Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT HàmI.. Mở rộng + Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số: a.
Trang 1Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm
I Định lý Larange: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) khi đó ∃c∈(a;b)
sao cho:
a b
a f b f c f
−
−
= ( ) ( )
) ( '
II Bài toán: Cho hàm số y= f (x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên (a; b) CMR:
a Nếu f " ( x ) ≥ 0 ∀x∈(a;b) ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên (a; b) ) thì:
) 2
( 2
) ( )
f x f x
b Nếu f " ( x ) ≤ 0 ∀x∈(a;b) ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên (a; b) ) thì:
) 2
( 2
) ( ) ( 1 2 x1 x2
f x f x
• Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử x1 < x2
Xét hàm số f (x) liên tục trên (a; b) chứa ( x1; x2) Theo định lý Larange ta có:
∃ t ∈ ( x1; x2) sao cho:
2
) ( ' ) ( ) 2
( ) ( ' 2
) ( ) 2 (
1 2
1 2
1
1 2 1
1 2
1
t f x
x
x f x x f t f x
x x
x f x x f
=
−
−
+
⇔
=
− +
− +
(1)
∃ k ∈ ( x1; x2) sao cho:
2
) ( '
) 2 ( ) ( ) ( ' 2
) 2 ( ) (
1 2
2 1 2
2 1 2
2 1
x x
x x f x f k f x
x x
x x f x f
=
−
+
−
⇔
= +
−
+
−
(2)
Trừ (1) cho (2) suy ra:
2
) ( ' ) ( ' ) ( ) (
1 2
2
x x
x f x
−
+
(3)
+) Nếu f " ( x ) ≥ 0 ∀x∈(a;b) ⇒ f ' x( ) đồng biến trên (a; b)
) ( ' ) (
' k f t
f >
⇒ kết hợp với (3) suy ra:
) 2
( 2
) ( )
( 1 2 x1 x2
f x f x
+) Nếu f " ( x ) ≤ 0 ∀x∈(a;b) ⇒ f ' x( ) nghịch biến trên (a; b)
) ( ' ) (
' k f t
f <
⇒ kết hợp với (3) suy ra:
) 2
( 2
) ( )
( 1 2 x1 x2
f x f x
III Mở rộng
+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
a
) (
) (
1 1
n
x f n
x
i i n
i
i ∑
∑
=
) (
1 1
n
x f n
x
i i
n
i i ∑
∑
=
IV Ứng dụng:
1 f(x) =sinx trên 0;2
π
Ta có: f " ( x ) = − sin x < 0
∈
∀
2
;
0 π
x
Trang 2Vậy: )
2
sin(
2
sin sin x1+ x2 ≤ x1 + x2
2 f(x)=cosx trên
2
;
0 π
Ta có: f " ( x ) = − cos x < 0
∈
∀
2
;
0 π
x
2
cos(
2
cos cos x1+ x2 ≤ x1+ x2
3 f(x) =tanx trên
2
;
0 π
Ta có:
0 sin
2 )
(
" =2 >
x cox
x x
∈
∀
2
;
0 π
x
2
tan(
2
tan tan x1+ x2 ≥ x1+ x2
4 f(x)=cotx trên
2
;
0 π
Ta có:
0 sin
cos 2
) (
" =2 >
x
x x
∈
∀
2
;
0 π
x
2
cot(
2
cot cot x1+ x2 ≥ x1 + x2
5 f(x)=lnx ∀x >0 Ta có:
0
1 )
(
"
1 )
(
' = ⇒ = − 2 <
x x
f x
x
2
ln(
2
ln
ln x1+ x2 ≤ x1+ x2
Tổng quát: ln 1 ln 2 ln ln( 1 2 )
n
x x
x n
x x
2 1
n
x x
x x
x
n
n
+ + +
≤
Do hàm f(x) =lnx đồng biến nên suy ra:
n
x x
x x x
n
n
+ + +
2
6 f(x)=xα ∀ x > 0 Ta có: f " ( x ) = α ( α − 1 ) x α−2
+) Nếu α <0 hoặc α >1 ⇒ f " ( x ) > 0 ∀x >0
α α
) 2
( 2
2 1 2
1 x x x
α α
α
) ( 1 2
2 1
n
x x
x n
x x
+) Nếu 0 ≤ α ≤ 1 ⇒ f " ( x ) ≤ 0 ∀ x > 0
α α
) 2
( 2
2 1 2
1 x x x
α α
α
) ( 1 2
2 1
n
x x
x n
x x