CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN lớp 8

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: Sử dụng tính chất: Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: => Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD:   Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân với 4 ta được: Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: HD: Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Nhân với 4 ta được:4x2 4x1  4y2 4y1 34

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy5y2 169

(x 3 )y 4(25 y ), mà y2 25,y2 là số chính phương nên =>y

Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 4xy5y216 0

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT 0 => 5xy 3 4   xy   0 3 xy 4

Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4

Nếu xy=3 thì x y 2  0 xy và xy=3( vô lý)

Nếu xy=4 thì x y 2  0 x y 2

Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10x220y224xy8x 24y51 0

HD:

Biến đổi: 3x4y2x422y 621 0 khi 3x4y0,x 4 0, 2y 6 0

Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2y2 8x3y18

DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x24x y 2 1

Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2x11y2

Đưa phương trình vê dạng : x1 y1 10

Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 x x 1 x7 x8

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  0

Làm giống bài trên

Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2y x y   2 x y 3

Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên

Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 7x y  3x2 xy y 2

HD :

Đưa phương trình về dạng : 3x2  3y7x3y2 7y0

Để phương trình có nghiệm thì  phải là 1 số chính phương

Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 12x26xy3y2 28x y 

HD :

Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :

2 2

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  0

Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2xy y 2  x y

HD :

Đưa phương trình về dạng : x2y1x y 2 y0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  0

Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 3xy3y2 3y

HD :

Đưa phương trình về dạng : x2 3yx3y2 3y0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  0

Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2xy5y y 1

HD :

Đưa phương trình về dạng : x2 2yx5y2 y 1 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  0

Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 4y2 1

HD :

Biến đổi phương trình thành : x 2y x  2y1

Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 91

HD :

Biến đổi phương trình thành : x y x y    91

Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x3xy7

HD :

Biến đổi phương trình thành : x x2 2y 7

Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x37yy37x

Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x2 2xy 5x5y19

3 52

 

3 2 2

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x 3y2xy11

11

x x y

Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :

2 22

a A ab

Biến đổi phương trình thành: x y x y     2003

Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 3x27y2 2002

Tương tự ta có: y3 y3,z3 z , Mà 2006 33  , Vậy không tồn tại x,y,z

Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn : x 2 3y 3026

HD:

Xét y 0 x2 3026 1 3025  x55

Xét y  0 3 3y còn x2: 3 dư 0 hoặc 1

=> x 2 3 : 3y dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý

Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên : x 2 2y 2005

HD:

Với y<0 => Phương trình vô nghiệm

nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm

nếu y 3 2 8y PTx2 2005 2 8 y

=> x 2 5 mod 8 

( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4

Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Thay z x y 4 vào (2) ta được

Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x 3y2xy11

Biến đổi phương trình thành: x2 2x1 y2 12x 1 y x   1 y 12

Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : y x 1x22

Biến dổi phương trình thành: x1 y 1 0

Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x2 xy6x 5y 8

Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : x y2 2 x2 8y2 2xy

HD:

Biến đổi phương trình thành: y x2 2 7 x y 2

(1)Phương trình đã cho có nghiệm: x y 0

( )2

2y  mà 5 :2 dư 1=> x2 2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3

mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý

vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn

Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 9x 5 y y 1

Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x24x19 3 y2

4

x y

Với x 2 2 42 VT: 4 dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> y2 4k24k1: 4 dư 1 (vl)

Vậy không tồn tại x, y nguyên

Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho : 2x57y2

HD :

làm tương tự bài trên

Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :

có giá trị nguyên

HD:

ta có:

2 b c  1 bc

hay b 2 c 2  5 b 3,c7Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị

Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x y z   9 xyz

Phương trình đã cho y z2 2x z2 2x y2 2 3xyz

Cô si ta có: VT 33xyz4 3xyz33xyz4 xyz1

, Do x y z , , 0 và x,y,z nguyên nên ta

có các nghiệm là:

(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :

x y z xyz   , Giả sử : 1   x y z xyz x y z   3zxy 3 xy1;2;3

Kết hợp với phương trình đầu=> x y z ; ;  1; 2;3

Bài 33: Tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của 2 số bất kỳ cộng với 1 chia hết cho số còn lại

nếu k=2, hoặc k=1 xét tương tự

Bài 34 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng

Giả sử : t z y x    1 xyzt x y z t    4txyz 4 xyz1;2;3;4

thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương

Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho x2y và y2 đều là số chính xphương

HD :

Giả sử : y < x, Ta có : x2 x2y x 2 x x12

Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu

Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương: x4x3x2 x 1

x y

Phương trình đã cho viết lại thành: