082 đề HSG toán 8 yên dũng 2013 2014

6 điểm Cho tam giác ABC Gọi.. I là một điểm di chuyển trên cạnh BC Qua I, kẻ.. đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M.. 3 Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC... Su

UBND HUYỆN YÊN DŨNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2

2

1) 2014 2013

2) ( 2)( 2 2) 1

Câu 2 (4 điểm)

1) Tìm a b biết , 1 2 3 7 3

a

 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax2 2y2 2xy2x4y2013

Câu 3 (4 điểm)

1) Cho a a1, 2, ,a2013là các số tự nhiên có tổng cộng bằng 20132014

Chứng minh rằng: Ba13 a23 a20133 chia hết cho 3

2) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a2  a 3b2 b

Chứng minh rằng: a b và 3a3b1là các số chính phương

Câu 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC Qua I, kẻ

đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M Qua I , kẻ đường thẳng

song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N

1) Gọi O là trung điểm của AI Chứng minh rằng ba điểm M O N thẳng hàng , , 2) Kẻ MH NK AD vuông góc với BC lần lượt tại , , H K D Chứng minh rằng , ,

3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC

Câu 5 (2 điểm)

Cho a  b c dvà xab c d,yac b d,zadbc Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của , ,x y z

ĐÁP ÁN Câu 1

1) x2 2014x2013

2

2) x x( 2)(x2 2x 2) 1

2

2

Câu 2

Thay a1vào tỉ lệ thức 1 2 3

a





 ta được:

2

15 23 7.1

b

b



 Vậy a1, b2

2) Ta có:

Nhận thấy với mọi ,x y ta có:  2  2

x y  y   A

Dấu " " xảy ra khi x 4,y3

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003đạt được khi x 4,y3

Câu 3

1) Dễ thấy a3  a a a( 1)(a1)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

1 2 2013 1 2 2013 1 2 2013

B a a  a  a a  a  a a  a

 3   3   3 

1 1 2 2 2013 2013

Mà a a1, 2, ,a2013là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014

Do vậy B chia hết cho 3

2) Từ 2a2  a 3b2 bcó    2

ab a b a

Cũng có :    2

ab a b b Suy ra

2 2 1 3 3 1

Gọi 2a2b1,3a3b 1 d Chứng minh được d 1

3a 3b 1

   là số chính phương  a blà số chính phương (đpcm)

Câu 4

1) Ta có: IM / /AC IN, / /ABAMINlà hình bình hành

MN

 cắt AI tại trung điểm mỗi đường Mà O là trung điểm AI

, ,

M O N

 thẳng hàng (đpcm)

2) Kẻ OE vuông góc với BC Chứng minh MHKN là hình thang vuông

Ta có: O là trung điểm MN mà OE/ /MH / /NK Suy ra OE là đường trung bình

của hình thang vuông MNKH nên MH NK 2OE (1)

Xét ADI có O là trung điểm của AI và OE/ /AD Suy ra OE là đường trung bình của ADInên AD2OE (2)

Từ (1) và (2) ta có: MH NK  AD (dfcm)

3) Ta có: MN / /BCMN là đường trung bình của ABC (do O là trung điểm AI) Ilà trung điểm BC (Vì MI / /AC MA, MB)

Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC

D H

O

M

N A

Câu 5

Xét hiệu x y ab c d  ac b d  d a b c

Vì ba b, cnên d a b  c 0.Suy ra x y 1

Xét hiệu y z ac b d  adbc  ab d c

Vì ba c, dnên a b d   c 0 Suy ra yz (2)

Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x