vậy gọi là phương pháp tương giao

2.2.2 Các ví dụ cụ thể và từ đó mở rộng, nhận xét, đề nghị, rèn luyện tư duy cho học sinh:

Ví dụ1: Dựng tam giác ABC biết AB = c, BC = a, AC = b

Phân tích: Giả sủ dựng được tam giác ABC thoả yêu cầu bài toán:

AB = c, BC = a, AC = b,

Ta thấy: Điểm a thuộc (C,b)

-Dựng giao điểm A của (C,b) và (B,c).

-Nối A,B, C ta được tam giác ABC cần dựng

Ta thay đổi dữ kiện của bài toán:

- Dựng tam giác ABC có AB = c, BC = a, góc b = α

- Dựng tam giác ABC có AB = c, góc b = α, góc a = β

- Dựng tam giácABC vuông tại A , BC = 5cm, trung tuyến BM = 4cm

Nhận xét:

Qua bài tập này người dạy nên nhấn mạnh với học sinh: vậy một tam giác dựng được cần biết ba yếu tố (cạnh - cạnh - cạnh hay góc - cạnh - góc hay cạnh - góc -cạnh) Sau này khi gặp bài toán dựng hình tam giác biết được ba yếu tố nêu trên coi như là dựng được, không cần trình bày chi tiết

- Trên tia DE dựng điểm C : DC = 4cm

- Dựng tia Ax // EC, Cy // EA,

Từ (1),(2) và (3) Suy ra ABCD là hình thang cần dựng thoả mãn yêu cầu bài toán.

Mở rộng và phát triển bài toán:

Dựng hình thang ABCD ( AB // CD ) Biết AB = m; CD = 2m, C = α, D = β

-Ví dụ 3: Cho một góc nhọn xOy và một điểm A trên Oy Tìm một điểm M trên

đoạn OA sao cho nếu kẻ MP vuông góc với Ox thì OP = MA

Phân tích:

Giả sử đã dựng được M thuộc OA thoả yêu cầu bài toán

Ta thấy rằng nếu kẻ PN//AM và PN =AM thì AM// MP( hay AN

Mặt khác: PN = AM = OP  tam giác OPN cân

 O1 =N1

mà O2 =N1 ( PN//Oy) nên O1 =O2 Điều này có nghiã N thuộc Ot (Ot tia phân giác của góc xOy) (2)Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng Ox hạ từ A

Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với Ot

Vị trí điểm N hoàn toàn xác định, do đó ta dựng được hình

Cách dựng:

x

t

P N

O M A y

- Dựng tia phân Ot của góc xOy

- Qua A dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt Ot tại N

- Qua N dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại P

- Từ P dựng đường vuông góc với Ox cắt Oy tại M cần dựng

Chứng minh:

Ta có : MP // Oy  ONP = NOP ( So le )

Mà Ot là phân giác của góc xOy nên NOP = AON

Từ đó suy ra ONP = AON

Đối với bài toán trên, điểm N là giao điểm của hai quỹ tích giữa tia phân giác

Ot của góc xOy và đường thẳng qua A vuông góc với Ox việc tạo ra điểm N là rất quan trọng, vì sau khi xácđịnh được điểm N thì bài toán coi như không có gìkhó khăn Do đó ở bước phân tích của bài tập này, nếu người dạy giả sử rằng bài toán đã giải xong, kẻ PN// MA, PN//MA thì các em có thể nhận ra quỹ tích điểm N Từ đó suy ra cách dựng điểm M

Cách dựng:

- Dựng AB = 4cm

- Dựng góc BAx = 60o

- Dựng AyAx

- Dựng trung trực d của AB

- Dựng O là giao điểm của d và Ay

- Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA

- Dựng cung tròn Am'B đối xứng với cung AmB qua đường thẳng

AB

y m

A B

O'Ô

Chứng minh:

Theo cách dựng ta có:

AB = 4 cm x

xAB =AMB = 60O (cùng chắn cung AB) Vậy cung AmB là cung chứa góc α = 60o dựng trên đoạn AB = 4cm, tương tự cung Am'B là cung chứa góc α = 60o Biện luận : Bài toán luôn có hai nghiệm hình Nhận xét: Bài tập dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng m cho trước là bài

dựng hình cơ bản của lớp 9 Mỗi học sinh phải nắm vững được kiến thức này để làm cơ sở cho các bài tập dựng hình khác liên quan đến cung chứa góc

-Ví dụ 5: Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn(O,R) tại một điểm A cho trước thuộc đường tròn đó và tiếp xúc với mộtđường thẳng d cho trước không đi qua A Phân tích: Giả sử ta đã dựng được đường tròn(I,R1) thoã yêu cầu bài toán Ta thấy:

Vì đường tròn (I,R1) tiếp xúcvới đường tròn (O,R) tại A, nên tâm I phải nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm O, A Mặt khác: đường tròn (I,R1) tiếp xúc với BC và d, nên tâm I phải nằm trên đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng BC và d Cách dựng:

Dựng đường tròn (O,R)

Dựng điểm A thuộc (O)

Dựng đường thẳng d không đi qua A

Dựng tiếp tuyến AC của đường tròn (O,R)

Dựng giao điểm B của AC và d

Dựng tia phân giác Bt của góc hợp bởi hai đườn thẳngAC và d Dụng giao điểm I của đường thẳng OA và Bt

Dựng đường tròn (I,IA), đây là đường tròn cần dựng Chứng minh:

Ta có: Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại A Mặt khác:

Theo cách dựng ta có:

OI = OA + AI

I nằm trên tia phân giác Bt nên IA = IN

 (I) tiếp xúc với d B

Biện luận:

Nếu OA d bài toán có một nghiệm hình

Nếu OA không vuông góc với d , bài toán có hai nghiệm hình Mở rộng:

Ta có thể thay đổi một dữ kiện của đề toán để có được một bài tập khác: Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng d cho trước tại một điểm A cho trước trên đường thangr đó và tiếp xúc với một đường tròn khác cho trước

Nhận xét:

Trong bài tập này, yêu cầu đặt ra là cần dựng một đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O,R) và tiếp xúc với đường thẳng d.Để dựng được đường tròn cần biết tâm và bán kính Bài tập này giúp học sinh nhớ lại và vận dụng kiến thức đã học về tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn, vị trí tương đối của hai đường tròn, từ đó suy ra được tâm I là giao điểm của hai quỹ tích, bán kính là OI Như vậy qua việc dựng hình , chúng ta có thể kiểm tra được một số kiến thức cũ

2.3 Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình:

2.3.1Cơ sở lý thuyết:

-Khi giải bài toán dựng hình trong quá trình phân tích nếu ta thấy có mối quan hệ giữa hình đã cho và hình phải dựng với ảnh của chúng hay với ảnhcủa một bộ phận của chúng qua một phép biến hình nào đó , thì ta có thể dựng hình đó bằng phương pháp biến hình.

- Các phép biến hìnhthường được sử dụng là: phép tịnh tiến, phép đối xứngtrục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự

- Khó khăn của học sinh khi đứng trước một bài toán dựng hình là dấu hiệunào cho biết có thể sử dụng phương pháp biến hình và áp dụng phép biến hình nào.Sau đây sẽ xét các ví dụ minh hoạ khi sử dụng các phép biến hình

để dựng hình

2.3.2 Các ví dụ cụ thể và từ đó mở rộng, nhận xét , đề nghị , rèn luyện

tư duy cho học sinh:

2.3.2.1 Dựng hình bằngphương pháp biến hình với phép tịnh tiến:

Có nhiều bài toán dựng hình chúng ta không thể giải bàng các phép dựng hình cơ bản và bằng phương pháp tương giao, thì khi phân tích chúng ta thường di chuyển hình cần tìm hoặc hình cho trước đến một vị trí thích hợp để tiện cho việc dựng hình Mọi phương pháp di chuyển tịnh tiến gọi

là phương pháp tịnh tiến

Phương pháp tịnh tiến thông thường là di chuyển song song hình cần dựng đến một vị trí mới , sao cho các bộ phận của nó hợp với những bộ phận đã biết, tạo thành một hình mới dễ dàng dựng hơn Do đó theo phương pháp này thì đầu tiên cần dựng hình phụ , sau đó từ dựng hình phụ này suy ra hình cần dựng

Ví dụ 1 : Dựng hình thang ABCD biet AB = 3 cm, BC = 7cm,CD = 4cm, AD =

5cm

Phân tích:

Dựng tam giác ABE có BE = 2cm,AB = 3cm,AE = 4cm Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ m biến A  D

Ta có : Tịnh tiến theo vectơ m : D  A và C  E suy

ra tịnh tiến theo vectơ m : DC  AE

Ta đã dựng được tam giác ADE khi biết ba cạnh

Từ đó ta dựng các điểm C va D

Cách dựng:

- Dựng tam giác ABE có BE = 2 cm, AB = 3cm, AE= 4cm

-Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ m : A  D

-Thực hiện phép tinh tiến theo vectơ m: E  C

Vậy ABCD la hình thang cần dựng A D B E C Chứng minh: Tịnh tiến theo véctơ m điểm A  D

Tịnh tiến theo véc tơ m điểm E  C

Suy ra : tịnh tiến theo vectơ m: AD//EC

Hay AD//BC ABCD là hình thang

Mặt khác: tịnh tiến theo vectơ – m : A  D và E  C

Suy ra AE = DC = 4cm và AD = EC = 5cm

Suy ra BC = BE + EC = 7cm

Theo cách dựng: AB = 3cm

Vậy ABCD là hình thang cần dựng thoả yêu cầu Biện luận : Trong ba đại lượng AB,DC, BC-AD nếu có hai đại lượng bất kỳ lớn hơn đại lượng thứ ba thì bài toán có một nghiệm hình

Ngược lại bài toán không có nghiệm hình Nhận xét: Bài tập này có thể trình bày theo ngôn ngữ của phương pháp tương giao nhưng chúng tôi đã trình bày nó theo phương pháp tịnh tiến Từ yêu cầu về dựng hình thang ABCD ta dịch gần hai đỉnh (D  A, C  E) và dẫn đến việc dựng một tam giác có đủ các yếu tố để dựng

2.3.2.2 Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép đối xứng trục, đối xứng tâm :

Ta cố định một đường hay một điểm thích hợp trong hình, đối xứng hình qua một điểm hay một đường đó, lợi dụng hình đối xứng có thể tìm được cách giải