Ứng dụng định lý Lagrange

ứng dụng định lý Lagrăng1.. CMR: ∀a,b,c,d không đồng thời bằng không... CMR: fx= 0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt... Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức1.

ứng dụng định lý Lagrăng

1. Cho m > 0 và 0

m

c 1 m

b 2 m

a

= + +

+ + Chứng minh rằng ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc (0 ; 1)

HD: Xét hàm số

m

x c 1 m

x b 2 m

x a x

f( ) . m 2 . m 1 + . m

+

+ +

2. Chứng minh rằng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = 0 luôn có nghiệm

∀a,b,c,d ∈ R.

3

c x 5 Sin 5

b x Cos 7

a x

áp dụng ĐL Lagrăng

3. Giải PT: 2000 x + 2002 x = 2.2001

HD: Xét hàm số f(t) = (t + 1)x - tx Theo ĐL Lagrăng ∃α∈ (2000; 2001) sao cho f’(α)

= 0

4. Cho a - b + c = 0 Chứng minh rằng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; π].

HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) Chứng minh nếu F(x) = 0 có hai

nghiệm thì f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).“

CM: Gọi α, β là hai nghiệm của PT F(x) = 0 Ta có F(α) =F(β) = 0

Theo ĐL Lagrăng ∃ x0 ∈ (α; β) sao cho f(x0) = F’(x0) = F F =0

β

− α

β

−

α ) ( ) (

Giải: Xét hàm số: F(x) = −a.Sinx−b.Sin 3 x−c.Sin 5 x

C/M: F(x) = 0 có ít nhất 6 nghiệm thuộc [0; π].Ta c/m F’(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc [0; π] Ta c/m F’(x) = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; π]

5. Cho a,b,c ≠ 0 thoả mãn 0

3

c 5

b 7

a+ + = Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = a.x 4 +

bx 2 + c luôn cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ thuộc (0 ; 1).

6. CMR: ∀a,b,c tuỳ ý PT sau luôn có nghiệm trong (0; 2π) a.Cos3x + b.Cos2x + c.Cosx + Sinx = 0

7. CMR: ∀a,b,c,d không đồng thời bằng không PT sau luôn có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.

8. Cho f(x) = Sinx.(2 x-1 - 1)(x - 2) Chứng minh rằng PT: f““(x) = 0 luôn có nghiệm.

9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4 Cosx ) = 3.4 Cosx

10.Cho đa thức P(x) có n nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 ; x n CMR

x P

x P x

P

x P x

P

x

P

n

n 2

2 1

) (

) ( ''

) (

) ( '' )

(

)

(

''

x P

1 x

P

1 x

P

1

n 2

1

= +

+ +

) ( '

) ( ' )

(

'

11.Cho hàm số f(x) = (x 2 - 4)(x + 1)(x - 3) CMR phơng trình f“(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

12.Cho hàm số f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Với a<b<c<d<e Chứng minh PT f““(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

13.Cho m>0; n> 0 và f(x) = 2 + x m (x - 1) m CMR PT f“(x) = 0 có nghiệm x ∈ (0; 1)

15.Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) Biết rằng f(x) = x vô nghiệm CMR: a.[f(x)]2 + b.[f(x)] + c = 0 vô nghiệm.

16.Cho 0 < b < a CMR a a−b< lnb a<a b−b

17.Cho f(x) xác định trên R và f““(x) ≥ 0 ∀x ∈ R Chứng minh rằng ∀a,b ∈ R(a < b) thì f(a) f(b)+ ≥f(a b+ )

18.Chứng minh rằng: ln(1 + x) < x; ∀x > 0

19.CMR: a b tga tgb a b

− < − < −

2 2 ∀0 < b < a < π

2 .

20.Cho a < b < c CMR:

a a b c< + + − a2+ + − − −b2 c2 ab bc ca a b c< + + + a2+ + − − −b2 c2 ab bc ca < c

HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => ∃x1; x2 sao cho a< x1 < b < x2 <c =>?

21.Cho n Z∈ +; CMR: x n x ; x ( ; )

ne

− < 1 ∀ ∈

2 HD: Đặt f(x) = lnx

22.CMR

a) |sin a - sin b| ≤ |a - b|∀ a,b ∈ R

b) sin x < x ∀ x > 0

c) e x > x + 1 ∀ x > 0

d) tg x > x ∀ x ∈( 0; π/2)

e) ( )x ( )x

+

+ > +

+

1

1

+ − > ∀ ≥

+

1

23.Cho f(x) liên tục trên [a ; b] và f“(x) = 0 ∀x ∈(a; b) CMR: f(x) ≡ 0.

24.Cho f(x) khả vi trên [a ; b] và f“(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x 0∈[a; b] CMR: f(x)=

0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt.

25.Cho x> 1 và a> 1 CMR: xa - 1> a(x - 1)

26.Cho 0 < a< b; n> 1.CMR: n.a n-1 (b - a) < b n - a n < n b n-1 (b - a)

27.Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn x + y + z > 0 Tìm GTLN, GTNN của P x y z

(x y z)

+ +

=

+ +

3

16 HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Giả sử x + y + z = 1

GTLN: x +y ≥(x y)+ = ( −z) ⇒f(z)=( −z) + .z 

3

GTNN: x3+ + ≤ + +y3 z3 (x y z)3+15.z3≤16

28.C

29.C

30.C

31.C

32.C

33.C

Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

1. CMR: x x sin x x x x ; x

− 3 < < − 3 + 5 ∀ >0

HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x)

2. CMR: Sinx> x; x ( ; )∀ ∈ π

π

2

0 2 HD: Đặt f(x) = Sinx

x

3. CMR: 2Sinx +2tgx >2x+1; x ( ; )∀ ∈ 0π

2 HD: Đặt f(x) = Sin x + tgx - 2x và c/m Sin x + tgx > 2x

− 2 < < − 2+ 4 ∀ ≠

Sin x x

π

< + − ∀ ∈

π

2

6. CMR: ex > + ∀ >1 x; x 0

+

> + +1 2+ + ∀ >0 ∈

2

2

− ≤ ≤ − + ∀ ∈

x

−

− ≤ ≤ − + ∀ ∈

10.CMR: 1ln( + < ∀ >x) x; x 0

1

x

−

> ∀ >

+

x

+ + < + ∀ >

13.CMR:

2

2

x ln( + > −x) x ; x∀ >

14.CMR: xp q+ − > +1 (p q)(xp −x ); xq ∀ ≥1;p q≥ >0,p q− ≤1

15.CMR: log (xx + >1) log(x )+1 (x+2); x∀ >1

16. Cho a, b > 0 CMR:1ln(aα +b )α > 1ln(aβ +b );β ∀β > α >0;

 − > ∀ < < < < ≠

−  − − 

18.CMR: x y+ > x y−

− ∀ x> y> 0

20.CMR: 2 2 22 0

2

tg x cot g x+ ≥ +n Cos x; x ( ; );n N∀ ∈ π ∈

21.CMR:

3 1

2

x Sinx + tgx > + ; x ( ; )∀ ∈ π

22.CMR: SinA SinB SinC tgA tgB tgC+ + + + + > π ∀2 ; VABC

3(SinA SinB SinC)+ + +3(tgA tgB tgC)+ + > π ∀; VABCnhọn

24.CMR: tg550 >1 4,

25.CMR: 4 5.tg tg0 90 <3 6.tg tg0 100

26.CMR: 1 0 7

20

3<Sin < 20

2

+

π

28.Cho

3 2 2 2

1 1

1

3

3

x x

x

!

−

< < < >

−

29.CMR:

3

0 2

Sinx

Cosx; x ( ; ) x

π

  > ∀ ∈

 ữ

 

30.CMR: (e x)+ e x− > −(e x) ; e xe x+ ∀ > >0

+

+

  >  ∀ > ≠

 + ữ  ữ

   

32.CMR: ln n ln(n2 > +1).ln(n− ∀ ≤ ∈1); 2 n N

4

y.Sinx

x.Siny

π + < ∀ > + <

2

ln a ln b

< < ∀ > ≠

−

35.CMR: 20062007 >20072006

36.CMR: nn+1≥ +(n 1) ;n ∀ ≤ ∈3 n Z

37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; ∀x∈(0; π/2)

38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); ∀0 < a < b < π/2

+ + > ∀V

40.CMR: Nếu x ≥ 0 và α > 0 thì xα + α − ≥ α1 x Từ đó c/m

b + c + a ≥ + +b c a

41.C

42.C

43.C

44.C