CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC HÌNH học lớp 789

d Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ các đường vuông góc và đường xiên thì: - Đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất.. - Trong hai đường xiên không bằng nhau thì đường xiên n

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 7- 8 – 9 A.LÝ THUYẾT

1.Các bất đẳng thức về góc

a) Trong một tam giác thì góc tù là góc lớn nhất

b) Trong một tam giác thì góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

2 Các bất dẳng thức về đoạn thẳng.

a) Cho ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC ≥

ACDấu “=” xảy ra khi ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác ta luôn có: độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh và bé hơn tổng độ dài hai cạnh

c) Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất

d) Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ các đường vuông góc và đường xiên thì:

- Đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất

- Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại

- Trong hai đường xiên không bằng nhau thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

e) Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm đường tròn

Trong một đường tròn thì:

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

- Trong hai dây không bằng nhau dây nào cách xa tâm hơn thì nhỏ hơn và ngược lại

Ta cũng có:

- Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau

- Dây nào trương cung lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

3 Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

a) Trong một tam giác thì:

- Đối diện với góc lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

- Cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất

b) Trong hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và có góc xen giữa không bằng nhau thì:

- Đối diện với góc lớn hơn ta có cạnh thứ ba lớn hơn

- Đối diện với cạnh thứ ba lớn hơn ta có góc xen giữa lớn hơn

*Chú ý:

Ngoài các kiến thức hình học cơ bản trên, ta cũng thường sử dụng các bất đẳng thức đại số quen thuộc:

a)

b) Với hai số không âm:

- Nếu tổng của chúng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi hai số ấy bằng nhau

- Nếu tích của chúng không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số ấy bằng nhau

B CÁC PHƯƠNG PHÁP

Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thường dùng các phương pháp sau:

- Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc

- Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

- Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác và đường tròn tìm cực trị

- Vận dụng bất đẳng thức đại số

- Vận dụng diện tích tìm cực trị

C CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ

C.I CÁC BÀI TOÁN LỚP 7

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung diểm của cạnh BC và

AC > DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Ta có DC < AC, AB = DC Suy ra AB < AC

Bài 2: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BD⊥

Ta có FH ⊥

BD nên FB > BH(quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Suy ra AB – AC > BD – HD Hay AB – AC > BD – CE

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm

E sao cho BD = CE Chứng minh rằng: BC < DE.

Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = AB.

Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH

Gọi K là giảo điểm của Az và BC.

Xét DFE có < FD < FE Ta có FD < FE, AE = FE FD < AE

Mà = 36 EBC cân đỉnh E EB = EC

Ta có BF < EB (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Mà > ( ABC có BC > AB) Vậy <

MC cắt đường thẳng BC tại D, cắt MC tại H.

Xét CAH có CH vừa là đường cao ( CH AD),

vừa là đường phân giác (gt)

CAH cân tại C CA = CD, HA = HD

MA = MD (Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Xét MBD có: MD + MB > BD (Bất đẳng thức tam giác)

Mà BD = CD + BC = AC + BC Dó đó MA + MB > AC + BC

II.CÁC BÀI TOÁN LỚP 8.

Bài 1 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S ABCD AC.BD.

GIẢI:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vẽ BH, DK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC, DAC

Do đó SABCD = SABC + SDAC

= BH.AC + DK.AC = AC.(BH + DK)

Mặt khác, BH OH BH OB và DK OK

DK OD

Mà OB + OD = BD, nên BH + DK BD

Vậy SABCD AC.BD

Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác.

Chứng minh rằng: AB + AC > AH + BH + CH.

Từ đó suy ra chu vi tam giác ABC lơn hơn (AH + BH + CH)

GIẢI:

Vẽ HD // AC, HE // AB (D AB, E AC)

Ta có HD // AC, BH AC (vì H là trực tâm ABC)

Nên HD BH DB > BH

Chứng minh tương tự ta cũng có EC > CH

Ta có: HD // AE, HE // DA

Tứ giác AEHD là hình bình hành AD = HE

AEH có HE + AE > AH AD + AE > AH

Như vậy AB + AC = AD + DB + AE + EC = (AD + AE) +BD + EC > AH + BH + CH

Chưng minh tương tự ta có : AB + BC > AH + BH + CH, AC + BC > AH + BH + CH

Do đó 2(AB + BC + AC) > 3(AH + BH + CH)

Vậy AB + BC + AC > (AH + BH + CH)

Bài 3 Cho tam giác ABC có AB > BC Các đường phân giác trong là AD và CE Chứng minh rằng AE > DE > CD.

GIẢI:

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K

Ta có AD là đường phân giác trong của tam giác ABC

Nên và CE là đường phân giác trong của

tam giác ABC nên Mà AB > BC

K không trùng E Do vậy DE cắt AC, gọi M là giao điểm của DE và AC

Ta có > ( là góc ngoài của tam giác DAM)

Vẽ AE là đường phân giác của tam giác ADB.

Ta có > = nên AB > AD

ABD có AE là đường phân giác

> 1 EB > ED EB >

Gọi M là trung diểm của BD MB =

Vậy M nằm giữa B và E Nên <

ABM = ACD (c.g.c) Vậy <

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Trên AB, AC lấy M, N sao cho AM = AN

= AH Chứng minh rằng

GIẢI:

Gọi K là trung điểm cạnh BC

Xét ABC vuông tại A, AK là đường trung tuyến

AK = Ta có AH AK (vì AH HK)

Do đó SAMN = AM.AN = AH.AH AH.AK

Mà SABC = AH.BC = AH.AK Vậy

Bài 6 Cho tam giác OBC cân tại O Hai đường thẳng m và m’ lần lượt qua B và C song song với nhau và không cắt tam giác OBC Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng OC và m, D là giao điểm của hai đường thẳng MO và m’ Xác định vị trí của m và m’ để tích AB.CD đạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 2: Từ (1), (2) ta có = Mà BE.EC (BE + EC)2 = BE2

Suy ra AB.CD 4.OE2 Mặt khác OE OH nên AB.CD 4.OH2

Dấu “=” xảy ra BE = EC, E H m BC; m’ BC

Bài 7 Tam giác ABC có diện tích S các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC,

CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k CA.

a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k.

b) Với giá trị nào của k thì đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung

Tuyến AM Chu vi tam giác ABC bằng

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng tam giác ABCvuông cân tại A.

Bài 9 Cho tam giác vuông ABC vuông ở A AB = 4,1 cm; AC = 3,2 cm M là điểm thay đổi trên cạnh BC; gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác HMK.

Giải

Tứ giác AHMK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

nên tam giác MHK vuông ở M

Diện tích tam giác MHK là S=

Áp dụng định lý TaLet ta được

Suy ra

Đáp số S lớn nhất bằng 1,64 (cm2) khi Hay M là trung điểm BC

Bài 10 Cho tứ giác ABCD có AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2

Ta có H K AC BD SABCD = AC.BD SABCD

Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm nằm trong hình chữ nhật Tính giá trị nhỏ nhất của

Vẽ MI AE, MJ DE (I AE, J DE)

MI AM, MJ DE MI.ME MJ.ED và MJ.ED DE.DM

2SMAE AM.CM và 2SMED BM.DM

Do đó AM.CM + BM.DM SABCD (không đổi) Dấu “=” xảy ra I A, J D

Bài 12 Cho tam giác ABC, M là điểm cạnh BC

Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC

GIẢI:

Vẽ MD // AB (D AC) ABC có MD // AB

Suy ra MD =

ADM có AM < MD + DA

Do đó MA < + MA.BC < MC.AB + MB.AC

Bài 13 Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác (có thể ở trên cạnh) Chứng minh rằng MA.BC + MB.CA + MC.AB 4S ABC Dấu “=” xảy ra khi nào?

GIẢI:

Xét 2 trường hợp

a) ABC không có góc tù AM cắt BC tại D Vẽ BH AD, CK AD (H, K AD)

Ta có MA.BC = MA(BD + DC) MA(BH + CK)

= MA.BH +MA.CK = 2SMAB + 2SMAC

Chứng minh tương tự ta có

MB.CA 2SMAB + 2SMBC.

MC.AB 2SMAC + 2SMBC

Do đó ta có: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC

Dấu “=” xảy ra M là trực tâm của ABC

b) ABC có một góc tù, giả sử >

Vẽ AB’ AC và AB’ = AB

M A và M nằm trong AB’C (nếu không ta

vẽ AC’ AB AC’ = AC và giải tương tự)

(AB =AB’) MB > MB’

Mà CB > CB’

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB > MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’

Theo a) ta có MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’ 4SAB’C = 2AB’.AC

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB > 2AB.AC > 4SABC

Tóm lại: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC

Dấu “=” xảy ra ABC không có góc tù và M là trực tâm của ABC

Bài 14 Cho tam giác ABC ( = ) Từ một điểm M trong tam giác vẽ MI BC, MJ CA, MK AB (I

BC, J CA, K AB) Xác định vị trí cảu điểm M sao cho tổng MI 2 + MJ 2 + MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cận tại A Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, L,

M sao cho tam giác KLM vuông cận tại K Xác định vị trí của K, L, M để diện tích tam giác KLM đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

Kẻ LH AB (H AB)

Xét HLK và AKM có:

(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Và LK = MK (KLM vuông cân tại K)

= [5(x2 + y2) – (x – 2y)2] 5(x2 + y2) = KM2 = 5.SKLM (AKM có nên x2 + y2 = AK2 + AM2 =

KM2;KLM vuông cân nên SKLM = KM2) SKLM SABC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra x = 2y AK = AB, AM = AC

Ta chứng minh SOAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA = MB

Xét đường thẳng A’MB’ khác đường thẳng AMB, kẻ AN // Oy (N A’B’)

ANBB’ là hình bình hành

SOAB = SOANB’ < SOA’B’

Khi M là trung điểm của AB dựng hình bình hành OACB OC = 134 (cm)

a) Chứng minh các tam giác ADC và BCE đồng dạng.

b) Giả sử OA = R và C là trung điểm OA Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABED.

Vậy diện tích nhỏ nhất của hình thang ABED bằng , khi đó CMOA và ABED là hình chữ nhật

Bài 3 Cho tam giác ABC không đều, ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng khi và chỉ khi 2BC AB + AC

GIẢI:

Gọi D và E lần lượt là giao điểm của AI với BC và đường tròn (O) (E khác A)

Xét ABC có AD là đường phân giác =

Do đó = =

Do đó ABD AEC (g.g) Nên

OAE cân tại O (vì OA = OE)

Do đó EI AI

2BC AB + AC

Bài 4 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB) Một cát tuyến di động qua B cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho B nằm giữa C và D Xác định vị trí cảu cát tuyến CBD để chu vi tam giác ACD nhận giá trị lớn nhất.

GIẢI:

Vẽ đường kính AM của đường tròn (O) và đường

Kính AN của đường tròn (O’)

( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O))

Và (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O’))

Do đó ACD AMN (g.g) Vì ACD AMN =

P(ACD) = AC

(trong đó P(ACD) và P(AMN) lần lượt là chu vi của các tam giác ACD, AMN)

Ta có P(AMN), AM không đổi Do đó P(ACD) lớn nhất AC lớn nhất

AC là đường kính của đường tròn (O) CD AB tại B

Vậy khi tiếp tuyến CBD vuông góc với AB tại B thì tam giác ACD có chu vi lớn nhất

Bài 5 Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O, R) (BC 2R) A là điểm di động trên cung lớn BC Vẽ hình bình hành ABCD Xác định vị trí của A để đồ dài BD lớn nhất.

Nên BD BI + R, không đổi Dấu “=” xảy ra I nằm giữa B và D

Vậy khi A là giao điểm cảu đường thẳng qua O và song song với đường thẳng BI với đường tròn (O)(A, B nằm khác phía đối với OI và OBCI là hình bình hành) thì độ dài BD lớn nhất

Bài 6 Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB C là điểm thuộc nửa đường tròn Vẽ CH

AB tại H Đường tròn C, bán kính CH cắt nửa đuognừ tròn (O) ở D, E Chứng minh rằng ODCE = R 2

S-GIẢI:

Nối O với C, D với E, OC DE

Gọi I là giao điểm của OC và DE

SODCE = OC.DE = R.DE

CH CO CE OE CI OI

OI OI2 IE R

DE R Do vậy SODCE = R2

Bài 7 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R lấy điểm I trong đoạn AO sao cho

OI = x (O < x < R) qua I vẽ đường thẳng d AB và cắt nửa đường tròn tâm O tại M xác định ⊥

<=> A là điểm chính giữa cung lớn BC

Bài 9 Cho nửa đường tròn ( O ), đường kính AB = 2R, điểm C chuyển động trên nửa đường tròn Ở phía ngoài ABC, vẽ các nửa đường tròn đường kính AC, BC ; gọi diện tích của 2 nửa hình tròn này là S 1 , S 2

a) CMR: tổng S 1 + S 2 không đổi

b) Gọi S là diện tích hình giới hạn bởi ba nửa đường tròn Tìm vị trí của điểm C để S có giá trị lớn nhất.

Giải

a) Tổng diện tích 2 nửa đường tròn đường kính AC, BCbằng:

SABC = AB.CH AB.CO = 2.R.R = R2 (không đổi )

Do đó: Smax = R2 <=> HO <=> C là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB

Bài 10 Từ một khối gỗ hình nón có bán kính đáy là 12cm, chiều cao 30cm, người ta tiện thành một hình trụ Tính thể tích lớn nhất có thể được của hình trụ được tiện ra.

Bài 11 Cho một hình tròn (O) đường kính BC à điểm A thuộc đường tròn (O) Kẻ đường cao

AH của tam giác ABC Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AHB, AHC Đường thẳng IK cắt AB, AC tại M và N Chứng minh S AMN S ABC (S AMN : diện tích tam gác AMN, S ABC : diện tích tam giác ABC).

GIẢI:

Gọi D là giao điểm của AI và BC

J là giao điểm của BN và CK

ABC có BJ, CJ là hai đường phân giác

J là tâm đường trọn nội tiếp tam giác ABC

AJ là đường phân giác của tam giác ABC

Mặt khác có:

(AHD vuông tại H) (1)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà ( AD là tia phân giác ) (3)

Từ (1), (2), (3) có CAD cân tại C

KJ AI

Chứng minh tương tự có IJ AK

Do vậy J là trực tâm AIK AJ IK

AMN có AJ vưa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân

Vậy AMN vuông cân tại A

AMI AHI (vì , = 45)

AH BC nên AH AO mà AO =

SAMN = AM.AN = AH2

SABC = AH.BC

Vậy SAMN SABC

Bài 12 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1 Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Ma + MB + MC (khi M thuộc cung nhỏ AB)

GIẢI:

1 Lấy điểm D trên đoạn thẳng MC sao cho MD = MB

BMD cân tại M có = 60 Tam giác BMD đều

M là điểm chính giữa cung nhỏ AB

Bài 13 Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF là dây cung di động trên nữa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE tại H AE cắt BF tại C CH cắ AB tại I.

a) Tính góc CIF

b) Chứng minh AE.AC + BF.BC không đổi khi EF di động trên nữa đường tròn

c) Tìm vị trí của AF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích đó.

GIẢI:

BE, AF là hai đường cao của ABC CI AB

Tứ giác IHFB nội tiếp

EOF đều nên = 60

30

ACI ABE

= AC.AE = AB.AI

Tương tự BCI BAF = BC.BF = BA.BI

Do đó AE.AC + BF.BC = AB.AI + AB.BI = AB(AI + IB) = AB2

ABC FEC

= = = SABFE = SABC

SABFE lớn nhất SABC lớn nhất CI lớn nhất

I O CAB cân EF //AB

Khi đó SABC = = R2 SABFE =

Bài 14 Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm trên nửa đường tròn đó (M khác A và B) Tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn lần lượt tại C và D Gọi N là giao điểm của AD và BC.

SABCD = (AC + BD).AB = (CM + MD).2R = CD.R 2.R.R = 2R2 (*)

SAMB = AB.MH = R.MH R.R = R2 (**) (do MH MO)

(*) và (**) suy ra: SABCD_ SAMB R2

Hay SACM + SBDM R2

GTNN là R2

Dấu “=” xảy ra CD = AB (ABCD là hình chữ nhật) và H O

M là diểm chính giữa của nửa đường tròn O

Bài 15 Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm P cố định nằm trong đường tròn Hai dây cung AC và BD thay đổi nhưng vuông góc với nhau tại P Xác định vị trí của AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD là lớn nhất.

Tư giác PHOK là hình chữ nhật () => KH = OP không đổi

Tam giác OKH vuông tại O nên

Do đó : không đổi

Tứ giác ABCD có AC BD nên

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số dương, ta có:

không đổi

Dấu “=” xảy ra AC = BD OH = OK PO là tia phân giác của góc HPK AC, BD hợp với PO một góc

450