- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 6
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (3 điểm) Thực hiện phép tính
a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + + 2001 – 2005 – 2009 + 2013
b) So sánh P và Q
Biết P = 2010 2011 2012
2011 2012 2013+ + và Q = 2010 2011 2012
2011 2012 2013
Bài 2 (1 điểm).
Tính N =
2 2 9 2 6 2 14 6
28 19 29 18
5.(2 3 ) (2 ) 2.(2 3) 3 5.2 3 7.2 3
−
−
Bài 3 (4 điểm)
a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3.
Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.
b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 và B = 32013 : 2.
Tính: B – A.
Bài 4 (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19
dư 11
b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1
Bài 5 (4 điểm).
a) Tìm số tự nhiên x sao cho 2x 1 5 − <
b) Cho B 1.2.3 2012.(1 1 1 1 )
Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.
Bài 6 (4 điểm).
Cho ·xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
a) Tính BD.
b) Biết ·BCD = 850, ·BCA = 500 Tính ·ACD
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD) Tính BK
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh :………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
Bài 1
(3đ)
Thực hiện phép tính
a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + + 2001 – 2005 – 2009 + 2013
Nhận xét : Tổng - hiệu trên có 504 số
N = (1- 5 – 9 +13) + (17 – 21 – 25 + 29)+ + (2001 – 2005 – 2009 + 2013)
= 0 + 0 +……+ 0
= 0
b) So sánh P và Q
Biết P = 2010 2011 2012
2011 2012 2013+ + và Q = 2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q = 2010 2011 2012
2011 2012 2013
2010
2011 2012 2013+ + +
2011
2011 2012 2013+ + + + 2012
2011 2012 2013+ + Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012
thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q
Kết luận: P > Q
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Bài
2(1đ) Tính N =
2 2 9 2 6 2 14 6
28 19 29 18
5.(2 3 ) (2 ) 2.(2 3) 3 5.2 3 7.2 3
−
−
N =
18 18 12 28 14 6
28 19 29 18
5.2 3 2 2.2 3 3 5.2 3 7.2 3
−
2
2 3 (5.3 7.2) 2 3 (15 14) 1
0.25đ 0.75đ
Bài 3
(4 đ)
a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3
Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3
- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho được các số
dư là 0 hoặc là 1
- Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2,
điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3
Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3 Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng chia
hết cho 3
b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 và B = 32013 : 2
Tính: B – A
2B = 32013
3A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 + … + 32013
2A = 3A – A = 32013 - 1
2B – 2A = 32013 - 32013 + 1 vậy B-A = 1
2
0.5đ 0.75đ 0.75đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Bài 4
(4đ)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4
dư 1và chia cho 19 dư 11
Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) M 11 ; (a-1) M 4 ; (a-11) M 19
(a-6 +33) M 11 ; (a-1 + 28) M 4 ; (a-11 +38 ) M 19
(a +27) M 11 ; (a +27) M 4 ; (a +27) M 19
Do 4 ; 11 ; 19 là 3 số nguyên tôt cùng nhau,
nên a +27 nhỏ nhất là BCNN (4 ;11 ; 19 )
0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 3Từ đó tìm được : a = 809
b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1
x2 – 1 = 6y2 ⇒ 6y2 = (x-1).(x+1) M 2 , do 6y2M 2
Mặt khác x-1 + x +1 = 2x M 2 ⇒ (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn ⇒ (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp
⇒ (x-1).(x+1) M 8 ⇒ 6y2M 8 ⇒ 3y2M 4 ⇒ y2M 4 ⇒ y M 2
⇒ y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5 Kết luận
0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
Bài 5
(4đ) a) Tìm số tự nhiên x sao cho 2x 1 5 − <
Do x là số tự nhiên nên 2x -1 là số lẻ 2x 1 − nhận các giá trị 1 hoặc 3
Vậy 2x- 1 = -3 , x = -1
2x- 1 = -1 , x = 0
2x- 1 = 1 , x = 1
2x- 1 = 3 , x = 2
Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.
1
+ + + ×××+ có 2012 số hạng
1
+ + + ×××+
1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007
1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007
Vậy B 2013 (1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007)
1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007
= 2013( 1 +1+1+… +1) M 2013
Kết luận B chia hết cho 2013
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.25đ
Bài 6
(4đ ) Cho ·xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm Trên tia đối
của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay
y C
Trang 4a) Tính BD
Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
b) Biết ·BCD = 850, ·BCA = 500 Tính ·ACD
- Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
85 60 25
ACD ACB BCD ACD BCD ACB
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD) Tính BK
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
- Suy ra: AK + KB = AB
* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB
⇒ KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
A
* Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm
0.5đ 0.5đ
0.25đ
0.5đ 0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ)