NHỊ THỨC NEWTON1... Cho n là số nguyên dương.. Tìm n biết rằng trong số các tập con của A cĩ đúng 16n tập con cĩ số phần tử lẻ.
Trang 1NHỊ THỨC NEWTON
1 Công thức Newton
Định lí: (a b)n C a n0 n C a n1 n1b C a n2 n2 2b C n n1ab n1 C b n n n
2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng: C n k C n n k
* Số hạng tổng quát :T k 1 C a n k n k k b
VD: Số hạng thứ nhất T1T0 1 C a n0 n, số hạng thứ k
(k 1) 1 n k n k k
3 Một số hệ quả
Hq: Ta có : (1x)n C n0 xC1n x C2 2n x C n n n
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* C n0 C1n C n n 2n
*C n0 C1n C n2 ( 1) n C n n 0
3 Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của xk trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó T k 1 C a n k n k k b
VD1: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau
10 9
) ( ) (1 2 )
) ( ) (2 3 )
VD2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau
12
4 3 17
3 2
2
1
x
x
VD3: Trong khai triển của (1 2 )10
3 3 x thành đa thức
a a x a x a x a x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 k 10)
VD4: Cho khai triển (2 21 2 )3 0(2 21) (2 )3
dương) Biết trong khai triển đó C n3 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm x và n?
Trang 2VD5: Xét khai triển (x1) (10 x 2)x11a x1 10 a11 Tính a5=?
VD6: Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3=26n
Dạng 2: Tính tổng
0
n
k k
k n k
PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (1 x)n C n0 xC1n x C2 2n x C n n n, ta chọn những giá trị x thích hợp
Ví dụ 1.Cmr: a C) 20n C22n C22n n C12n C23n C22n n1
b C C) m n0 k C C1m n k1 C C m n k 0 C m n k
Ví dụ 2: Tính các tổng sau
) 0 1 1 1 2 1
n
n
b C) 1n 2C n2 nC n n
c) 2.1.C n23.2C n34.3C n4 n n( 1)C n n
d C) 20070 22C20072 24C20074 2 2006C20072006
Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: C n0 2C1n 4C n2 2 n C n n 243
Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
x , biết
2n 1 2n 1 2n n 1 2 1
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng
Ví dụ 6: Tính tổng 0 32 1 1 3 1 1
n
n
n
Ví dụ 7: Tính tích phân
1
2 0
(1 )n
I x x dx và tính tổng
n n
n
Bài tập
1 Xét khai triển (2x 1)20
x
a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2 Xác định hệ số của x4 trong khai triển f x( ) (3 x22x1)10
3 Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau
a f x) ( ) ( x x x3 1528)n biết rằng C n n1 C n n2 78 với x>0
Trang 3b) f x( ) (3 x 41 )7
x
4 Giả sử n là số nguyên dương và (1 x)n a0 a x1 a x n n Biết rằng tồn tại số nguyên k (1 k n 1)sao cho 1 1
5 Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 13 x5)n
x , biết rằng
1
6 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8
7 Trong khai triển nhị thức 3 21
3
b a tìm hệ số của số hạng chứa a và b cĩ
số mũ bằng nhau
8 Cho n là số nguyên dương Tính tổng 0 22 1 1 2 1 1
n
n
n
9 Tìm số nguyên dương n sao cho
2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n 1 (2 1)2n 2n n 1 2005
10 Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên dương thỏa mãn C12n 1 C23n 1 C25n 1 C22n n11 1024
11 Giả sử (1 2 ) x n a0 a x a x1 2 2 a x n n, biết rằng a0 a1 a n 729 Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an
12 Cho tập A cĩ n phần tử Tìm n biết rằng trong số các tập con của A cĩ đúng 16n tập con cĩ số phần tử lẻ
13 Tính tổng S C 1n22C n2 n C2 n n
14 Cho
1
2 0
2.4.6 (2 2)2
1.3.5 (2 1)(2 1)
n n
n
15 Tính các tổng sau
n
n n
n
16 .Với mỗi n là một số tự nhiên,hãy tính tổng:
0 1 1 1 2 2 1 3 3 1
n n
n
Trang 4Bổ sung các tính chất
Chứng minh các đẳng thức sau:
1
1 1 1
2
4
1)
2)
3)
6) mọi n≥2 ta luôn có: 2 2 2
2 3
n
n
7) Tính giá trị của biểu thức
1 3 ( 1)!
M
n
8 Tính tổng
2 1