096 đề HSG toán 8 cẩm thủy 2013 2014

Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho.. Chứng minh rằng ba điểm ,O M H thẳng hàng.

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 8

Ngày thi: 15 tháng 4 năm 2014

Câu 1 (5,0 điểm)

Cho biểu thức

2

:

P

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm x để P= 1

2



c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x1

Câu 2 (6 điểm)

a) Tìm đa thức ( )f x biết rằng: ( ) f x chia cho x2dư 10, ( )f x chia cho x2dư

22, ( )f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a35achia hết cho 6

c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy2012x2013y20140

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Cho a  b c 0và abc0,tính giá trị của biểu thức:

P

b) Cho 2 số a và b thỏa mãn a1;b1.Chứng minh:

1 a 1 b 1 ab

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC

M  B C,  Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

BECM

a) Chứng minh : OEM vuông cân

b) Chứng minh: ME/ /BN

c) Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh rằng ba điểm ,O M H thẳng hàng ,

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ĐKXĐ: x0;x1;x 1

2 2

2 2

:

1

1

P

x

x



b)

2

x

x

 với xĐKXĐ

1

 





 



c)

1

 

Vì x1nên x 1 0.Áp dụng BĐT Cosi ta có: 1   1

Dấu “=” xảy ra 1  2

1

x



Vậy GTNN của P là 4 x 2

Câu 2

a) Giả sử ( )f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư là ax b

Khi đó:  2   

f x  x   x axb

Theo đề bài, ta có:

Vậy đa thức ( )f x cần tìm có dạng: f x( ) 5x3 23x16

a  aa  a aa a   aa a a  a

Vì (a a1)(a1)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà  2,3 1nên a a 1a1chia hết cho 6

6a chia hết cho 6

Nên a3 5achia hết cho 6

c) x2 xy2012x2013y20140

2

2013 2013 2013 1

1 2013 1 1

2013 1 2014

2013 1 2012

Câu 3

a)

0

P

a b c

 

1 a 1 b 1 ab 1 a 1 ab 1 b 1 ab

       

        

             

2

Do a1;b1nên    

    

2

1

0

b a ab



2 2 2 2

0

1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 ab

Câu 4

a) Xét OEB và OMC

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: OB=OC

B C  BECM gt  OEB OMC c g c

OE OM

Lại có: O2O3 BOC900vì tứ giác ABCD là hình vuông

0

    kết hợp với OEOM  OEMvuông cân tại O

b) Từ giả thiết tứ giác ABCD là hình vuông AB/ /CDvà AB = CD +)AB/ /CD AB/ /CN AM BM

   (định lý Ta let) (*)

Mà BE CM gt( )và ABCd AEBMthay vào  *

Ta có: AM AE ME/ /BN

MN  EB  (Ta let đảo)

c) Gọi H là giao điểm của OM và BN '

Từ ME/ /BN OMEOH E' (cặp góc so le trong)

1

3

2 1

H E

N

O

C D

M

' ,

  kết hợp OMBCMH'(hai góc đối đỉnh)

0 '( ) ' 45

OMB CMH c g c OBM MH C

Vậy BH C' BH M' MH C' 900CH'BN

Mà CH BN H BNH H'hay 3 điểm , ,O M H thẳng hàng (đpcm)