Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Để giúp các em học sinh phổ thông, đặc biêt là các em học sinh khá, giỏi hứng thú hơn với bài toán dựng hình, trong khóa luậnnày, tôi xin cung cấp một số lí thuyết tổng quát nhất về bài

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Người hướng dẫn khoa học

GVC Đinh Văn Thuỷ

HÀ NỘI - 2007

Khóa luận tốt nghiệp

2

Lời cảm ơn

Trong quá trình hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự độngviên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Đinh Văn Thủy, cùng những ý kiếnđóng góp quý báu của các thầy cô trong tổ Hình học, Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhấttới thầy Đinh Văn Thủy - người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo em trongsuốt quá trình làm khóa luận Đồng thời em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luậnnày

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2007

Sinh viên

Vũ Thị Thúy

Khóa luận tốt nghiệp

3

Mục lục

Trang

L

ờ i nói đầ u 5

Chương 1: Bài toán dựng hình 7

1.1.M ộ t s ố đị nh ngh ĩ a 7

1.1.1.Hình là gì? 7

1.1.2.Nghi ệ m c ủ a m ộ t bài toán d ự ng hình là gì? 7

1.1.3.Gi ả i m ộ t bài toán d ự ng hình là gì? 7

1.2.Các b ướ c gi ả i m ộ t bài toán d ự ng hình 8

1.3.Các ph ươ ng pháp d ự ng hình 8

Ch ươ ng 2: phép ngh ị ch đả o 10

2.1 Đị nh ngh ĩ a và các tính ch ấ t c ủ a phép ngh ị ch đả o 10

2.1.1 nhĐị ngh ĩ a 10

2.1.2.M ộ t s ố tính ch ấ t c ủ a phép ngh ị ch đả o 10

2.2.Các đị nh lí 11

2.3.ả nh c ủ a đườ ng th ẳ ng và đườ ng tròn qua phép ngh ị ch đả o 12

Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình 13

3.1 Bài toán 1 13

3.2.Bài toán 2 15

3.3.Bài toán 3 15

3.4.Bài toán 4 15

3.5.Bài toán 5 17

3.6 Bài toán 6 19

3.7.Bài toán 7 21

3.8.Bài toán 8 23

3.9.Bài toán 9 26

3.10.Bài toán 10 27

3.11 Bài toán 11 29

3.12.Bài toán 12 29

3.13.Bài toán 13 29

3.14.Bài toán 14 31

3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33

3.16.Bài toán 16 38

Chương 4: Một số Bài tập áp dụng 40

4.1 Đề bài 40

4.2 Hướng dẫn giải 41

Phần kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50

1 Lí do chọn đề tài

Lời nói đầu

Hình học là môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu toán Việcgiải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách hay, độc đáo

sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn hình học Với mỗi bài tập

có thể có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương phápvéctơ, phương pháp biến hình,

Trong chương trình hình học phổ thông, bài toán dựng hình luôn là bàitoán khó đối với học sinh, các em thường ngại hoặc không thích giải bài toándựng hình Vì lí do sư phạm mà các sách giáo khoa phổ thông không đi sâunghiên cứu lí thuyết của bài toán dựng hình, cũng như những phương phápgiải bài toán dựng hình Để giúp các em học sinh phổ thông, đặc biêt là các

em học sinh khá, giỏi hứng thú hơn với bài toán dựng hình, trong khóa luậnnày, tôi xin cung cấp một số lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựng hìnhđồng thời đưa ra một phương pháp giải rất hay bài toán dựng hình dựa vàophép nghịch đảo

Phép nghịch đảo là một phép biến hình không được dạy trong chươngtrình phổ thông, mà chỉ được dạy cho học sinh các lớp chuyên Do phépnghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên

nó có ứng dụng to lớn đối với lớp các bài toán dựng đường tròn Việc qui bàitoán từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng thỏa mãn một số yêu cầu nào

đó, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Chính vì những lí do đó mà tôi đã chọn đề tài: "Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình trong mặt phẳng".

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lớp các bài toán dựng hình (chủ yếu là dựng đường tròn)dựa vào phép nghịch đảo Từ đó thấy được tính ưu việt của phép biến hình, cụthể là phép biến hình nghịch đảo, đối với các bài toán dựng hình trong mặtphẳng.

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán học và cáctài liệu có liên quan đến nội dung đề tài

4 Nội dung khóa luận

Khóa luận này trình bày những ứng dụng của phép nghịch đảo giải bàitoán dựng hình trong mặt phẳng Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phépnghịch đảo trong việc giải các bài toán dựng hình, luận văn còn đưa ra các bàitoán biến đổi từ bài toán ban đầu mà vẫn sử dụng phép nghịch đảo để giải

Nội dung khóa luận gồm 4 chương:

Chương 1: Bài toán dựng hình.

Chương này cung cấp những kiến thức tổng quát nhất của bài toándựng hình

Chương 2: Phép nghịch đảo.

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất, các định lí của phépnghịch đảo

Chương 3: ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình.

Chương này gồm các bài toán dựng hình có sử dụng phép nghịch đảo để giải.Cuối mỗi bài toán đều có nhận xét và những bài toán suy ra từ bài toán banđầu

Chương 4: Một số bài tập áp dụng.

Chương này gồm 6 bài tập, tương ứng với mỗi bài đều có hướng dẫn giải

Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tôi khôngtránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô vàcác bạn sinh viên.

Chương 1 Bài toán dựng hình

Chương này cung cấp những lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựnghình trong mặt phẳng

1.1 Một số định nghĩa

1.1.1 Hình là gì?

Hình là một tập hợp khác rỗng những điểm

1.1.2 Nghiệm của một bài toán dựng hình là gì?

toán đó

hạn các phép dựng cơ bản cần phải thực hiện để có nghiệm của bàitoán

1.1.3 Giải một bài toán dựng hình là gì?

Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó Xét xemtrong trường hợp nào thì bài toán có nghiệm, nếu có thì có bao nhiêu nghiệm

Về số nghiệm của bài toán dựng hình, ta quy ước như sau:

những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn bìa toán thì sẽđược xem là một nghiệm

 Nếu đề quy định rõ vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thìnhững hình bằng nhau nhưng khác nhau về vị trí vẫn được coi là nhữngnghiệm khác nhau.

1.2 Các bước giải một bài toán dựng hình

Nói chung, trừ những bài toán quá dễ, muốn giải một bài toán dựnghình, người ta thường thực hiện bốn bước:

Xác nhận hình đã dựng thực sự thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề.Trong bước này ta xem như các phép dựng ở phần 2 đều thực hiện được

Xét xem những yếu tố đã cho phải thoả mãn những điều kiện nào để cóthể dựng được hình phải tìm và nếu dựng được thì có bao nhiêu hình như thế.Nói cách khác là thiết lập điều kiện giải được và xác định số nghiệm của bàitoán

1.3 Các phương pháp dựng hình

Nói chung có 3 phương pháp chính hay sử dụng:

Đó là phép nghịch đảo.

Chương 2 phép nghịch đảo

2.1 Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo

Thì phép biến hình f gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo là f(O, k)

Phép nghịch đảo hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phươngtích k của nó

3 Nếu k < 0 thì hai điểm M và M' = f(M) nằm về 2 phía đối với điểm

O Khi đó ta không có điểm kép,do đó không có đường tròn nghịch đảo vì k <0

2.2 Các định lí

Chúng ta công nhận các định lí sau về phép nghịch đảo Các định lí đãđược chứng minh rõ ràng trong các sách tham khảo, ở đây ta chỉ đưa ra để ápdụng vào giải các bài toán liên quan

2.2.1 Định lí 1

Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 thì mọi đường tròn

đi qua hai điểm tương ứng M và M' = f(M) đều trực giao với đường trònnghịch đảo của phép nghịch đảo đó

Hệ quả 1: Qua phép nghịch đảo với phương tích k > 0, mọi đường tròn

trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó

2.2.4 Định lí 4

Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O, k) và f'(O, k') làmột phép vị tự tâm O, tỉ số k'

k

Hệ quả 2: Hình dạng của một hình H trong một phép nghịch đảo không

phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cựcnghịch đảo

2.2.5 Định lí 5

Cho hai điểm A, B và ảnh A', B' của chúng trong một phép nghịch đảocực O, phương tích k Độ dài các đoạn thẳng AB, A'B' liên hệ với nhau bởi hệ

Hệ quả 3: Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của

nó biến thành điểm đối xứng I' của cực nghịch đảo O qua d

Chương 3 ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình

Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳngnên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Đặcbiệt là các bài toán liên quan đến việc dựng đường tròn Việc quy bài toán từdựng đường tròn sang dựng đường thẳng làm cho bài toán trở nên đơn giảnrất nhiều Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo

là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải làcác bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao củađường, sự tiếp xúc của các đường

Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo là điểm cốđịnh, phương tích nghịch đảo là hằng số giúp cho việc dựng một số điểmthuộc hình cần dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn Dùng phép nghịchđảo chủ yếu ở bước phân tích giải được nhiều bài toán dựng đường tròn thỏamãn các điều kiện nào đó

Dưới đây là một số bài toán dựng hình giải bằng phép nghịch đảo

3.1 Bài toán 1

Dựng đường tròn thoả mãn điều kiện: đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc với một đường tròn () = (O, R) cho trước.

Bài giải

 Phân tích:

xúc với đường tròn ()

đường tròn () và

 

 Biện luận:

Nhận xét:

/ ()) ta dễ dàng dựng được đườngtròn(

)

được

đưa về bài toán dựng hình cơ bản như dựng tiếp tuyến của đường tròn, dựngđường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng mà học sinh phổ thông đã biếtcách dựng Nếu thay đổi một số yêu cầu hay một vài giả thiết của bài toán 1 ta

sẽ được một bài toán mới có cách giải tương tự

Nếu thay điểm B bằng một đường thẳng d ta được bài toán sau:

3.2 Bài toán 2

Dựng đường tròn (

) thoả mãn điều kiện: Đi qua một điểm A cho

trước và tiếp xúc với một thẳng d cho trước đồng thời tiếp xúc với đường tròn () cho trước.

Nếu ta coi đường thẳng là đường tròn có tâm ở xa vô tận và điểm B làvòng tròn có bán kính bằng 0 thì ta có bài toán sau:

3.3 Bài toán 3

Dựng đường tròn (

) thoả mãn điều kiện: đi qua một điểm A cho

trước và tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước.

Trong bài toán 2, từ yêu cầu của bài toán, học sinh có thể suy ngayđược các trường hợp xảy ra của bài toán tùy vào vị trí của điểm A thuộc haykhông thuộc đường thẳng d, điểm A thuộc đường tròn

()

hay không thuộc

bài toán sau

3.4 Bài toán 4

) tiếp xúc với đường tròn ()

cho trước đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d tại một điểm A cho trước.

Ta có thể giải bài toán này như sau:

tiếp xúc với () nên d1 tiếp xúc với () tại M1

O M

 Chứng minh: Với phép nghịch đảo f=f(A, P A

 Biện luận:

toán có hai nghiệm

Nhận xét: Nếu thay giả thiết () tiếp xúc với đường

điểm

M cho trước thì bằng cách kẻ hình phụ là đường thẳng d tiếp xúc với

M ta được bài tập trên

(

)tạiBài toán 3 là bài toán khá quen thuộc đối với học sinh phổ thông.Việcdựng đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với 2 đường thẳng cắtnhau (hoặc song song), học sinh đã biết cách dựng dựa vào phép vị tự với tâm

vị tự là giao điểm hai đường thẳng (hoặc phép tịnh tiến), ta cũng có thể giảibài toán này bằng một phép biến hình khác đó là phép nghịch đảo với cực

1

1

nghịch đảo chính là điểm A Bài toán được đưa về dựng tiếp tuyến chung củahai đường tròn và dựng ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịchđảo.

3.5 Bài toán 5

= (O, R) và 2 điểm phân biệt A, B không thuộc

đi qua A, B và trực giao với ()

Bài giải

() đi qua hai điểm A, B và trực giao với ()

 Chứng minh: Rõ ràng (

)

là ảnh của B'O qua phép nghịch

đảo f, () bất động qua f nên

( )

trực giao với ()

Vậy (

 Biện luận:

Các trường hợp còn lại bài toán luôn có một nghiệm hình

60 0

Bài giải

2 

1

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu B' nằm trên

một nghiệm hình

(

)nhưng AB' không là tiếp tuyến thì bài toán có

Các trường hợp còn lại bài toán có hai nghiệm hình

Nhận xét:

Từ bài toán vừa giải ta cũng có thể suy ra bài toán sau:

Dựng đường tròn

Các bài toán 1, 3, 4 đều yêu cầu dựng một đường tròn (

điểm cho trước và tạo với đường tròn

0, bài toán 3 góc

bằng 900 hay bài toán 4 góc bằng 600 Vậy nếu xét trong trường hợp tổngquát, tức là (

Bài giải

 Phân tích:

Giả sử dựng được đường tròn

()

= (O, R) đi qua hai điểm A, B và cắt

Khóa luận tốt nghiệp

Suy ra (AC1D1) trực giao với () Vậy đường tròn (AC1D1) đi qua A và

B2, đồng thời trực giao với đường tròn ()

K29E - Toán

1 1

1 1 2

1 1 2 1 1 1

(  ) C1

B2

( )1

(  )

SVTH: Vũ Thị Thúy

SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán

23

Dựng giao điểm C1, D1 qua f

Biện luận:

3.8 Bài toán 8

1

1

SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán

Cách 1: Không sử dụng phép biến hình nghịch đảo.

nằm trên đường thẳng OP.

Qua P vẽ một tiếp tuyến với với

đường phân giác của góc PQB

Rõ ràng

)

và () tiếp xúc với nhau tại P

Nếu OP không cắt cả d1 và d2 thì bài toán vô nghiệm

tròn (AB) tiếp xúc với

()

và AB nên d1 // d và d1 tiếp xúc với đường

 Nhận xét:

Khóa luận tốt nghiệp

Như vậy bài toán được đưa về bài toán dựng đường thẳng song songvới một đường thẳng và là tiếp tuyến của một đường tròn Bài toán này họcsinh giải đơn giản hơn

Việc sử dụng phép nghịch đảo cung cấp cho ta một cách giải mới đểgiải bài toán trên ngoài cách giải đã biết ở phổ thông, làm phong phú hơn lựachọn của các em khi đi tìm lời giải của bài toán dựng hình

3.9 Bài toán 9

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng d tại A và một điểm M nằm trên đường tròn đó Dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường thẳng d đã cho.

Bài giải

Do AB là đường kính của (O) nên m là tiếp tuyến của đường tròn (O)Nếu gọi  1

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán

Do theo cách dựng thì m tiếp xúc với

Nếu M B: Bài toán vô nghiệm

3.10 Bài toán 10

Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm C nằm ngoài cả 2 đường tròn Hãy dựng đường tròn (O) đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả 2 đường tròn.

Bài giải

SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán

28

 Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn (O) đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả

2 đường tròn (O1) và (O2)

Nếu hai đường tròn có bán kính bằng nhau và C không trùng với giaođiểm của đường thẳng AB và tiếp tuyến chung của hai đường tròn thìbài toán cũng có hai nghiệm.