CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC LỚP 8

Tài liệu thuộc bộ chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 8 siêu hay luôn nhé. Ngoài ra còn các chuyên đề khác để tham khảo. Còn có bài toán cực trị, chia hết, nghiệm nguyên ... CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU AB >0, CHÚ Ý BĐT

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT A 2 0

Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2xy yz zx 

HD:

Xét hiệu ta có:

2 x y z  xy yz zx   0 x y  y z  z x 0

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z22xy2yz 2zx

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y

Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 3 2x y z  

HD:

Xét hiệu ta có:

x12 y12z12 0

Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :

Dấu bằng khi a=b

Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :

Dấu bằng khi a=b

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:

2 2

Dấu bằng khi b=2a

Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : a2b2 1 ab a b 

Dấu bằng khi a=b=1

Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : a2b2c2d2e2a b c d e    

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e

Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:

Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1

Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2y2z2t2 x y z t   

Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:

101

Bài 50: CMR :

1 1 4

a b a b , Với a,b > 0 HD:

Dấu bằng khi a=b=c=0

Bài 56: Cho x,y,z R, CMR :  2  2  2  2 2 2

Giả sử : 5 5

00

Giả sử a b c  => Các ngoặc đều dương => ĐPCM

Bài 76: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a   3b32a4b4

Ta có:

00

a



ĐPCM

Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:

 , Nhân theo vế ta được: x y y z z x        8xyz

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : 3 3 3 3 3 3

92

Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh

Bài 7: Cho x y z , , 0, CMR: x y y z z x       8xyz

HD :

Ta có :

222

Vì a b c d là 4 số dương => 4, , ,4 4 4 a4b4c4d4 44abcd4 4abcd

Bài 15: Cho a,b > 0, CMR:

Bài 19: Cho a,b,c>0, CMR: 2 2 2

Tương tự ta có : b c abc c a abc  ,  

Khi đó nhân theo vế ta được : a b b c c a       abc abc abc abc3

Bài 23: CMR: với a,b,c > 0 thì 2

324

DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:1 2

Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì:

Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh

Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p,

Nhân theo vế ta được : abc8p a p b p c       

Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:

Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a4b4 c4 2a b2 2 b c2 2c a2 2

Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,

Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,

DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI:

a a a

y x

 

, đặt

12

S 

Bài 5: Cho x 1, Tìm Min của:

132

Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: P3ab3bc3ca

HD :

Ta có : Dấu bằng khi

13

a b c  

, Tìm Min của:

Dấu bằng khi

13

a b c  

, Tìm Min:

a b c  

x y

Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của:

a b ab P

a b ab

a b 

1a b 3.2ab

a b 

Bài 26: Cho a,b,c>0 và a2b2c2 1, Tìm Min của:

Bài 33 : Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : x y xy  8,

x  y z

Khi đó :

43

Bài 39: Cho x,y > 1, CMR :

Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2y2z2 xy3y2z 4

Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3 CMR: a2b2c2 5

Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và 1 số bằng 1

Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: x2y3 x3y4, CMR : x3y3  , dấu bằng xảy ra khi nào ?2

luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1

Bài 11: CMR không có giá trị nào của x thỏa mãn: 2

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c

Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: 0a b ax , 2bx c  vô nghiệm,0

Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : a3b3  a b, CMR : a2b2ab1

Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: A4x y2 2 x2y2z2 0

Bài 19: CMR : x42012x2  2011x2012 0 với mọi x

Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: 2a b c d, , , 5 và a2b3c5d 10 CMR:

2 2 2 3 2 5 2 140

a  b  c  d 