ung dung dinh ly lagrang tinh gioi han

ứng dụng định lý Lagrang vào tính giới hạn có dạng sau:

Dãy (x n)xác định bằng công thức truy hồix n1f x( n), trong đó hàm số

f khả vi và có đạo hàm trên miền xác định D thoả mãn:

* f x   với k là hằng số,'( ) k 1

* phơng trình f x( )x có nghiệm duy nhất x   Da

Khi đó

lim n

n x a Thật vậy, ta có: x n1  a= (f x n) f a( )

Theo định lý Lagrang :  ( ; )n x a sao n cho

( n) ( )= '( )(n n )





 0x n 1 a  f x( n) f a( ) f'( )n x n  a k x n a   kn x1 a

Do

 

0 k 1 lim k 0

lim n

n x a hay

lim n

Ví dụ 6: Chứng minh dãy số

2007, 2007 + 1

2007 , 2007 +

1 1 2007+

2007 , , (2.1) có giới hạn và tìm

giới hạn đó

Giải:

Dãy (2.1) đợc xác định bởi công thức truy hồi sau:















1

1

2007

1 2007

n

n

x

x

x

hay













1 1

2007 ( )

x

Trong đó, f x( )20071

x .

Bằng quy nạp ta có x n 2007  n 2,3, Giả sử phơng trình f x( )x có nghiệm x



 20071 2  2007  10









2

2

2007 2007 1 2007

2007 2007 1 2007

 f x( )x có nghiệm duy nhất x  2007 20072  1

Ta chứng minh lim n 2007 20072 1

Xét hàm số f x( )2007 1, x 2007



 21 12  1 2   

2007

Theo định lý Lagrang  ( ; )n x n  sao cho

( n) ( )= '( )(n n )

f x f f x

 0x n 1  f x( n) f( )  f'( )n x n 1 k x n 1





Hay

lim n

n x a Vậy

lim n 2007 2007 1