SKKN ứng dụng định lý vi-ét

Lý do chọn đề tài - Phương trình bậc hai và Định lí Vi–ét học sinh được học trong chương trình Đại số 9 bậc THCS đặc biệt Định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN – TIN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI

Người hướng dẫn: PGS, TS Nguyễn Doãn Tuấn

Cán bộ Khoa Toán – Tin – ĐHSP Hà Nội Người thực hiện: Phạm Thị Diệu Linh

Ngày sinh: 20 – 08 – 1986

PHÚ THỌ - 2010

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

- Phương trình bậc hai và Định lí Vi–ét học sinh được học trong chương

trình Đại số 9 bậc THCS đặc biệt Định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai…

Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời lượng chưa nhiều

- Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-ét và phương trình bậc hai phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập

- Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về Phương trình bậc hai trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình

- Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định

lí Vi-ét khá phổ biến

Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện

đề tài nghiên cứu:

“ Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trung học cơ sở

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai và định lí

Vi-et, làm tốt các dạng bài tập liên quan đến hệ thức Vi–ét

- Giúp học sinh biết phân tích các điều kiện đề bài cho, xác định rõ yêu

cầu để có hướng giải đúng

- Trên cơ sở nắm vững kiến thức học sinh có thế tự tin giải bài tập nhanh

hơn, có hiệu quả cao

- Phát huy tư duy lô gic, tính tích cực, độc lập, sáng tạo và biết tự bổ xung cho mình những kiến thức mà trước đó các em chưa nắm chắc

- Đáp ứng nguyện vọng của học sinh trong việc nâng cao kiến thức, làm

các dạng bài tập khác liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu nội dung dạy học các ứng dụng của định lí Vi–ét trong các bài toán bậc hai

- Tìm hiểu mạch kiến thức về định lí Vi–ét và ứng dụng

- Điều tra về thực trạng:

+ Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến định lí Vi–et trong SGK, SBT và các sách nâng cao

+ Thường xuyên kiểm tra , đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh

từ đó nhận ra ưu điểm, những khuyết điểm, tồn tại mà học sinh hay mắc phải để

có hướng khắc phục, tìm ra phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

Tôi thực hiện đề tài nghiên cứu này tại trường Trung học cơ sở thị trấn Thanh Ba 1- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ

Đối tượng nghiên cứu: học sinh khá giỏi lớp 9A1, 9A2

Phạm vi: 8 học sinh

Mức độ: các bài tập cơ bản và nâng cao

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

- Kiến thức cơ bản của chương IV: “ Hàm số 2

y=ax (a 0) - Phương trình bậc hai một ẩn ” ở sách giáo khoa Toán 9

- Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo Toán 9

- Phương pháp giải các dạng toán cơ bản và nâng cao

- Phân tích các dạng toán, tìm phương pháp giải và lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ học sinh

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, khám phá tri thức mới

- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, năng lực học Toán

THỰC TRANG VIỆC DẠY VÀ HỌC Ở ĐỊA PHƯƠNG:

- Giáo viên có tinh thần, trách nhiệm, có ý thức học tập, bồi dưỡng

chuyên môn nghiệp vụ để nâng cao trình độ, tay nghề

* Khó khăn:

- Trường THCS Thị trấn Thanh Ba 1 là một trong những trường trên địa bàn Thị trấn Thanh Ba Tuy nhiên, do số lượng trường THCS trong thị trấn nhiều nên khả năng thu hút học sinh chưa cao, đặc biệt là học sinh khá giỏi

- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn hạn chế Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều

- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm

- Nội dung Ứng dụng Định lớ Vi-ột để giải bài toỏn bậc hai rất đa dạng

và tương đối khú với học sinh Mặt khỏc, nội dung này đũi hỏi học sinh phải nắm vững cỏc kiến thức liờn quan như: phương trỡnh, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đú, rất nhiều học sinh khụng nắm vững kiến thức đó học nờn việc vận dụng vào cỏc dạng bài tập là rất khú khăn

CHƯƠNG II: CÁC BIỆN PHÁP ( GIẢI PHÁP ) SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GểP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG

DẠY HỌC NỘI DUNG

I Biện phỏp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tỡm hiểu sự ham mờ học Toỏn của học sinh khối 9

- Kiểm tra kiến thức và đỏnh giỏ kĩ năng vận dụng Định lớ Vi-et vào cỏc bài toỏn bậc hai của cỏc học sinh đó chọn

II Biện phỏp 2: Dạy học theo cỏc dạng bài tập

- Tỏi hiện cỏc kiến thức cơ bản trong SGK về Định lớ Vi-et và ứng dụng của Định lớ Vi-et:

 Định lớ Vi-ột

Nếu x x1, 2là hai nghiệm của phương trình ax2

+ bx + c = 0 ( a  0 ) thì 1 2

của phương trình: x2  Sx  P  0

Điều kiện để cú hai số đú là S2  P4  0

- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh cỏc bài toỏn cú chứa tham số và phõn loại cỏc dạng bài tập nhất là cỏc bài toỏn cú thể đưa về bài toỏn bậc hai quen thuộc đối với học sinh

- Phõn tớch nhận biết cỏc dấu hiệu chung, nhận biết cỏc tớnh chất để làm xuất hiện cỏc hệ thức cú chứa cỏc dấu hiệu cần tỡm

- Trong quỏ trỡnh tỡm tũi và giải bài tập tụi đó hướng dẫn và phõn loại

cho cỏc em một số dạng bài tập cú ứng dụng Định lớ Vi-et như:

1 Nhẩm nghiệm của phương trỡnh bậc hai

1.1 Dạng đặc biệt: Phương trỡnh bậc hai cú một nghiệm là 1 hoặc – 1

b) Ta cú: abc 2  5  3  0 nờn phương trỡnh cú một nghiệm là x1   1,

b)Phương trình x  5xq 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

b) Phương trình x2 7xq 0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phương trình

c) Phương trình x2  qx 50  0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó

Phân tích:

- Câu a và b ta làm như sau:

+ Thay giá trị nghiệm vào phương trình để tìm hệ số p hoặc q

+ Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tích hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại

Giải:

a) Thay x1  2 vào phương trình ta được 4 p4  5  0

4

9 0

1 2 2

x x x

2

5 2 2

9 2

9 2

9

1 2

2

Câu b tương tự

- Câu c và d: vì vai trò của hai nghiệm là như nhau nên ta làm như sau:

+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó

2 1

2 1

x x

x x

ta được x1  9 ,x2   2

q = x1x2  9 (  2 )   18

50 2

50

2

2 2

2 2

2 2

1

x

x x

x x

2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ 3: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

5 2 3

2 1

2 1

x x P

x x S

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  Sx  P  0

Cho phương trình x2 x3  2  0có hai nghiệm x1; x2

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

2 1 2 1 2 1

1

; 1

x x y x x

- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:

1 1

1

; 3 1

1 2 1

2 1 2 1

2

x x y x

x y

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

2

9 2

3 3

2

9 2

3 3

2

1

2 1

S

Phương trình cần lập có dạng: y2 SyP 0 hay 0

2

9 2

3 3 )

( 1 1 ) (

1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

x x x x x x x x x

x x x y y

S

2

9 2

1 1 1 2

1 1 1 )

1 ).(

1

(

2 1 2

1 2 1 1

x x x

x x

x x

x

Phương trình cần lập có dạng: y2 SyP 0 hay 0

2

9 2

Ví dụ 5:

Cho phương trình 3x2  x5  6  0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương

trình bậc hai có các nghiệm

1 2 2 2 1 1

1

; 1

x x y x x

; 6

97 5

2 1

6 1

; 97 5

6 1

1 2 2 2

5

2 1 2

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ

do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

6

5 2 3 5 3

5 )

( 1 1 ) (

1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

x x x x x x x x x

x x x

1 1 1 2

1 1 1 )

1 ).(

1 (

2 1 2

1 1 2 2

x x

x x x

Phương trình cần lập: y2 SyP 0 hay 0

2

1 6

Bài 5 : Cho phương trình x  x2  8  0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 3 ;y2 x2  3

Bài 6 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x2  mx 2

Bài 7 : Cho phương trình x2  2xm2  0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  2x1 1 ;y2  2x2 1

Bài 8 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn

1

2 1

x x

x

x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được

3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Ví dụ 6: Tìm hai số a và b biết S = a + b = - 3, P = ab = - 4

Giải:

Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2 x3  4  0

Giải phương trình trên ta được x1 1 ;x2   4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 7: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6

Giải:

Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2 x3  6  0

0 15 24 9 6 1 4

32     



Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình

Bài tập áp dụng:

Bài 9 : Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20

Bài 10: Tìm hai số x, y biết:

a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66

Bài 11: Tìm hai số x, y biết: 2 2

25; 12

4 Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoSx1x P2; x x1 2

4.1 Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm

Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et

Bài 13 : Cho phương trình x  14x 29  0 có hai nghiệm x x1; 2 hãy tính

Ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x1; 2 (a 0;   0) + Viết hệ thức Sx1x P2; x x1 2

Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm

Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Ví dụ 9: Cho Phương trình 2

mx  m xm  ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 không phụ thuộc vào m

Nhận xét:

Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9 Khi làm bài cần lưu ý:

+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

m

m m

x x m

x  m x m  có hai nghiệm x x1; 2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x x1; 2sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m

+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m

Ví dụ 11: Cho phương trình 2

6( 1) 9( 3) 0

mx  m x m  Tìm giá trị của tham số

m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1x2 x x1 2

m

m m

mx  m xm  Tìm giá trị của tham số m

để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 2x2 0

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1x2 và x x1 2 nên

ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1x2 và

m m

m

m m

Hai vế của đẳng thức đều chứa x1x2 nên rút gọn đi để được 2 x x1 2

Điều này sai vì có thể có trường hợp x1x2 = 0

Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:

- Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

Bài 15: Cho phương trình mx2 2 (m 1 )x 3 (m 2 )  0 Tìm giá trị của tham số m

để hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 x2 2  1

Bài 16: Cho phương trình 2

x  m x m a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mội m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1x2  1

Bài 17: Cho phương trình x2  (2m 1)xm2  2  0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 3x x1 2 5(x1x2)   7 0

4.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cách làm: Cũng tương tự như những dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi – et để

biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất)

Cho phương trình  4  2 2 2

m  x m x m  m  (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1x2

Bài 21: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

(3 1) 2( 1) 0

x  m x m   (1) ,(m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra các trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm) Dấu của các nghiệm liên quan với ; S; P như thế nào?

Ví dụ 15: Không giải phương trình hãy cho biết dấu của các nghiệm?

Bài tập áp dụng:

Bài 23: Cho phương trình 2

x  m x m  (1) a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 24: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 )

Cho phương trình 2

x  xma) Giải phương trình với m = 6

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

Bài 25: Cho phương trình x2  2(m 3)x 4m  1 0

a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 26 : Xác định m để phương trình

a) m x2 2(m  2)x3(m 2)  0 có hai nghiệm cùng dấu

b) (m 1)x2 2x m  0 có ít nhất một nghiệm không âm

* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:

+ hai nghiệm trái dấu

+ hai nghiệm cùng dương

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

- Kiểm tra, đánh giá hiệu quả đạt được của đề tài nghiên cứu

- Thấy được những hạn chế, tồn tại để có những bổ xung, biện pháp khắc phục để đề tài được hoàn thiện và có chất lượng

2 Nội dung thực nghiệm

KẾ HOẠCH DẠY HỌC

Giáo án: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG ( TIẾT 1)

I MỤC TIÊU

- Tái hiện, giúp học sinh nắm vững Định lí Vi –ét và các ứng dụng đã biết

- Thực hiện thành thạo các dạng toán ứng dụng của Định lí Vi-ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt để giải bài tập

II CHUẨN BỊ

Giáo viên: SGK, hệ thống bài tập

Học sinh: SGK, ôn tập kiến thức về phương trình bậc hai

III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

- Yêu cầu HS nêu định lí Vi-ét - Nêu định lí: Nếu x x1; 2 là nghiệm của