076 đề HSG toán 8 quế sơn 2012 2013

M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD.. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD a Chứng minh DECF b Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM đồng quy , , c Xác định vị trí điểm M trên BD

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GD & ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 8 Bài 1 (2,5 điểm)

a) Cho ba số a b c thỏa mãn , , a  b c 0.Chứng minh rằng ab bc ca0

b) Cho f x( )ax2bxcvới a b c là các số thỏa mãn 13, , a b 2c0

Chứng tỏ rằng f    2 f 3 0

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2  y2 xy  x y 1

Bài 2 (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

  3  3 3

2013 2012 2011 2010

Bài 3 (2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD

a) Chứng minh DECF

b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM đồng quy , ,

c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Bài 4 (2,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD AC( BD).Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên

AB và AD Chứng minh

a) ABC HCG

b) AC2  AB AG  AD AH

Bài 5 (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5 5n n  1 6 3n n 2n 91

Bài 1

a) Có: a2 b2 2ab a; 2  c2 2ac b; 2  c2 2ac

Cộng được: 2a2 2b2 2c2 2ab2ac2bca2 b2c2 abacbc (1)

a   b c a b c  ab ac bc   a b c  ab ac bc

Cộng  1 với  2 được 3ab3ac3bc 0 ab bc ca0

b) f   2 4a2bc f;  3 9a3bc

Có f   2 f  3 13a b 2c0 nên:

Hoặc: f   2 0và f  3  0 f    2 f 3 0(1)

Hoặc : f  2 và f  3 là hai số đối nhau  f    2 f 3 0(2)

Từ  1 và  2 được f    2 f 3 0

c) 4M 4x2 4y2 4xy4x4y4

2 2

Giá trị nhỏ nhất của 4M là

1

2 3

3

y

x

  



 

 



nên

Giá trị nhỏ nhất của M là

2

1 3

3

x

y

 



 



 



Bài 2

a)

2013 2012 2010 2011 2014

x

x

 

b) Đặt 2x 5 a; x     2 b a b x 3

Phương trình đã cho trở thành: 3 3  3

a b  a b

 

2

5 0

2

3

a b a ab b a b a ab b

a b a ab b a ab b

ab a b

a b x

   





   





a) Chứng tỏ được AEDF(cùng bằng MF)

Chứng tỏ được CDF DAEFCDEDA

Có: EDAvà EDC phụ nhauECDvà EDA phụ nhau hay CF DE b) Tương tự có CEBF

Chứng minh được CM EF

Gọi G là giao điểm của FM và BC H là giao điểm của CM và EF ;

MCGEFM (hai HCN bằng nhau)

90

MHF MGC

, ,

CM FB ED là ba đường cao của CEF nên chúng đồng quy

c)  2

0

4

AE ME

2

4

AEMF

AB S

  Mà AB là hằng số nên S AEMFlớn nhất  AEME

Lúc đó M là trung điểm của BD

F

E

C D

M

Bài 4

a) Chứng tỏ được CBG CDH CG BC BC

Và ABCHCG(cùng bù với BAD) ABC HCG

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của , B D trên AC

AF AD

AH AC

AE AB

AG AC

Cộng được : AF AC  AE AC  AD AH AG AB

AC AF AE AD AH AG AB

Chứng tỏ được: AEFC.Thay được:

AC AF FC AD AH AG ABAC AD AH AG AB

Bài 5

F

E

H

G

D

A

25 18  12 5 

A    Achia hết cho 7

25n 12n 18n 5 n

A    Achia hết cho 13

Do 13,71nên A chia hết cho 91