Chứng minh rằng: a ABM đồng dạng ACN b góc AMN bằng góc ABC 2 Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC.. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK.. Chứng minh rằng: EF song so
Trang 1PHềNG GD&ĐT TĨNH GIA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2012-2013
Mụn thi : TOÁN 8 (Thời gian làm bài : 120 phỳt - Khụng tĩnh thời gian giao đề)
Bài 1 : (4.0 điểm)
1
1 1
1
2 2
4 2
x x
x
x
4 4
1
1
x
x x
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị bé nhất của M
Bài 2 : (4.0 điểm)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3
9 với mọi n N*
b, Giải phơng trình: 2 1
1
2011 2012 2013
Bài 3 : (5.0 điểm)
Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác Chứng minh rằng:
a) ABM đồng dạng ACN
b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC
Bài 4 : (4.0 điểm)
a, Chứng minh rằng x3 y3 z3 xy3 3xy.xyz3
b, Cho 111 0
z y
xy y
xz x
yz
Bài 5 : (3.0 điểm)
Tìm một số có 8 chữ số: a a a1 2 8 thoã mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
a a a = a a 1 2 3 7 82 và a a a a a 4 5 6 7 8 a a 7 83
L
ỜI GIẢI
Bài 1 :
) 1 )(
1 (
1 )
1 )(
1 (
2 2
4
2 4 2
2
x x
x
x x x
x
x4+1-x2) =
1
2 1
1 1
2
2 2
2 4 4
x
x x
x x x
b) Biến đổi : M = 1 -
1
3
2
x M bé nhất khi 1
3
2
x lớn nhất x
2+1 bé nhất
x2 = 0 x = 0 M bé nhất = -2
Bài 2 :
a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Trang 2Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vỡ tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9
b, Ta có: 2 1
1
2011 2012 2013
2 1
2011 2012 2013
2 2011 1 2012 2013
2011 2011 2012 2012 2013 2013
2011 2012 2013
2011 2012 2013
x
(2006 - x) = 0
0
2011 2012 2013 )
x = 2006
Bài 3 :
1) a) chứng minh ABM đồng dạng
CAN (g-g)
b) Từ câu a suy ra:
AN
AM AC
AB
đồng dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tơng ứng)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)
Suy ra:
CHA =CAH nên CAH cân tại C
do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK
BK = CA Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tam giác KHA
Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)
Bài 4 :
a, Chứng minh 3 3 3 3 3
.
3xy x y z y
x z y
Biến đổi vế phải được điều phải chứng minh
b, Nhận xột: Nếu abc 0 thì a3 b3 c3 3abc Thật vậy:
a3 b3 c3 a b3 3aba b c3 c3 3ab c c3 3abc
(vì abc 0 nên ab c) Theo giả thiết 11 1 0
z y
Trang 3khi đó 2 2 2 3 3 3 13 13 13 3 3
xyz
xyz z
y x
xyz z
xyz y
xyz x
xyz z
xy y
xz x
yz
A
Bài 5 :
Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2)
Từ (1) và (2) => 22 a a7 8 31
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600
( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 25 a4a5a6
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 là số 57613824
b) a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625
c) a7a8 = 26 => không thoả mãn