Luyen thi DH phan lop 10

Bài 2.Hệ ph ơng trình Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.. Ph ơng pháp giải : +Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.. +Thế vào phơng trình

Bài 1 Ph ơng trình bậc hai

A.Tóm tắt kiến thức

1.Phơng trình bậc hai

1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a ≠0

1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai

Biểu thức : Δ= b2 -4ac ( hay Δ’=b’2 –ac với b’ = b/2)

* Δ< 0 : pt vô nghiệm

* Δ= 0: pt có nghiệm kép

* Δ > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt , b

x

a

1 2

2

Δ

− ±

=

ghi chú : nếu ac < 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1.3.Định lý viet

*Nếu phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì

S = x1 +x2 = b

a

− ; x1x2 = c

a .

*Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P ≥0 thì x1,x2 là nghiệm của phơng trình :

x2 –Sx +P = 0

ghi chú:

Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a

Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a

Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2)

2.Phơng trình bậc bốn đa về phơng trình bậc hai

2.1.Dạng 1

ax4 +bx2 +c = 0 ( a≠0) (phơng trình trùng phơng)

Đặt t = x2 với t ≥0 ta có phơng trình : at2 +bt +c = 0

2.2.Dạng 2

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k ≠0

đặt t = ( x+a)(x+b)

2.3.Dạng 3

(x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0)

Đặt t = x + a b

2

+

2.4.Dạng 4

ax4 +bx3 +cx2 ±bx +a = 0 với a ≠0

Chia 2 vế cho x2 và đặt t x

x

1

= ± ta có phơng trình : at2 +bt +c +2a = 0

Ghi chú: nếu t = x +

x

1

thì ta có đều kiện t ≥ 2

Giải tơng tự cho phơng trình : ax4 +bx3 +cx2 ±dx +e = 0 với e d

2

 

=  ữ  

B.Phơng pháp giải toán

ví dụ 1: Tìm m để phơng trình : x2 -10x +9m = 0 (1)

a)có hai nghiệm

b)x1- 9 x2 =0

Hớng dẫn:

a) m 0 ;m 9

25

b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m = 1

Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0 (1)

Có hai nghiệm thoả mãn x1+x2 = 10

Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm

Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3

Ví dụ 3 định m để phơng trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1)

Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x1 +x2 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Hớng dẫn:

*Điều kiện pt có 2 nghiệm là m ≤ − 2 ;m ≥ − 1

*A = …= 4[(m+2)2 -1] ≥ −4 khi m = -2 vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2

Ví dụ 4 Gải các phơng trình:

a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8

b) x4 + ( x-1)4 = 97 ĐS: x = 3 ; x = -2

c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3

Ví dụ 5 Cho phơng trình :

mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: 0 < m < 3

b) Có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: m< 0; 3< m <4

c) Có đúng 1 nghiệm âm ĐS: 0 < m < 3

Ví dụ 6 Cho phơng trình

( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0

Định m để phơng trình trên

a)có 4 nghiệm phân biệt

b)có 3 nghiệm phân biệt

c)có 2 nghiệm phân biệt

d)có 1 nghiệm phân biệt

Bài tập số 1

1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt

a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2

m

1 24 0

 > −





 ≠

 2.Cho phơng trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)

a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 ĐS: m 2 ;m 2

b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 ĐS: P – S -1 = 0

c) Tính theo m,biểu thức A = x1 +x2 ĐS:A=2(1+2m)(16m2+4m-5).

6

±

e)viết pt bậc hai có nghiệm là x1 và x2 ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0

3.Cho phơng trình : x2 -6x +m -2 = 0

Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: 2 < m < 11

4.Cho phơng trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0

Định m để phơng trình :

m

3 2 0

 > −





 ≠



5.Giải các phơng trình :

a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36 ĐS: 0;-3; 3 73

2

− ± .b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16 ĐS: -5;-3

c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0 ĐS: 1; 3 5

2

− ± d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2

Bài 2.Hệ ph ơng trình

Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.

Ph

ơng pháp giải :

+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia

+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1.giải hệ x y

x2 xy

2 3 1 (1)

24 (2)



Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.

-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y.

Ph

ơng pháp giải :

+Đặt S = x +y; P = xy đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y

+Tìm S,P x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích

X2 –SX+P = 0

Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S 2 - 4P ≥ 0

Ví dụ 2.Giải hệ x y xy

x2 y2

5 5



Ví dụ 3 Giải hệ

x y

x y

2 2

2 2

1 1

5

9 DS: 1; 1

 + + + =







Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì hệ có nghiệm (y 0 ;x 0 ).

Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.

-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia.

Ph

ơng pháp giải :

+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho

+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y

+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải

hệ con này

+Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho

Ví dụ 4 Giải hệ x x y

2 2





Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.

ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng

a 'x b'xy c'y d '





Ph

ơng pháp giải :

+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?

+ khi x ≠0,ta đặt y = kx

*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k

*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y)

Ví dụ 5 Giải hệ x xy y

3 2 11 (1)

2 3 17 (2)







ĐS: ( ) ( 1 2 ; , 1 2 ; ) , 4 ; 5 , 4 ; 5

Bài tập số 2 1.Giải hệ :

a) x y

xy x y

0



 + + =

5 7

2 3

 − 

  b)

x y

2 4

2.Giải hệ :

a) x y

x y

2 2 10

4

 + =

 ĐS: (3;1),(1;3) b)

x y xy

x2 y2 xy

5 7



c)

x y

y x

x y

13 6 5

 + =





 + =



ĐS: (3;5),(5;3) d)

x x y

3 3 2

2



e) ( x y xy )

2 2

4 4

78 97





3.Giải hệ:

2 2

2 2





3 3

2 2









2





4.Giải hệ:

a)

x y

x y

2 2

2 2

1 1

5

9

 + + + =





 + + + =



ĐS: 1 ; 3 5 , 3 5 ; 1

Bài 3: Giải bất phơng trình

Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.

A-Xét dấu biểu thức E

+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất

+ Lập bảng xét dấu

B- Giải bất phơng trình hữu tỉ

+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế

+ Rút gọn biểu thức có đợc

+ Xét dấu biểu thức đó

+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm

Ví dụ 1: Xét dấu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3)

• x2 – 4 có 2 nghiệm là -2; 2

• x2 – 4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3

Lập bảng xét dấu

Ví dụ 2: giải bất phơng trình : x x

2

+ + − >

HD: (1) ( x x ) ( x x )

2 12 36

0

Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6

Bài tập

1.Giải các bất phơng trình:

a) x2 -7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5 b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) ≥0 ĐS: 1 ≤ ≤ x 3 c)x x

x

2 3

0

1 2 + + <

2 2

0

− + >

− + ĐS: x <1; 1< x <2 ; x ≥ 3 . 2.Giải các bất phơng trình sau :

a) x x

x x

2 4 3

1

3 2

− + < −

b)

1 + 2 < 3

2 2

− + − ĐS: − ≤ ≤ − − < < 5 x 2 1 ; x 1 .

d)

− + ≤

x x

2

− ≤ <



 ≠ −



3 Giải các bất phơng trình sau :

a) x(x+1) <

x2 x

42 1

+ + ĐS: -3 < x <2. b) x

2 +(x+1)2

x2 x

15 1

≤ + + ĐS: − ≤ ≤2 x 1. c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24 ĐS: -4 < x< 1

Vấn đề 2.Giải hệ bất phơng trình

*Giải từng bất phơng trình

*kết hợp nghiệm còn lại ta đợc nghiệm của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ : x x

2 2

7 6 0 (1)

8 15 0 (2)







Giải : giải (1) :1 ≤ ≤ x 6

Giải (2) :x ≤ 3 ;x ≥ 5

Kết hợp (1) và (2) ta đợc ĐS: 1 ≤ ≤ x 3 5 ; ≤ ≤ x 6

Bài tập:

1.Giải các hệ bất phơng trình

a) x x

x

2 12 0

 − − <

 − >

 ĐS: 1/2 < x < 4. b)

2

2





x

2 2

1

3

5

−

Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.

Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 , ∀ ∈ x R

Giải:

• m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0 ⇔ > x 0 do đó m = 0 không nhận đợc

• m ≠ 0

2

Δ

⇔   = − < ⇔  < − >  ⇔ >

Ví dụ 2.Định m để bất phơng trình sau vô nghiệm

(m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0 (1) HD: 1 7 m 1 7

Bài tập

1) f(x) = x2-mx +m +3 ≥ 0 x R , ∀ ∈ → ≤ ≤ -2 m 6

2) f(x) = mx2 –mx -5 < 0 , ∀ ∈ → − < < x R 20 m 0

………

Bài 4 Phơng trình Bất ph– ơng trình chứa căn thức

Vấn đề1.Luỹ thừa các vế.

A B

A B2

0

≥





Ví dụ 1.Giải bất phơng trình : x2 − = + 1 x 2 ĐS: x = -5/4

Ví dụ 2.Giải phơng trình: x + = − 1 8 3 x + 1 ĐS: x = 8

Vấn đề 2 Đổi biến đa về phơng trình hữu tỉ.

Ví dụ: (x + 1)(x + 4) – 3 x2 + 5 x + = 2 6 ĐS: x = -7; x = 2

Vấn đề 3 Đa về hệ phơng trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ.

Vấn đề 4 Đa về phơng trình chứa trị tuyệt đối.

Ví dụ: x + + 2 2 x + + 1 x + − 2 2 x + = 1 2 ĐS: -1≤ ≤x 0

Vấn đề 5 Bất phơng trình chứa căn thức.

Các dạng căn bản

B

A B

A

0 0

<



> ⇔  ≥

B

A B2

0

≥



 >



B

A B

A B2

0 0

>



< ⇔  ≤ <



Ví dụ: Giải bất phơng trình : x2 − < + 1 x 2

Ví dụ: Giải bất phơng trình: x2 − 3 x ≥ − 4 x

………

Bài tập tơng tự I.Giải các phơng trình :

1) x2 − 2 x − = 4 2 − x ĐS: -2. 2) 3 x2 − 9 x + = − 1 x 2 ĐS: 3.

3) 3x2 −9x+ = −1 x 2 ĐS: 3;-1/2 4) 3 x + − 7 x + = 1 2 ĐS: 1;3

5)3 x + + 5 3 x + = 6 3 2 x + 11 ĐS: -6;-5;-11/2 6) 3 x + + 1 3 3 x + = 1 3 x − 1ĐS: -1 7) 31 + x +31 − x = 2 ĐS: 0. 8) 3 x2 − 2 x + 15 + 3 x2 − 2 x + = 8 7 ĐS: 1;-1/3.

9) x2 + − 9 x2 − = 7 2 ĐS: 4;-4. 10) 4 47 2 − x +4 35 2 + x = 4ĐS: -17;23

11) x − + 2 2 x − + 5 x + + 2 3 2 x − = 5 7 2 ĐS: 15.

II.Giải các bất phơng trình :

1) x2 − − x 12 7 < − xĐS:x ≤ − 3 4 ; ≤ ≤ x 61

3 2) 21 4 − x x − 2 < + x 3ĐS: 1 ≤ ≤ x 3

3) x2 − 3 x − 10 ≥ − x 2 ĐS: x ≤ − 2 ;x ≥ 14 .

4) x + − 3 7 − > x 2 x − 8 ĐS: 4 ≤ ≤ x 5 6 ; < ≤ x 7

5) 2 x + + 3 x + ≤ 2 1 ĐS: − ≤ ≤ 3 x 2 1 ( − 3 )

2

Một số đề thi Đại học

I.Phơng trình

1 Giải phơng trình: 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4.

2.Giải phơng trình : 3x− 2 + x− 1 = 4x− 9 + 2 3x2 − 5x+ 2 (x ∈ R)

3.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : x2 +mx+ 2 = 2x+ 1

4.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 24 x2− 1

5.Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của tham số m ,phơng trình sau

có 2 nghiệm phân biệt: x2 +2x - 8 = m x ( − 2)

II Bất phơng trình

1 8x2−6x+ −1 4x+ ≤1 0 2 x 2+ 2 x 2+4 x+3≥6−2 x

3 2x2 +4x +3 3 2x x− − 2 > 1 4 x + 12 ≥ x − 3 + 2 x + 1

5 5 x − − 1 x − > 1 2 x − 4 6 2x 7 + − 5 x − ≥ 3x 2 −

2

3

9.Tìm m để bất phơng trình : m ( x2− 2 x + + + 2 1 ) x ( 2 − < x ) 0 có nghiệm x ∈   0;1 + 3  

III Hệ phơng trình

 + + + =

2 2







3 32 8 32 2 x,y ( )

3 3( 1)

 − = +



















+

=

−

=

−

1 2

1 1

3

x y

y

y x x

7

4 2

5

5 (1 2 )

4

x y

 + + + + = −







 + + = −



10.Tìm m để hệ phơng trình :







= +

=

−

−

1

0 2

xy x

m y x

có nghiệm duy nhất

11.Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm









−

= +

=

+

m y

y x x

y x

3 1 1

………