Một số phương pháp giải bài toán dựng hình

Thông th-ờng các em h c sinh ch-a hiểu một cách đầy đủ về kiến thức cơ bản, các suy luận để giải một bài toán dựng hình.. Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó khăn trong việc

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

A MỞ ĐẦU 3

I Lí do chọn đề tài 3

II Ph-ơng pháp nghiên cứu 4

III Nội dung chính của đề tài 4

B NỘI DUNG 6

CHƯƠNG II CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HèNH 6

1 Thế nào là dựng hình 6

2 Các phép dựng hình cơ bản bằng th-ớc và compa: 6

3 Giải bài toán dựng hình 6

4 Một số bài toán dựng hình cơ bản: 7

5 Các b-ớc giải một bài toán dựng hình 7

6 Áp dụng 17

7 Dựng hình bằng các dựng cụ khác 23

8.Điều kiện để giải đ-ợc bài toán dựng hình (bằng th-ớc và compa) Error! Bookmark not defined CHƯƠNG II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HèNH 27

1 Ph-ơng pháp quỹ tớcht-ơng giao 27

1.1 Cơ sở lý thuyết 27

1.2.Cỏc bài toỏn ỏp dụng 27

2 Ph-ơng pháp đại số 35

2.1 Cơ sở lý thuyết 35

2.2.Cỏc bài toỏn ỏp dụng 36

3 Ph-ơng pháp biến hình 43

3.1 Cơ sở lý thuyết: 43

3.2.Cỏc bài toỏn ỏp dụng 43

3.2.1 Dựng hỡnh bằng phương phỏp biến hỡnh với phộp tịnh tiến: 43

3.2.2 Dựng hỡnh bằng phương phỏp biến hỡnh dựng phộp đối xứng trục, đối xứng tõm: 45

3.2.3 Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép quay 46

3.2.4 Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép vị tự 49

4 C¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c 51

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 53

C KẾT LUẬN CHUNG 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

A MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Ở bậc THCS,b i h c dựng hình đ u ti n đ-ợc đ-a vào ở lớp 7 Ở đó khái niệm về dựng hình ng-ời ta không đ-a ra một cách tổng quát mà thông qua một bài tập cụ thể Tiếp đó bài học chính thức thứ hai về dựng hình là bài "Bài toán dựng hình 4 b-ớc" đ-ợc đ-a vào ch-ơng I của sách "Hình học 8" Và ở THCS ng-ời ta không đ-a ra các ph-ơng pháp dựng hình mà chỉ th-ờng dựng hình trên những số liệu cụ thể nên nhiều khi dựng hình không có b-ớc biện luận Vì đ-ợc

đ-a vào ít nh- vậy nên giáo viên và học sinh THCS đa số không coi trọng và dành nhiều thời gian cho nó Vì các emh c sinh hiểu dựng hình một cách máy móc và không vận dụng chúng một cách linh hoạt

Dựng hình là một dạng bài tập khó đối với học sinh THCS Thông th-ờng các em h c sinh ch-a hiểu một cách đầy đủ về kiến thức cơ bản, các suy luận để giải một bài toán dựng hình Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó khăn trong việc h-ớng dẫn, gợi ý giúp học sinh tìm ra yếu tố liên quan để dựng

đ-ợc hình thỏa mãn yêu cầu bài toán.Nhận thức rõ đ-ợc tầm quan trọng của việc giảng dạy và học tập toán dựng hình ở cấp II nói chung, việc bồi d-ỡng học sinh giỏi nói riêng nên khi đ-ợc chọn làm đề tài tốt nghiệp thì em đã chọn đề tài "Một

số ph-ơng pháp giải bài toán dựng hình" Đây là một đề tài khó nh-ng em mạnh dạn đi sâu nghiên cứu đề tài này mong rằng phần nào chỉ ra đ-ợc những -u điểm, sự cần thiết của toán dựng hình cũng nh- những khó khăn, lúng túng khi học toán dựng hình Qua đó các em h c sinh biết cách giải toán dựng hình một cách nhanh chóng, có ph-ơng pháp và yêu thích, say mê học loại toán này Ngoài ra khi làm đề tài này em cũng hy vọng tích luỹ đ-ợc cho mình thêm kiến thức để sử dụng nó khi ra tr-ờng Em thực hiện đề tài này với cả sự cố gắng tìm tòi,

đ-ợc sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Ths Trần Mạnh Hùng và tham khảo các t- liệu có liên quan Đồng thời có trình bày thêm những quan điểm nhận xét riờng của mình

Vì kinh nghiệm, khả năng và kiến thức còn có hạn nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các anh

chị, các bạn nghiên cứu đóng góp ý kiến để em hoàn chỉnh, khắc phục khuyết

điểm và lấy nó làm kinh nghiệm cho việc dạy học sau khi ra tr-ờng

II Ph-ơng pháp nghiên cứu

Để làm đề tài này em đã dùng ph-ơng pháp sau:

- S-u tầm tài liệu và chọn lọc các tài liệu có liên quan đến đề tài

- Đọc và nghiên cứu tài liệu, từ đó tổng hợp và khái quát nên rút ra những kết luận khoa học đ-a vào trong đề tài

III Nội dung chính của đề tài

Đề tài này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, ph-ơng pháp giải các bài tập dựng hình bằng ph-ơng pháp t-ơng giao, ph-ơng pháp đại số và ph-ơng pháp biến hình Ở sau mỗi bài tập em có đ-a ra những bài tập mở rộng giúp sinh viên s- phạm khi đi thực tập và bắt đầu b-ớc vào nghề có thể l-u ý hơn trong cách dạy, rèn luyện t- duy cho học sinh Đồng thời giúp cho học sinh tránh

đ-ợc những khó khăn sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình

- Đề tài gồm hai ch-ơng:

Ch-ơng I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình

Ch-ơng II: Một số phương phỏp giải b i toỏn dựng hỡnh

- Kết quả nghiên cứu:

Kiến thức về dựng hình ở cấp THCS không đ-ợc sách giáo khoa đi sâu về

lý thuyết và bài tập Đây là dạng bài tập khó Sách giáo khoa đã đứa ra một số bài tập cơ bản, đơn giản B-ớc đầu cho các em c sinh làm quen với dựng hình Các bài tập về dựng hình có tác dụng tốt trong việc phát triển khả năng phân tích, suy luận, dự đoán các khả năng xảy ra và rè a học sinh Vì vậy trong đề tài này, em xin trình bày rõ ràng, chi tiết các kiến thức cơ bản về dựng hình:

1 Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình đ-ợc dựng

2 Các phép dựng hình cơ bản bằng th-ớc và compa (5 tiên đề về dựng hình)

3 Giải bài toán dựng hình

4 Các bài toán dựng hình cơ bản

5 Các b-ớc giải và dạy bài toán dựng hình (th-ờng gồm 4 b-ớc)

6 Dựng hình bằng các dụng cụ khác (eke, th-ớc đo độ…)

7 Điều kiện để giải được b i toỏn dựng hình bằng th-ớc và compa

8 Ph-ơng pháp t-ơng giao và một số ví dụ cụ thể vàcó b i tập mở rộng

9 Ph-ơng pháp đại số và một số ví dụ cụ thểvà có b i tậpmở rộng

10 Ph-ơng pháp sử dụng phộp biến hình và một số ví dụ cụ thểvàcú b i tập

Xin chân thành cảm ơn

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HèNH

1 Thế nào là dựng hình:

Cho bộ dụng cụ dựng hỡnh B đặc trưng bởi cỏc phộp dựng cơ bản (α) Dựng hỡnh H thỏa món cỏc điều kiện T n o đú đó cho l liệt k dóy hữu hạn cỏc phộp dựng cơ bản trong (α) c n thực hiện để được hỡnh H.

Chú ý: Ta cần phân biệt đ-ợc việc vẽ hình mà chúng ta th-ờng thực hiện tr-ớc

đây với dựng hình vừa mới nêu trên

- Vẽ hình là ta có thể dùng bất kì một dụng cụ nào (th-ớc kẻ, eke,compa, th-ớc

đo góc…) để vẽ hình ấy lên giấy

- Dựng hình là ta phải nêu đ-ợc một dãy thứ tự các phép dựng hình cơ bản để tạo

ra hình ấy chỉ với hai dụng cụ là th-ớc kẻ và compa

- Dựng giao điểm (nếu có) của hai hình đã biết

- Dựng điểm tuỳ ý trên mặt phẳng (thuộc hay không thuộc hình đã dựng)

Mọi phép dựng khác đều phải quy về 5 phép dựng cơ bản trên

3 Giải bài toán dựng hình

Là ta đi tìm các nghiệm của bài toán

Nghiệm của bài toán dựng hình là hình dựng đ-ợc thoả mãn điều kiện của bài toán Đi tìm nghiệm của bài toán nghĩa là chúng ta phải:

- Xác lập một số hữu hạn tr-ờng hợp bao hàm tất cả những khả năng có thể xảy ra đối với việc lựa chọn những cái đã cho

- Đối với mỗi tr-ờng hợp trả lời câu hỏi bài toán có nghiệm hay không và nếu có thì bao nhiêu nghiệm

- Đối với mỗi tr-ờng hợp mà bài toán có nghiệm, chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản cần tiến hành theo một thứ tự nào đó để có thể dựng

đ-ợc nó bằng th-ớc và compa

Nếu những hình không yêu cầu về vị trí thì những hình đó bài toán yêu cầu dựng coi nh- một nghiệm Nếu có yêu cầu về vị trí thì những vị trí khác nhau cho ta những hình khác nhau

Để cho đơn giản trong thực hành, trình bày lời giải ng-ời ta thêm các bài toán dựng hình cơ bản ngoài những phép dựng hình cơ bản

- Qua AB ta dựng một đường thẳng d cắt đường tròn (B, AB) tại C

Vậy đoạn thẳng BC là đoạn thẳng cần dựng

Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước

Cách dựng:

Cho trước gúc ̂ và tia để dựng đường thẳng qua A hợp với một gúc bằng ̂ , ta l m như sau:

- Lấy trờn tia một điểm B

- Dựng đường trũn tõm O bỏn kớnh bằng AB cắt Ox và Oy tại D v C

- Dựng đường trũn tõm A bỏn kớnh AB, v đường trũn tõm B bỏn kớnh CD hai đường trũn n y cắt nhau tại E v F

C

- Lấy một giao điểm của hai cung tr n, g i giao điểm đó l A

- Vẽ đoạn thẳng AB, AC Ta có tam giác ABC l tam giác c n dựng

A

- Trên tia By lấy điểm C sao cho BC = b

- Dựng đoạn thẳng AC, ta được ABC

3 – Dựng ABC , biết BC = a, ̂ , ̂

- Vẽ đoạn thẳng BC = a

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC, dựng các tia Bxvà ̂ ,

̂ Hai tia tr n cắt nhau tại A Ta được ABC

Bµi to¸n 4: Dùng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng Dùng trung ®iÓm cña mét

a

x y

Bµi to¸n 5: Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

Cách dựng:

- Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A

- Lấy A l m tâm dựng một đường tròn cắt đường thẳng l tại hai điểm B, C

- Dựng đường trung trực của BC Đây chính l đường thẳng đi qua A v

N

- Dựng đường thẳng t đi qua A v vuông góc với l

- Dựng đường thẳng u đi qua A cuông góc với t

Đường thẳng u chính l đường thẳng đi qua A v song song với đường

thẳng l

Bài toán 7: Dựng đường phân giác của một góc

Cách dựng:

- Cho trước góc ̂

- Lấy O l m tâm dựng một đường tròn cắt Ox, Oy tại A, B

- Dựng đường trung trực của AB, đây chính l đường phân giác của góc ̂

Bài toán 8: Dựng tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm cho trước

Cách dựng:

t

u

l A

x

y B A

O

- Dựng trung điểm B của OA

- Lấy B l m tâm, dựng đường tròn bán kính AB Đường tròn n y cắt (O) tại hai điểm C v D

- Hai đường thẳng AC v AD chính l tiếp tuyến của trường tròn (O)

Bài toán 9: Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn cho trước

Cách dựng:

Dựng sẵn hai đường tròn (O);(O’)

*Tiếp tuyến chung ngoài:

- Dựng bán kính OM bất kì

- Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’

- A l giao điểm của MM’ v OO’

- Dựng đường tròn đường kính O’A cắt (O’) tại B v C

Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung ngo i của (O); (O’)

O

M

O'

*Tiếp tuyến chung trong:

- Dựng bán kính OM bất kì

- Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’

- A l giao điểm của MM’ v OO’

- Dựng đường tròn đường kính OA cắt (O) tại B v C

- Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung trong của (O); (O’)

Bài toán 10: Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước

Ví dụ: Dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là 2

x ab ) Cách dựng:

M

O'

x

O a

C

B E

A

- Dựng đường thẳng qua C v vuông góc với AB Đường thẳng n y cắt (O,

Mặt khác, vì AEBcó đường trung

tuyến OE ứng với cạnh huyền AB v

bằng 1

2ABnên tam giác AEB vuông

tại E

Do đó theo hệ thức về đường cao v

hình chiếu của hai cạnh góc vuông tr n cạnh huyền: Trong một tam giác vuông,

đường cao ứng với cạnh huyền l trung

bình nhân của hai đoạn thẳng m nó định ra tr n cạnh huyền

Bài toán 11: Dựng cung chứa góc có hai điểm mút A và B

- Dựng đoạn thẳng AB

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB

- Dựng tia Ax tạo với AB một góc 

- Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax

- G i O là giao điểm của Ay với d

- Vẽ cung tròn A mB

, tâm O, bán kính OA sao cho cung n y nằm ở nửa

mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax

5 C¸c b-íc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh

Dạng toán: “Dựng hình H có tính chất ”

Phương pháp giải toán: Để giải b i toán dựng hình ta thực hiện 4 bước B-íc 1: Ph©n tÝch

Xét xem yếu tố n o dựng được ngay

- Đoạn thẳng (khi biết độ d i)

- Góc (khi biết số đo góc)

- Tam giác (khi đủ b i toán yếu tố c.g.c, g.c.g, c.c.c)

- Đường tròn (khi biết tâm v bán kính)

A

m

Ph n phõn tớch chớnh l ph n lý giải tại sao cú cỏch dựng ở bước 2 Ph n phõn tớch bắt đ u bằng cỏch giả sử hỡnh H đó dựng được Từ đú suy ra muốn dựng được hỡnh H phải dựng được hỡnh H’, rồi trước khi dựng được H’ lại phải dựng được H’’, cứ như thế ta đi “giật lựi” để cú thể tỡm ra hỡnh phải dựng đ u

ti n Nếu ph n phõn tớch của ta l đỳng thỡ cỏch dựng chẳng qua l quỏ trỡnh ngược lại của ph n phõn tớch

Chú ý: Phân tích là b-ớc quan trọng nhất vì nó cho ta biết phải dựng nh- thế nào để đ-ợc hình theo yêu cầu của đề bài

B-ớc 2: Cách dựng

- Trỡnh b y cỏch dựng theo thứ tự cỏc bước phõn tớch

- Minh hoạ bằng hỡnh vẽ (cú nột thước v compa lưu lại trờn hỡnh)

- Biện luận theo cách dựng là ở mỗi b-ớc dựng đó xét xem phải thoả mãn

điều kiện gì thì b-ớc dựng này thực hiện đ-ợc và nếu dựng đ-ợc thì có bao nhiêu nghiệm

- Số nghiệm bài toán dựng hình ta quy -ớc nh- sau:

Nếu bài toán không quy định vị trí của hình phải tìm đối với mỗi hình đã cho t-ơng ứng thì những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn điều kiện đầu bài đã đ-ợc xem là một nghiệm

Biện luận là một b-ớc góp phần rèn luyện t- duy đầy đủ cho học sinh (biện luận đủ), t- duy khái quát cho học sinh

Chỳ ý: Nếu cỏc bước dựng hỡnh đó rừ r ng thỡ khụng c n l m bước phõn tớch

Lời giải đầy đủ của bài toán dựng hình bao gồm 4 b-ớc trên, cốt yếu là b-ớc dựng, quan trọng là b-ơc phân tích, nh-ng trong khi dạy, ng-ời dạy nên sử dụng linh hoạt các b-ớc giải của một bài toán dựng hình Tùy theo từng bài tập

cụ thể, ng-ời dạy có thể h-ớng dẫn học sinh rút gọn bớt hoặc thêm một số b-ớc khác nh- giả thiết, kết luận để gúp học sinh nắm rõ đề bài cần dựng cái gì và cáI gì đã cho để dựng đ-ợc hình

Tóm lại, khi làm một bài toán dựng hình chúng ta không đ-ợc bỏ một b-ớc nào trong 4 b-ớc trên Nếu bỏ b-ớc phân tích hoặc phân tích không rõ ràng tổng quát có thể dẫn đến sót nghiệm Nếu bỏ b-ớc chứng minh có thể dẫn đến thừa nghiệm vì không phải tất cả kết quả của các b-ớc dựng đều là hình phải tìm

Bài giải:

Bước 1 Phân tích

Giả sử ta dựng đ-ợc ABC thoả mãn:

Cạnh BC = a, đ-ờng cao AH = h, trung tuyến AM = m Ta phải xác định

đỉnh A thoả mãn 2 điều kiện:

- A cách BC một khoảng bằng h, suy ra A  đ-ờng thẳng p // BC và cách

- m < h  bài toán vô nghiệm (không có điểm A)

Bài toán 2:

Cho đ-ờng thẳng m song song với đ-ờng thẳng n và điểm A không thuộc 2

đ-ờng thẳng đó Dựng điểm Bm, C  n sao cho ABC là tam giác đều

Bài giải:

Bước 1 Phân tích

Giả sử đã dựng đ-ợc điểm B  m, điểm C  n để ABC đều

Dựng hình chiếu vuông góc của A trờn m là E

Dựng tam giác đều AEF Xét AEB và AFC ta có:

- Từ F dựng đ-ờng vuông góc với AF cắt n tại C

- Nối A với C, dựng đ-ờng tròn tâm A bán kính AC cắt m tại B

- Nối A với B, B với C ta đ-ợc ABC cần dựng

Bước 3 Chøng minh

XÐt  vu«ng AEB vµ  vu«ng AFC cã:

AB = AC  vu«ng ABF =  vu«ng ACF (c.g.c)

 DAC c©n  A = BD ®-êng trung trùc cña CD

Bước 2.C¸ch dùng

- Dùng ®o¹n BC = a

- Dùng tia Bx sao cho ̂ = 

- Dùng ®iÓm D trªn Bx sao cho BD = d

- Nèi D víi C

- Dùng ®iÓm A lµ giao cña BD vµ ®-êng trung trùc cña CD

- Nèi A víi C ta ®-îc ABC cÇn dùng

- d < a  bµi to¸n v« nghiÖm

- d > a  Bµi to¸n cã mét nghiÖm

- Dùng ®iÓm H  ®-êng trßn ®-êng kÝnh BC sao cho HC = h

- Dùng ®iÓm A lµ giao ®iÓm cña BH vµ (M, m)

Bài toán có nghiệm khi

a BC h

Với eke thì vuông góc xem nh- dựng đ-ợc

Với th-ớc đo góc thì góc có số đo cho tr-ớc xem nh- dựng đ-ợc

Với th-ớc thẳng một lề có chia khoảng thì đoạn thẳng có độ dài cho tr-ớc xem nh- dựng đ-ợc

Ví dụ: Dựng một tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông dài 4cm và cạnh huyền dài 7cm (Dựng eke, thước chia khoảng để dựng)

Giải:

- Dựng góc vuông đỉnh A (dùng eke)

- Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4cm (dùng th-ớc thẳng chia khoảng)

- Dựng đ-ờng tròn tâm B bán kính 7cm (dùng th-ớc có chia khoảng và phép dựng cơ bản 3)

- Dựng giao điểm C của đ-ờng tròn (B, 7cm) và cạnh góc vuông kia

- Dựng đoạn thẳng BC (phép dựng cơ bản 2)

ABC là tam vuông cần dựng

4cm C

Nhận xét: Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nh-ng để giảm

đến mức thấp nhất những sai sót và có đ-ợc hình t-ơng đối hoàn thiện ta nên hạn

chế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng th-ớc thẳng và compa

Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là phải

dựng hình bằng th-ớc thẳng và compa

8 Điều kiện để giải đ-ợc bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa

Không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể dựng đ-ợc bằng th-ớc và

compa (mặc dù có thể dựng bằng các dụng cụ khác)

Tr-ớc hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều quy về việc dựng một số

đoạn thẳng mà độ dài biểu thị bằng các đoạn thẳng đã cho Định lý sau cho thấy

phạm vi giải đ-ợc của bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đoạn thẳng dựng đ-ợc bằng th-ớc và

compa là độ dài của nó biểu thị đ-ợc qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ một

số hữu hạn các phép tính : cộng, trừ, nhân, chia hoặc căn bậc hai (khi phép tính

đó có nghĩa)

(Để hiểu rõ cách chứng minh định lý này mời các bạn đọc thêm sách hình

học 3 - giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ cao đẳng s- phạm)

Ví dụ: Dựng tam giác ABC biết hai cạnh BC = a, AB = c và đường phân giác

Để dựng được tam giác ABC ta cần

dựng được cạnh b là nghiệm của

phươngtrình (2), nhưng (2) là một phương

trình bậc ba cho nên bài toán nói chung

không giải được bằng thước và compa

b c

a d

A

B

Không phải chỉ dùng thước thẳng v compa m vẽ được m i đa giác đều Hỏi vậy, khi n o thì một đa giác đều có thể vẽ được chỉ bằng thước v compa?

Năm 1976, nh toán h c Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác

đều có 17 cạnh bằng thước thẳng v compa, bằng cách xem trước các đỉnh của

đa giác tr n vòng tròn như l nghiệm của phương trình số phức zn

– 1 = 0

Năm năm sau ông đã khai triển được lý thuyết g i l “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cố số

h c) Lý thuyết n y giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều có thể

vé được bằng thước v compa Điều kiện đó như sau:

“Một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được chỉ bằng thước và compa khi

n bằng tích số của một lũy thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat

nguyên tố khác nhau.”

Nếu g i F1, F2,… l các số Fermat nguy n tố khác nhau, thì điều kiện đó có thể viết như sau:

Đa giác đều n cạnh vẽ được khi

Gauss cũng cho l điều kiện đó cũng l điều kiện c n nhưng không chứng

minh Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh được điều kiện của Gauss cũng l điều kiện đủ Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss v chứng minh đ y đủ

bởi Wantzel được g i l :

Định lý Gauss – Wantzel:

“Điều kiện ắt có v đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được bằng thước thẳng v compa l n bằng tích số của một lũy thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermay nguy n tố khác nhau.”

Số Fermat: là số có dạng với k là một số nguyên

Cho đến hiện nay, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là:

F1 = 21 + 1 = 3, F1 = 22 + 1 = 5, F3 = 24 + 1 = 17

F4 = 28 + 1 = 257, F5= 216 + 1 = 65537

Theo điều kiện của Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng v compa:

Để ý l m i đa giác đều có số cạnh l lũy thừa của 2 như n = 4 = 22, n = 8 = 23,

n = 16 = 24,… đều có thể vẽ được chỉ bằng thước v compa

Các đa giác đều có n cạnh sau đây không thể vẽ đƣợc bằng thước thẳng v

compa:

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, …

Thật vậy, không có số m n o v số Fermat nguy n tố n o m có tích số

2mF1F2F3 bằng 7, 9, 11,…

Chương II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HèNH

điều kiện 1 Quỹ tích này là hình H1 Sau đó ta tạm bỏ điều kiện 1 và tìm quỹ tích thoả mãn điều kiện 2 Quỹ tích này là hình H2 Qua đó một điểm thoả mãn cả hai điều kiện 1 và 2 phải là giao của hình H1 và H2