PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN.. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.. M là giao điểm của CE và DF.. Chứng minh: Tứ giác
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1
a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5
b Chứng minh n N* thì n3 n 2 là hợp số
c Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ
Câu 2.
a Giải phương trình: 1 2 3 2012 2012
x x x x
b Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tính S = a2 + b 2012 + c 2013
Câu 3
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18
b Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác
a b c a b c a b c
Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC; CD; DA M là giao điểm của CE và DF
a Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông
b Chứng minh DF CE và MAD cân
c Tính diện tích MDC theo a
Hết./.
Họ và tên: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 2PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN THI KĐCL MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
m
Câu 1
3
điểm
a 1
điểm
= (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9
= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)
0.5 0,5
b 1
điểm
Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
=(n+1)( n2 - n + 2)
Do n N* nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
0.25 0,25 0.5
c 1
điểm
Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1
= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 2
2
điểm
a.
1.5
điểm
Phương trình đã cho tương đương với:
0.5
0 5
0 5 b.
0.5
điểm
a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c 1;1
a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0
a3 + b3 + c3
1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1
b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1
0.25 0.25
Câu 3
1.5
điểm
a 1
điểm
Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18
A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1
A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3
0.25 0.25 0.25 0.25 b.
0.5
điểm
vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;
a - b + c > 0 Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0
ta có: x + y + z = a + b + c; ; ;
a b c
0.25
Trang 3
1
1
4
y x z x y z z x y
x y z
x y z x y z x y z
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh
0.25
Câu 4
3.5
điểm
Hìn
h vẽ
0 5
đ
N
M
G
F E
C
B
H A
D
0.5
a.
1.25
điểm
Chứng minh: EFGH là hình thoi Chứng minh có 1 góc vuông
Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông
0 5
0 5 0.25
b 1
điểm
( )
BECCFD c g c ECB FDC
Hay CE DF
Gọi N là giao điểm của AG và DF Chứng minh tương tự: AG DF
GN//CM mà G là trung điểm DC nên N là trung điểm DM
Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cân tại A
0.25 0.25 0.25 0.25
c.
0.75
điểm
CMD FCD g g
FD FC
Do đó :
.
CMD
FCD
.
FCD
S CF CD CD
2
1 4
CMD
CD
FD
Trong DCF theo Pitago ta có :
.
DF CD CF CD BC CD CD CD
0.25 0.25
0.25
Trang 4Do đó :
2
2
.
4
MCD
CD
CD
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.
Trang 5ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2013 – 2014
Thời gian 120 phút
ĐỀ BÀI Bài 1: (6 điểm)
a) Giải phương trình: y2 – 2y + 3 =
4 2
6 2
x x
30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
x
Bài 2: (5 điểm)
2.1) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất
2.2) Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tính P(6), P(7)?
Bài 3: (2 điểm)
Cho a, b, c [0; 1] và a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 +
c2
Bài 4: (7 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD
a) Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: CHK BCA
c) Chứng minh: AC2 = AB AH + AD.AK
Trang 6ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
1
a) y2 – 2y + 3 =
4 2
6 2
x
x <=> (y2 – 2y + 3).(x2 + 2x + 4) = 6 <=> [(y – 1)2 + 2].[(x + 1)2 + 3] = 6
<=> (x +1)2.(y – 1)2 + 3(y – 1)2 + 2(x + 1)2 +
6 = 6
<=> (x +1)2.(y – 1)2 + 3(y – 1)2 + 2(x + 1)2 = 0
mà (x + 1)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ 0 => (x +1)2.(y – 1)2 + 3(y – 1)2 + 2(x + 1)2
= 0 khi và chỉ khi x + 1 = 0 x = - 1 Vậy cặp (x, y) = (-1;
1) là nghiệm của phương trình
y – 1 = 0 y = 1
30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
x
6 5
1 5
4
1 4
3
1 3
2
1
3; 4; 5; 6
6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
x
6
1 2
1
x
6 2
4
x
x => (x – 2)(x – 6) 0
x – 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 6 mà x ≠ 6 => x > 6
x – 6 ≥ 0 x ≥ 6
x – 2 0 x 2 x 2 mà x ≠ 2 => x < 2
x – 6 0 x 6 Vậy tập nghiệm của BPT là x > 6
hoặc x < 2
1đ
0,5đ 0,5đ 1đ
0,5đ
1đ 0,5đ
1đ
2 2.1) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m
a) P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m = 6x3 + 9x2 – 16x2 – 24x + 8x +
12 + m - 12
= 3x2(2x + 3) – 8x(2x + 3) + 4(2x + 3) + m – 12 = (2x + 3)(3x2 – 8x + 4) + m – 12
Để P(x) (2x +3) thì m – 12 = 0 <=> m = 12
b) Với m = 12; P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12 = 6x3 – 4x2 – 3x2 + 2x – 18x + 12
= 2x2(3x – 2) – x(3x – 2) – 6(3x – 2) = (3x – 2)(2x2 –
x – 6)
0,5đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ
Trang 7Phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất: P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x
+ 12
= (2x + 3)(3x – 2)(x – 2)
2.2) Vì P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25
Mà P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e => P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
(x – 4)(x – 5) + x2
P(6) = 5.4.3.2.1 + 62 = 156
P(7) = 6.5.4.3.2 + 72 = 769
0,5đ 0,5đ
3
Vì a, b, c [0; 1] => (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 0
Ta có: (1 – a)(1 – b)(1 – c) = 1 – (a + b + c) + (ab + bc + ac) – abc
(vì a + b + c = 2)
= - 1 + (ab + bc + ac) – abc ≥ 0
<=> ab + bc + ac ≥ abc + 1 ≥ 1 (vì abc ≥ 0 ) => -2 (ab + bc
+ ac) -2
Lại có: (a + b + c)2 = a2 + b2 +c2 + 2(ab + bc + ac)
=> P = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac) = 4 – 2 (ab + bc +
ca) 4 - 2 = 2
Vậy P = a2 + b2 + c2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi (a, b, c) là hoán vị
của (0; 1; 1)
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
4 a) DF // BE (vì cùng vuông góc với AC)
AFD = CEB (C.huyền – G.nhọn) => DF = BE
b) BC // AK => BCK = 900
ABC = 900 + BCH (góc ngoài của CHB)
HCK = 900 + BCH
Có CKD = ACD + DAC (góc ngoài
DKC)
HBC = BAC + BCA
mà BCA = DAC ; BAC = DCA
CKD CBH => CD BC CH CK
hay BC AB CH CK
CHK BCA (c.g.c)
c) AEB AHC => AC AB AH AE
=> AE.AC = AB.AH (1)
AFD AKC => AK AF AC AD
1đ 1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
1đ
=> ABC = HCK
=> DFBE là hình bình hành
Trang 8=> AF.AC = AD.AK (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có: AE.AC + AF.AC = AB.AH +
AD.AK (3)
Mà AFD = CEB (CM trên) => AF = CE
(3) <=> AC.(AE + EC) = AB.AH + AD.AK
<=> AC2 = AB.AH +AD.AK
1đ
1đ
ĐỀ THI ÔLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8
(120 Phút) (năm học 2013 – 2014)
Câ
u 1 : (6 điểm)
Trang 9a) Giải phương trình :
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = 3
c b
c a
b a
c b a
Câu 2 : (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3
b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Câu 3 (3 điểm )
a Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9
a b c
b Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Bài 4 : ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O Chứng minh rằng :
a ) OA.OB = OC.OH
b ) Góc OHA có số đo không đổi
c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi
Đáp án – hướng dẫn chấm
Câu 1 : (6 đ)
a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
Trang 10ĐKXĐ : x 4 ;x 5 ;x 6 ;x 7 0,5
Phương trình trở thành :
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
18
1 7
1 4
1
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,25đ) b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
; ( 1,5đ )
) (
) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
( 0,75 đ)
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1
hay A 3 ( 0,25đ )
Câu 2 : (2đ)
a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25
Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2 2ab b2 ) 3ab
=(a+b)(a b) 2 3ab
Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
Do vậy (a+b)(a b) 2 3ab
chia hết cho 9
b ) ( 3đ ) n5 + 1 n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
1n2 – n + 1
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
Trang 11Câu 3
a Từ: a + b + c = 1
1
1
1
( 1đ )
3
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1
3 ( 0,5 đ )
b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1 ( 1 đ )
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) ( 0,5 đ )
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
Câu 4 ( 6 đ )
a) BOH ~ COA (g-g) OB OH
OC OA OA.OB = OC.OH ( 2 đ ) b) OB OH
OC OB (1)
OHA và OBC có O chung (2)
Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
OHA OBC (không đổi) ( 2 đ )
c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM BK
BM.BH = BK.BC (3)
(4)
Cộng từng vế của (3) và (4) ta có: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK
= BC(BK + CK) = BC 2
(không đổi) ( 2 đ )
C K
B
O
A
H M