max min so phuc thay Tung penCC4_SP_01_DA

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG... Tổng phần thực và ảo của z bằng bao nhiêu để số phức z có môđun nhỏ nhất?.

ĐÁP ÁN

10B 11C 12A 13C 14D 15D 16D 17A 18B 19A 20D 21D 22C 23C 24C 25A 26B

(Để xem lời giải được dễ hiểu hãy chắc rằng bạn đã xem đầy đủ video bài giảng

của bài học này !)

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn z   1 i z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất

min

z của z

A

min

1 4

z  B

min

10 10

z  C

min

5 5

z  D

min

1 3

z 

Giải

Cách 1: (Dùng hình học)

Gọi z   x yi ( ,x y  ) được biểu diễn bởi điểm M x y( ; )

Điều kiện bài toán tương đương:

x 1 (y1)i  x 2 yi (x1)2 (y1)2 (x2)2 y2 3x  y 1 0 ( ) (*)

Ta có z  x2 y2 MO với O(0;0)

Từ (*), suy ra M  : 3x  y 1 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng)

min min

2 2

( , )

10 10

Cách 2: (Dùng đại số)

Gọi z   a bi ( ,a b  ) Điều kiện bài toán tương đương:

a  1 (b 1)i  a 2 yi (a1)2  (b 1)2 (a2)2 b2   b 3a1 (*)

Suy ra:

2

(*)



Suy ra:

min

10 10

z  đáp án B

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn z  i z  2 i và w   Tìm giá trị nhỏ nhất z 1 2i

min

w

của môđun số phức w

A

min 2

w  B

min 3

w  C

min 1

w  D min 2

2

w 

Giải

Cách 1: (Dùng hình học)

Gọi z   x yi ( ,x y  ) được biểu diễn bởi điểm M x y( ; )

Điều kiện bài toán tương đương:

x(y1)i   x 2 (y1)i x2 (y1)2 (x2)2 (y1)2    x y 1 0 ( ) (*)

Ta có w   z 1 2i  x 1 (y2)i  (x1)2 (y2)2 MA với A (1; 2)

Từ (*), suy ra M  :x  y 1 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng)

1 ( 2) 1

 đáp án A

Cách 2: (Dùng đại số)

Gọi z   a bi ( ,a b  ) Điều kiện bài toán tương đương:

a (b 1)i    a 2 (b 1)i a2  (b 1)2 (a2)2  (b 1)2   b 1 a (*)

Suy ra: w   z 1 2i    a 1 (b 2)i

Suy ra:

min 2

z  đáp án A

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn 2z i 2z  3 2i Tổng phần thực và ảo của z bằng bao

nhiêu để số phức z có môđun nhỏ nhất ?

A 5

6 B

2

3 C

3

2 D

6

5.

Giải

Cách 1: (Dùng hình học)

Gọi z   x yi ( ,x y  ) được biểu diễn bởi điểm M x y( ; )

Điều kiện bài toán tương đương: 2x(2y1)i  2x 3 2(y1)i

4x2 (2y1)2 (2x3)2 4(y1)2 3x  y 3 0 ( ) (*)

Ta có z  x2 y2 MO với O(0;0)

Từ (*), suy ra M  : 3x  y 3 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng)

( , )

10

z OM OH d O  

Suy ra

min

3 10

Đường thẳng OM đi qua O(0;0) và vuông góc với : 3x   y 3 0 OM x: 3y0

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

9

10

x

x y

x y

y

 

đáp án D

Cách 2: (Dùng đại số)

Gọi z   a bi ( ,a b  ) Điều kiện bài toán tương đương:

2a(2b1)i  2a 3 2(b1)i 4a2 (2b1)2 (2a3)2 4(b1)2   b 3 3a (*) Khi đó:

2

(*)



Suy ra:

min

10

z   a  b   a b đáp án D

Câu 4 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i   z 3 i và w 2z  Tìm giá trị nhỏ nhất 1 i

min

w của w

A min 5

12

w  B min 5

3

w  C min 12

5

w  D min 3

5

w 

Giải

Cách 1: (Dùng hình học)

Gọi z   x yi ( ,x y  ) được biểu diễn bởi điểm M x y( ; )

Điều kiện bài toán tương đương: x 1 (y2)i  x 3 (y1)i

(x1)2 (y2)2 (x3)2 (y1)2 8x6y 5 0 ( ) (*)

;

A  



 

Từ (*), suy ra M  : 8x6y 5 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1

5

8 ( 6)

 

 

  

 

  đáp án C

Cách 2: (Dùng đại số)

Gọi z   a bi ( ,a b  ) Điều kiện bài toán tương đương:

a  1 (b 2)i a  3 (b 1)i (a1)2  (b 2)2 (a3)2  (b 1)2

8 5

6

a

Ta có: w  (2a 1) (2b1)i  (2a1)2 (2b1)2 (2)

Thay (1) vào (2), ta được:

2

2

10

(2 1)

a



Suy ra:

min

12 5

w  đáp án C

Chú ý : Có thể dùng Casio để tìm giá trị nhỏ nhất của f a( )100a2 92a73

Trong phần giải phương trình bậc 2 với tổ hợp phím Mod 5 3

(sau khi nhập các hệ số ta ấn “=” 4 lần)

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn z    1 i z 2 3i 5 và w   Gọi z i T là giá trị lớn

nhất của w Tìm T

A T  5 B T 2 5 C T 2 2 D 2

5

T 

Giải

Gọi z   được biểu diễn bởi điểm x yi M x y( ; )

Khi đó z    1 i z 2 3i  5 (x1)2 (y1)2  (x2)2 (y3)2 5 (*)

Gọi A(1; 1), ( 2;3) B  (*)MAMBAB M thuộc đoạn AB

Ta có phương trình đoạn thẳng AB: 4x 3y 1 0 (1) với x   2;1

 

Ta có: w   z i x (y1)i  x2 (y1)2 (2)

Cách 1: Gọi C(0;1)(2)w MC

Ta có T MCmax maxCA CB,  5;2 22 2

đáp án C

Cách 2: Thay (1) vào (2), ta được:

f x





Xét f x( )25x2 16x4 với x   2;1

  Ta có: f x'( )50x16; '( )f x    0 x 258

Ta có f  ( 2) 72; f(1)45; 8 36

f 



  f x( )max 72

max max

2 2

f x

C

M T

Câu 6. (Đề Tham Khảo – L3 – 2017) Xét các số phức z thỏa mãn z     2 i z 4 7i 6 2 Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i Tính PmM

A P  13 73 B 5 2 2 73

2

C P 5 2 73 D 5 2 73

2

Giải

Gọi z   được biểu diễn bởi điểm x yi T x y( ; )

Khi đó z    2 i z 4 7i 6 2  (x 2)2 (y1)2  (x4)2 (y7)2 6 2 (*)

Gọi A( 2;1), (4;7) B (*)TA TB AB  thuộc đoạn T AB

Ta có phương trình đoạn thẳng AB x:   y 3 0 với x   2;4

  (1)

Ta có: z  1 i (x1)2 (y1)2 (2)

Cách 1: Gọi C(1; 1) (2)   z 1 i TC

( , )

2 2

đáp án B

Cách 2: Thay (1) vào (2), ta được: z  1 i (x1)2 (x4)2  2x2 6x17  f x( )

Xét f x( )2x2 6x 17 với x   2;4

  Ta có: f x'( )4x6; '( )f x     0 x 23

Ta có f  ( 2) 13; f(4)73; 3 25

f 



 

min max

Câu 7 Cho số phức z thỏa mãn z 2 Gọi a b, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

2 3

z  i Tính T  a 2b

A T 2 13 B T 4 C T  3 2 13 D T  2 3 13.

Giải

Gọi M z , khi đó ( ) z  2 M thuộc đường tròn tâm (0; 0)O , bán kính R 2

Ta có z 2 3i MA trong đó (2; 3)A 

Theo Mô hình 3, suy ra: min

max

13 2

2 2 3 13

13 2

C m T

M

Câu 8 Trong các số phức z thỏa mãn (12 )i z  4 3i  5 Tìm giá trị nhỏ nhất của z

A 31 B 51 C 5 1 D 31

Giải

1 2

i

i



Khi đó: 5.z   2 i 5     z 2 i 1

 M thuộc đường tròn tâm ( 2; 1)I   , bán kính R 1

Theo Mô hình 3, suy ra: min

z MO OI R  đáp án B

Câu 9. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện (1i z)  1 7i  2 Tìm max z

A maxz 4 B maxz 3 C maxz 7 D maxz 6 Giải

1

i

i



Khi đó: 2.z 3 4i  2   z 3 4i  1

 M thuộc đường tròn tâm (3; 4)I , bán kính R  1

Theo Mô hình 3, suy ra: max

z MO OI R   đáp án D

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3

i z i

 

 

A maxz 1 B maxz 2 C maxz  2 D maxz 3 Giải

i

i

Gọi M z( ), khi đó (*)M thuộc đường tròn tâm (0; 1)I  và bán kính R 1

Suy ra: maxz OMmax OI R  1 1 2đáp án B

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z  4 Khi z 4 3i đạt giá trị lớn nhất, tính 11

5

z 

A 3 97

5 B 5 C

13

5 D

9 7

5 .

Giải

Suy ra M thuộc đường tròn tâm (0; 0)O , bán kính R 4

Ta có z 4 3i MA trong đó (4; 3)A  Suy ra phương trình OA: 3x4y  0

Xét hệ

1

1

2 2

2 2

16 12

;

;

M

M A

M



max

5 5

M M  



 

1

z    i  z    i  đáp án C

Câu 12 (Đề Tham Khảo – 2018) Xét các số phức z  a bi ( ,a b   ) thỏa mãn z 4 3i  5 Tính P  a b khi z 1 3i    đạt giá trị lớn nhất z 1 i

A P 10 B P 4 C P 6 D P 8

Giải

Gọi M z , khi đó ( ) z 4 3i  5 M thuộc đường tròn ( )C tâm (4;3) I , bán kính R  5

Ta có T   z 1 3i    z 1 i MAMB

với ( 1;3)

(1; 1)

A

B

 



 và (0;1)H là trung điểm của AB

Khi đó bài toán thuộc Mô hình 4, nên ta có:

Tmax 2MA với  M HI ( )C (như hình vẽ)

2

 

Suy ra: P     a b 6 4 10đáp án A

Câu 13 (Chuyên Vinh – Lần 3 – 2018) Cho các số phức ,w z thỏa mãn 3 5

5

5w(2i z)(  Giá trị lớn nhất của biểu thức 4) P   z 1 2i   z 5 2i bằng

A 4 13 B 42 13 C 2 53 D 6 7

Giải

Từ điều kiện 5w(2i z)( 4), ta có: 3 5

5

2

i

i



I

B A

Gọi M z , khi đó ( ) (*)M thuộc đường tròn tâm (3; 2)I  , bán kính R 3

Ta có P   z 1 2i   z 5 2i MAMB

với (1;2)

(5;2)

A

B





 và (3;2)H là trung điểm của AB

Khi đó bài toán thuộc Mô hình 4, nên ta có:

Trong đó MH MI IH RIH   3 4 7 và AH 2

Suy ra: Pmax 2 72 22 2 53 đáp án C

Câu 14 (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 2 – năm 2018) Cho số phức z và w thỏa

mãn z   w 3 4i và zw  Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T9  z  w

A maxT  176 B maxT 14 C maxT 4 D maxT  106

Giải

(2*)

( )

z w i

z w

  

 



  

trong đó (3; 4)A

Từ (*), suy ra: OMAN là hình bình hành

Khi đó 3

;2 2

I 



  vừa là trung điểm của OA vừa là trung điểm của MN (3*)

Từ (2*) và (3*), suy ra:

M N thuộc đường tròn tâm , 3;2

2

I 



  đường kính MN và bán kính

9

MN

4

OI

 



Dấu “=” xảy ra khi OM ON hay OI MN Vậy maxT  106 đáp án D

Câu 15 (Chuyên Vinh – Lần 1 – 2018) Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn

iz    và i z1z2  Giá trị lớn nhất của 2 z1  z2 bằng

A 3 B 2 3 C 3 2 D 4

Giải

i



2

( )

( )

M z

N z





 , khi đó (*)M N, thuộc đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính R 1 (2*)

I

B A

Ta có: z1z2  2 MN  2 2R (3*)

Từ (2*) và (3*), suy ra: M N thuộc đường tròn tâm , I 1; 2 đường kính MN 2

4

OI

 



Dấu “=” xảy ra khi OM ON hay OI MN Vậy maxz1  z24 đáp án D

Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

lần lượt là

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3.

Giải

Gọi M z , khi đó ( ) z   4 z 4 10MF1 MF2 10 trong đó F1(4;0), ( 4;0)F 2

Suy ra M thuộc Elip có : 2 10 5 2 2

a a



Theo mô hình 6, suy ra: max

min



Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn z    2 z 2 6 Tổng trị lớn nhất và nhỏ nhất của z là

A 3 5 B 5 C 2 5 D 8

Giải

Gọi M z , khi đó ( ) z    2 z 2 6 MF1 MF2  trong đó 6 F1( 2;0), (2;0) F2

Suy ra M thuộc Elip có : 2 6 3 2 2

a a



Theo mô hình 6, suy ra: max max

max min min

min

3

5

Câu 18 Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  5 và biểu thức

2

M  z   đạt giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức z i z i

A z i 41 B z i 61 C z i 2 41 D z i 4 5

Giải

Gọi M z( ) với z   ( ,x yi x y   )

Khi đó: z 3 4i  5 M thuộc đường tròn ( )C có tâm I(3;4) và bán kính R  5

y

y

3

5

B

A O

Ta có T  x 2 yi2  x (y1)i2 (x2)2 y2 x2 (y1)24x 2y3

: 4x 2y 3 T 0

Để tồn tại điểm M hay tồn tại z thì đường tròn ( )C và đường thẳng  phải có điểm chung

2 2

T

Suy ra Tmax 33 khi

5

x

y



đáp án B

Câu 19 Cho số phức z z1, 2 lần lượt thỏa mãn z1 1 2i  và 1 z2  2 6i  10 Gọi ,a b lần

lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của T  z1 z2 Tính giá trị của a2b

A 16 10 B 10 C 14 10 D 22 10

Giải

Gọi M z( )1 , khi đó z1 1 2i  1 M ( )C1

với ( )C1 là đường tròn tâm I1(1; 2) và R 1 1

Gọi N z( )2 , khi đó z2  2 6i  10 N ( )C2

với ( )C2 là đường tròn tâm I  2( 2; 6) và R 2 10

Do I I1 2   5 1 10 R1 R2 nên ( )C1 và ( )C2 ngoài nhau (hình vẽ)

Ta có: T  z1z2 MN

Ta luôn có I I1 2 R1R2 MN I I1 2 R1R2  4 10 MN  6 10

6 10

a

b

  

  

Câu 20 (Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 3 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  5 Phép tịnh tiến theo vectơ v  (1;2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số

phức z' Tìm P maxzz'

A P 15 B P 12 C P 20 5 D P 10 5

Giải

Gọi M z , khi đó ( ) z 1 2i  5 M ( )C , với ( )C là đường tròn tâm (1; 2) I  và R 5

Ta có ( ) ( ') ( ')

v

T M N z  C trong đó ( ')C có tâm I ', bán kính R'R5 là ảnh của ( )C qua

N

M

phép tịnh tiến '

'

v





Ta có: T  z1z2 MN II' R R' 5 10

Suy ra: P maxzz' MNmax 10 5 đáp án D

Câu 21 (Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018) Cho các số phức z w, thỏa mãn z 5 3i  ; 3

iw  i  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  3iz2w

A 554 5 B 57813 C 578 5 D. 55413

Giải

Ta có z 5 3i  3 3 i z 5 3i  3 3i  3iz  9 15i  9 (*)

Gọi M iz (3 ) (*)M thuộc đường tròn tâm I1(9;15), bán kính R 1 9

Ta có iw  4 2i  2 2 i iw 4 2i  2 2i  2w 4 8i  4 (2*)

Gọi N( 2 ) w  N thuộc đường tròn tâm (2*) I2(4; 8) , bán kính R 2 4

Khi đó T  3iz2w T  3iz ( 2 )w MN I I1 2 R1R2  55413

Suy ra Tmax  554 13đáp án D

Câu 22 (NTT) Giả sử z z1, 2 là hai số phức thỏa mãn z1 2 3i  và 1 z2  2 5i  và số 2

phức z thỏa mãn z     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 i z 1 i T  z z1  z z2

A 4 5 B 2 5 C 4 53 D 2 51

Giải

Gọi M z( )1 , khi đó z1 2 3i  1 M ( )C1

với ( )C1 là đường tròn tâm I1(2;3) và R 1 1

Gọi N z( )2 , khi đó z2  2 5i  1 N ( )C2

với ( )C là đường tròn tâm 2 I  2( 2; 5) và R 2 2

Gọi ( )A z và z   , khi đó: x yi

z     3 i z 1 i (x3)2 (y1)2 (x1)2(y1)2     x y 2 0

Suy ra A :x   y 2 0

Ta có: T AM AN (AM MI1) ( AN NI2) 3 AI1AI2 3 I I1 2  3 4 5 3

Dấu " xảy ra khi "  A I I1 2   Vậy Tmin 4 53 đáp án C

Chú ý : Ở bài toán này do I I1, 2 khác phía so với  nên dấu "" xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía

I 2

I 1

N M

A

Câu 23 (Chuyên Lào Cai) Xét số phức zvà z có điểm biểu diễn lần lượt là M và M' Số phức

(4 3 )

w  i z và w có điểm biểu diễn lần lượt là N và N' Biết rằng MNN M' ' là hình chữ

nhật và M N cùng phía so với trục Ox, Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4i5

A 1

2 B

2

5 C

1

2 D

4

13 .

Giải

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z   với x yi x y  , và x2 y2 0

Vì M M, ' và N N, ' đều là các cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành Ox

Do đó để MNN M' ' là hình chữ nhật thì MN //Ox

   cùng phương với i  (1;0)3x3y    0 y x

Khi đó z  x xi  z 4i 5 (x5) ( x4)i  (x5)2 (x4)2  2x2 18x41

2

2

x



1

2

    đáp án C.

Câu 24 (Toán Học & Tuổi Trẻ - Lần 8) Xét số phức z thỏa mãn 2z 1 3z i 2 2 Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A 3

2

2  z  B z 2 C 1 3

2  z  2 D 1

2

Giải

Gọi M z , khi đó: ( ) 2z 1 3z i 2MA3MB với (1;0)

(0;1)

A B





Khi đó, điều kiện bài toán trở thành: 2MA3MB 2 22AB (1)

Mặt khác, ta luôn có: 2MA3MB 2(MAM B)M B 2A BMB (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

2ABMB2MA3MB2AB 2ABMB2AB MB 0 MB0

1 3

2 2

 đáp án C

Chú ý : Các bạn có thể tham khảo thêm cách dùng thuần bất đằng thức ở Bài giảng số 2

Câu 25 (Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức T   z 1 2z1

A maxT 2 5 B maxT 2 10 C maxT 3 5 D maxT 3 2

'

M

'

N

N M

y