Đề đa HSG toán 7 thanh chương 2013 2014

Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.. Gọi I là giao điểm của MN và BE.. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN

NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN 7

Câu 1

a Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105.

b.Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố.

Câu 2 Tìm x biết :

a. 3 2 x  x 1

b (1 1 1

2 3  2014) x = 2013 2012 2 1

1  2   2012 2013

Câu 3

a Tìm x; y; z biết 3;

2

x

y  5x = 7z và x – 2y + z = 32.

b Cho 73x x75y y  73z z57t t Chứng minh: x y  z t .

c Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2013 2014  x x 2015.

Câu 4

Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm

E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M

và N Gọi I là giao điểm của MN và BE.

a Biết AB < BC Chứng minh: Â > 600.

b Chứng minh IM = IN

c Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.

Hết./

Họ và tên: Số báo danh

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 01 trang )

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014

MÔN THI: TOÁN 7

Câu 1

a 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5)

= 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105

0.5 0.5

b *) Nếu p = 3k + 1 ta có: 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k +1) là hợp số ( trái gt)

*) Nếu p = 3k + 2 ta có 2p + 4 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là hợp số ( trái gt)

Vậy p = 3k, mặt khác p là số nguyên tố nên p =3

0.25 0,25 0.5

Câu 2

a

Nếu 3

2

x� thì 3 2 x   � 2x – 3 = x +1 � x = 4 x 1 Nếu 3

2

x thì 3 2 x   � 3 – 2x = x +1 � 3x = 2 � x = x 1 2

3 Vậy x = 4 hoặc x = 2

3

0.5 0,5

b

(1 1 1

2 3  2014).x = 2013 2012 2 1

1  2  2012 2013

� (1 1 1

2 3  2014).x = 2012 1 2011 1 2 1 1 1 1

2   3  2012  2013 

� (1 1 1

2 3  2014).x = 2014 2014 2014 2014 2014

2  3  2012 2013 2014 

� (1 1 1

2 3  2014).x = 2014(1 1 1 1 1 )

2 3 2012 2013 2014  � x = 2014

0,5 0,25 0.25

Câu 3

a

Ta có 3

2

x

y  �

3 2

x y

21 14

x y

 (1); 5x = 7z �

7 5

x z

 �

21 15

x z

 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

21 14 15

21 28 15 8

x y z  

Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60

0.25 0.5 0.25 b

Đặt: 7 5 7 5

  = k � 7x + 5y = k(3x – 7y) � (3k – 7) x= (7k + 5)y �

x k

y k





 (1) Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t) � (3k – 7)z = (7k + 5)t � 7 5

z k

t k





 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

0,5 0,5

c A = x2013 2014  x x 2015 = (x2013 2015x) x 2014

Ta có: x2013  2015x �x2013 2015  x 2 Dấu “=” xảy ra khi:

2013� �x 2015(1)

Lại có: x2014 � Dấu “=” xảy ra khi x = 2014 (2) Từ (1) và (2) Ta có minA = 2 Dấu 0

“=” xảy ra khi x = 2014

0.25 0.25 0.25

Câu 4

H

O

M

E A

B

C

D

0.25

a Do AB < BC nên � �.A B mà B C� � vì tam giác ABC cân Mà � � � 0

180

A B C   nên

ta có

� 600

A (HS có thể c/m bằng phản chứng)

1.0

b HS chứng minh được BDM = CEN suy ra EN = DM

HS chứng minh được IDM = IEN suy ra IN = IM

0.5 0.5 c

Kẻ AH vuông góc với BC Gọi O là giao điểm của AH và đường thẳng vông góc với

MN ở I

HS chứng minh được O là điểm cố định

0.5 0,5

Lưu ý:

- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.