077 đề HSG toán 8 liên châu 2013 2014

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HDHA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. 1 Chứng minh rằng BEC ADC.Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2 Gọi M là trung diểm của đoạn thẳng BE.. Chứn

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 Năm học: 2013-2014

Câu 1 (6 điểm)

1 Giải phương trình sau:

a x  x  x  x  x  x x  x

b) x   1 x 3 4

2) Chứng minh bất đẳng thức sau:

x  y z xyxz yzvới mọi , ,x y z

Câu 2 (5 điểm)

1 Tìm đa thức ( )f x biết rằng: ( ) f x chia cho x2dư 10, ( )f x chia cho x2

dư 24, ( )f x chia cho x24được thương là 5x và còn dư

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 xy6x5y8

Câu 3 (2 điểm) Cho ,a b0và a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M

     

Câu 4 (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB, đường cao AH

HBC Trên tia HC lấy điểm D sao cho HDHA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1) Chứng minh rằng BEC ADC.Tính độ dài đoạn BE theo m AB

2) Gọi M là trung diểm của đoạn thẳng BE Chứng minh BHM BEC.Tính

số đo của góc AHM

3) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh GB HD



ĐÁP ÁN Câu 1

1)

a) Đặt:

2 2

5 2012







Phương trình đã cho trở thành:

a  b  ab a b   a b  a b

Khi đó, ta có:

2011

11 2011

11 2011

11

S





b) Lập bảng xét dấu các nhị thức : x1và x3

Xét x 3 (1)

Phương trình        1 x 3 x 4 x 3(không thỏa (1))

Xét 3  x 1 (2)

Phương trình      1 x x 3 4 0x0(Thỏa mãn với mọi x / 3  x 1

Xét x1 (3)

Phương trình      x 1 x 3 4 2x  2 x 1 (thỏa mãn (3))

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 3  x 1

2) Có   2  2 2

0

x y  yz  zx  với mọi , ,x y z

Câu 2

1) Giả sử ( )f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư là axb Khi đó:  2   

f x  x   x axb

Xét các giá trị riêng của x sao cho 2    2

2

x

x





         

 Với x 2 f(2)2ab

Với x  2 f( 2)   2a b

Theo đề bài, ta có:

7

2

17

b



Do đó:  2    7

2

Vậy đa thức ( )f x cần tìm có dạng: ( ) 5 3 47 17

2

x xy x y x  x  y x

2

6 8 5

y

x

 

 (vì x5không là nghiệm của phương trình (2))

3

5

x

   

 Vì ,x y nguyên nên x5là ước của 3

Hay x  5  1;3;1; 3  hay x4;6;8;2

Khi x  2 y 0 Khi x  4 y 0

Khi x  6 y 8 Khi x  8 y 8

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là          x y,  2,0 ; 4,0 ; 6,8 ; 8,8 

Câu 3

2 2

2 2

M

M

     

          

Dấu " " xảy ra & 1 1

2

2

MinM    a b

Câu 4

a) Chứng minh CDE CAB g g( ) CD CA

Hai tam giác ADC và BEC có:

C chung; CD CA(cmt)

Suy ra BEC ADC1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo gt)

Nên AEB45 0 Do đó tam giác ABE vuông cân tại A suy ra

Mà AD AH 2(tam giác AHD vuông cân tại H)

BC  AC  AC  AC

2

BM BH BH

BE AB

BC  AB  BE 

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác BAC

G

D H

A

B

C

Suy ra AG là phân giác BAC suy ra : GB AB

Mà AB ED ABC DEC AH ED/ /AH HD