PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I1; 2;−4 và diện tích của mặt cầu đó bằng 36π... Xác định tọa độ tâm I của mặt cầuS... Trong không gian với h

Phương pháp tọa độ trong không gian

0.1 Hệ tọa độ trong không gian

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCE với A(3; 1; 2), B(1; 0; 1),C(2; 3; 0) Tọa độ đỉnh E là

 C C(0;−9; 0) D C(0; 9; 0).

Hướng dẫn giải

Do G(1; 4; 2)là tọa độ trọng tâm tam giác ABC, ta có

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2;−1; 0), C(3; 1; 2).Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A G(2; 1; 2) B G(6; 3; 6) C G

3;3

2; 3

 D G(2;−1; 2)



⇒G(2; 1; 2)

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1), B(2;−1; 3) Điểm M(a; b; c)

là điểm thuộc mặt phẳng(Oxy)sao cho MA2−2MB2lớn nhất Tính P= a+b+c

hay I(2; 0; 1).

Câu 18. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(−1; 2; 0), B(3; 1; 0), C(0; 2; 1) và D(1; 2; 2) Trong

đó có ba điểm thẳng hàng là

Câu 19. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; 0; 2), B(2; 1;−3)và C(1;−1; 0) Tìm tọa độ điểm

Dsao cho ABCD là hình bình hành

 Vậy I(2; 1; 3)

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 7), B(5; 5; 1) và mặt phẳng

35 Biết M có hoành độnguyên, ta có OM bằng

3 ;

20

3 ;

203

Vậy C(2; 0; 2)

Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho #»a = (2; 1; 3), #»

b = (4;−3; 5) và #»c = (−2; 4; 6) Tọa độ củavectơ #»u = #»a +2#»b −#»c là

Câu 27. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4;−2; 1) và véc-tơ #»v = (1; 1;−2) Tìm tọa độ điểm A0

là ảnh của A qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox vàphép tịnh tiến theo #»v

Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»a = (−3; 4; 0), #»

b = (5; 0; 12) Tínhcô-sin góc giữa hai véc-tơ #»a và #»

#»

b

= −3·5+4·0+0·12q

(−3)2+42+02·√52+02+122

= − 3

13.

Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;−2;−1), B(1; 4; 3) Độ dài đoạn thẳng AB là

√14

2 .

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu đi qua gốc O có dạng x2+y2+z2+2ax+2by+2cz =0 (∗)

Do mặt cầu đi qua các điểm A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0;−3; 0)nên thay lần lượt tọa độ các điểm vàophương trình(∗)ta có hệ

c = −1

b = 32

Suy ra bán kính mặt cầu là R=√

a2+b2+c2 =

√14

2 .

Câu 34. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;−4)

và diện tích của mặt cầu đó bằng 36π.

A (x+1)2+ (y+2)2+ (z−4)2 =9 B (x−1)2+ (y−2)2+ (z−4)2 =9

C (x−1)2+ (y−2)2+ (z+4)2 =3 D (x−1)2+ (y−2)2+ (z+4)2 =9

Hướng dẫn giải

Ta có diện tích của mặt cầu là S=36π ⇔4πR2 =36π ⇔R =3

Vậy phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;−4)bán kính R=3 là

C (x−1)2+ (y−3)2+ (z+3)2 =√

45 D (x+1)2+ (y−3)2+ (z−3)2 =45

Hướng dẫn giải

Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I(−1; 3; 3)của AB và bán kính R= I A=3√5

Phương trình của mặt cầu cần tìm là

(x+1)2+ (y−3)2+ (z−3)2 =45

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu(S): (x+3)2+ (y+1)2+ (z−1)2 = 2 Xác định tọa

độ tâm I của mặt cầu(S)

A I(−3; 1;−1) B I(3; 1;−1) C I(−3;−1; 1) D I(3;−1; 1)

Hướng dẫn giải

Mặt cầu(x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2 =R2có tâm I(a; b; c)

Do đó mặt cầu đã cho có tâm I(−3;−1; 1)

Do I là hình chiếu của M(1;−2; 3)trên Ox nên I(1; 0; 0)

Vậy mặt cầu tâm I bán kính I M =p(1−1)2+ (−2−0)2+ (3−0)2 =√

13 có phương trình là(x−1)2+y2+z2 =13

Suy ra A1−√3; 0; 0và B1+√

3; 0; 0.Bán kính mặt cầu I A=

2 .Vậy phương trình mặt cầu là x2+y2+ (z−1)2 =6

q(5−a)2+b2+c2 ⇔3a−b−4c =2.

q(2−a)2+ (1−b)2+ (4−c)2 =

q(1−a)2+ (b+3)2+ (1−c)2 ⇔ a+4b+3c =5

• d(I,(Oyz)) = I N⇔ |a| =

q(5−a)2+b2+c2 ⇔ −10a+b2+c2 = −25

Khi đó ta được hệ phương trình

Phương trình x2+z2+3x−2y+4z−1 = 0 và x2+y2+z2+2xy−4y+4z−1 = 0 không thể làphương trình của một mặt cầu vì nó không đưa được về dạng như trên

Phương trình x2+y2+z2−2x+2y−4z+8=0 có dạng như trên nhưng lại có a2+b2+c2−d =

−3<0 nên cũng không thể là phương trình của một mặt cầu

Phương trình x2+y2+z2−2x+4z−1=0 có a2+b2+c2−d =6 >0 nên nó là phương trình củamột mặt cầu

Câu 44. Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC=1 Trên hai tia Ox, Oy lần lượtlấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB=OC Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoạitiếp tứ diện O.ABC?

= 12

q

a2+ (1−a)2+1= 1

2

p2a2−2a+2

Lại có

a2−a+1=



a−12

2

+3

34

⇒ pa2−a+1≥

√3

√2

2 ·

√3

√6

4 .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a =b = 1

2.Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là

√6

2.Vậy M



0;3

2; 0



Chọn I(x; y; z)sao cho 4# »

.Khi đó, # »

Gọi P là chu vi của tam giác ABM thì P= AB+AM+BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM+BMnhỏ nhất

Ta có

q(2+k)2+ (1−4k)2+ (k−7)2+

q(4+k)2+ (4−4k)2+ (3+k)2

2

+73

r99

r73

2 .

Suy ra AM+BMnhỏ nhất khi k= 1

2.Nên M 3

2; 0;−

12

 Vậy a+b+c =1

0.2 Phương trình mặt phẳng

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ #»a = (m; 1; 0),#»

b = (2; m−1; 1), #»c = (1; m+1; 1).Tìm m để ba vectơ #»a ,#»

b , #»c đồng phẳng

√5

h# »AB;# »

ACi =

√11

√10

√15

2|(−1; 2;−1)| =

√6

2 .

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P): 2x−4y+6z−1=0 Mặt phẳng(P)có một véc-tơ pháp tuyến là

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(P)có phương trình 2x+3y−4z+7 =

0 Tìm tọa độ véc-tơ pháp tuyến của(P)

A #»n = (−2; 3;−4) B #»n = (−2;−3;−4) C #»n = (2; 3;−4) D #»n = (2;−3;−4)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng(P): 2x+3y−4z+7=0 sẽ có một véc-tơ pháp tuyến #»n = (2; 3;−4)

Câu 54. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−1; 2) và mặt phẳng (P): 2x−

y+z+1 = 0 Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với (P) Phương trình mặt phẳng (Q)là

Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;−1), B(2; 1; 0)mặt phẳng(P): 2x+

y−3z+1=0 Gọi(Q)là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với(P) Phương trình mặt phẳng(Q)là

Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa điểm H(1; 2; 2) và cắt Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC Phương trình mặt phẳng(P)là

C 2x+y+z−2 =0 D x+2y+2z−9=0.

Hướng dẫn giải

Ta có BC ⊥OA(do BC ⊂ (Oyz)và A ∈Ox), BC⊥ AH (do H là trực tâm tam giác ABC)

⇒BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥OH, chứng minh tương tự ta cũng có AC⊥OH ⇒OH ⊥ (ABC)

Do vậy(P)qua điểm H(1; 2; 2)và nhận # »

OH = (1; 2; 2)làm véc-tơ pháp tuyến Ta được(P): (x−1) +2(y−2) +2(z−2) =0 ⇒x+2y+2z−9=0

Câu 59. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm G(1; 2; 3) Gọi(P): px+qy+rz+1=0(p, q, r∈ R)

là mặt phẳng qua G và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.Tính T = p+q+r

18

Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0;−1; 0), C(0; 0;−3) Viếtphương trình mặt phẳng(ABC).

Tam giác ABC đều, chứng minh được OA = OB = OC = a > 0 Do A, B, C lần lượt thuộc tia

Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a) Theo phương trình mặt phẳng chắn, phương trình(P)

 Mặt phẳng trung trực (α) của đoạn thẳng AB chứađiểm I và nhận # »

BA= (2; 1;−6)là véc-tơ pháp tuyến có phương trình là2(x−0) +1



y−52

AB= (1; 1;−1)là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB là

Gọi(Q)là mặt phẳng cần tìm, một véc-tơ pháp tuyến của(Q)là #»nQ = (1; 1;−1)

Vậy phương trình mặt phẳng(Q)là 1· (x−0) +1· (y−1) −1· (z−0) =0⇔ x+y−z−1=0

Câu 71. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0;−1; 0), C(0; 0; 2) Phương trình mặtphẳng(ABC)là

2; 0



0;−9

2; 0



0; 9

4; 0



Hướng dẫn giải

Ta có trung điểm I của AB có tọa độ là I

1; 0;−12



=0⇔4x+2y−z−9

2 =0.

Khi đó M là giao điểm của Oy và mặt trung trực AB, do vậy tọa độ M cần tìm là M

0; 9

4; 0



Ta có G là trọng tâm tam giác ABC⇒G(2; 3; 1)

Giả sử M(a; 0; c) ∈ (Oxz) Gọi H là hình chiếu của G trên mp(Oxz) ⇒ H(2; 0; 1)

Ta có GM≥GH =d(G;(Oxz)) =3 và GM =GH ⇔ M ≡H, khi đó M(2; 0; 1)

Vây độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng 3

Câu 76. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P): x+y+

z−6=0 và cách đều các điểm A(1; 6; 0), B(−2; 2;−1), C(5;−1; 3) Tổng a+b+cbằng

Câu 77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(P): x−3y+1 =0 Mặt phẳng(P)

đi qua điểm nào sau đây?

Điểm(−1; 0; 0)thỏa mãn phương trình của(P)nên điểm này thuộc(P)

Vậy(P)đi qua (−1; 0; 0)

Câu 80. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H(2; 1; 2), điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa

độ O xuống mặt phẳng(P), số đo góc giữa mặt phẳng(P)và mặt phẳng(Q): x+y−11=0 là

#»

n( P )· #»n

( Q )

h# »AC;# »

ABi =2√2⇔ (7−3t)2+ (1+3t)2+ (3−3t)2 =32⇔t=1

Alà trung điểm của MN Một véc-tơ chỉ phương của∆ là

Suy ra tọa độ hình chiếu của A lên∆ là(3;−1; 2).

√10

√2

Hướng dẫn giải

2 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

Hướng dẫn giải

Mặt cầu(S)có tâm I(1; 2;−1)

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với(P)

Suy ra đường thẳng d nhận véc-tơ pháp tuyến # »nP = (1; 1; 2)làm véc-tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d là d :

Theo giả thiết A=d∩ (P)nên ta có 1+t+2+t−2+4t+5=0⇔t= −1⇒ A(0; 1;−3)

Gọi d1là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với(Q)

Suy ra đường thẳng d nhận véc-tơ pháp tuyến # »nQ = (2;−1; 1)làm véc-tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d1là d1:

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương là #»u = (3;−2; 1)

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d nhận #»u làm véc-tơ pháp tuyến

Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp

tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng(ABC)đi qua D(1; 1; 2) Tổng T =x02+y20+z20bằng

⇔ (S2): x2+y2+z2−2(a+1)x−2(2a+1)y−2(2−3a)z+9=0

Mặt khác theo giả thiết A, B, C cùng thuộc mặt cầu(S1)

Suy ra tọa độ A, B, C thỏa mãn hệ







x2+y2+z2−9=0

x2+y2+z2−2(a+1)x−2(2a+1)y−2(2−3a)z+9 =0

Do đó phương trình mặt phẳng(ABC)là 2(a+1)x+2(2a+1)y+2(2−3a)z−18=0

D ∈ (ABC) ⇔ 2(a+1) +2(2a+1) +4(2−3a) −18=0⇔ a= −1

Với a= −1, ta có M(0;−1; 5) Khi đó T =x20+y20+z20 =26

Chọn đáp án B 

Câu 135. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A0; 4√2; 0, B0; 0; 4√2, điểm C ∈ (Oxy) vàtam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H Khi đó điểm H luônthuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

Với OH ⊥ AB suy ra H thuộc mặt phẳng(P) với (P) là mặt

phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng AB Phương

trình của(P)là y−z =0

B

A I

C O

Do đó điểm H luôn thuộc đường tròn(T)cố định là giao tuyến của mặt phẳng(P)với mặt cầu(S).Giả sử(T)có tâm K và bán kính r thì IK =d(I,(P)) =2 và r =√

biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất khi m=m0 Hỏi m0thuộc khoảng nào dưới đây?

Mặt cầu(S)có tâm I(1; 1; 2)và bán kính bằng 3

Đường thẳng d không đi qua tâm I, d đi qua điểm N(1;−1; m)và có

Suy ra d(I, d) =

√

√2m2+12

√

√2

Gọi d là đường thẳng đi qua I ∈ d1và d k d2

Lấy A∈ d, A6= Ivà gọi H, K lần lượt là hình chiếu

2+60t+365t2+8t+5 , f

0(t) = −100t

2−110t+12(5t2+8t+5)2 , f0(t) = 0⇔







t = −65

659

5

Ta đươc 0≤cos α ≤

√65

Từ(2)và(3), ta thấy khi góc giữa(P)và(Q)nhỏ nhất khi và chỉ khi cos α=

√65

110

Gọi A là giao điểm của(∆)với(P).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M ∈ (∆) lên

(P)

Gọi(d)là đường thẳng thuộc(P)và vuông góc với

(∆)tại A

Gọi(∆0)là thuộc(P)và đi qua A

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên(∆0)

AK

(∆)

(∆0)(d)

Câu 141. Trong không gian Oxyz, cho #»a = (1;−1; 0)và hai điểm A(−4; 7; 3), B(4; 4; 5) Giả sử M, N

là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng(Oxy)sao cho # »

MN cùng hướng với #»a và MN =5√2 Giá trịlớn nhất của|AM−BN|bằng

A #»u = (6; 3;−5) B #»u = (6;−3; 5) C #»u = (6; 3; 5) D #»u = (6;−3;−5)

Hướng dẫn giải

Gọi mặt phẳng(Q)là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng

(P) Khi đó phương trình mặt phẳng(Q)là x+2y−3=0

Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng(Q), khi đó đường thẳng

BHđi qua B(−1; 0; 2)và nhận #»n(Q) = (1; 2; 0)làm véc-tơ chỉ phương có

Phương trình tham số của đường thẳng∆ đi qua G và vuông góc với(P)là

A #»n = (1; 0; 2) B #»n = (1; 0;−2) C #»n = (1; 1; 1) D #»n = (1; 1;−1)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương là #»u = (−2; 1; 1).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Khi đó, H(−1−2t; t; 1+t)với t∈ R.

Ta có # »

AH = (−2−2t; t−2; t−2)và

# »

AH ⊥ #»u ⇔ −2(−2−2t) +t−2+t−2=0⇔t=0⇒ H(−1; 0; 1).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên(P)

Ta có AK≤ AHvà đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi K ≡ H

Do đó, khoảng cách từ A đến(P)lớn nhất khi AH ⊥ (P)

Suy ra # »

AH = (−2;−2;−2)là một véc-tơ pháp tuyến của(P)

Vậy #»n = (1; 1; 1)là một véc-tơ pháp tuyến của(P)

Câu 145. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2;−3), B(−2;−2; 1)và mặt phẳng(α): 2x+2y−z+9=0 Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng(α)sao cho M luôn nhìn đoạn ABdưới một góc vuông Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(P)có phương trình 2x+3y−4z+7 =

0 Tìm tọa độ véc-tơ pháp tuyến của(P)

A #»n = (−2;... véc-tơ pháp tuyến #»n = (2; 3;−4)

Câu 54. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−1; 2) mặt phẳng (P): 2x−

y+z+1 = Mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với (P) Phương. ..

1

2.Với m=

0.3 Phương trình đường thẳng khơng gian< /b>

Câu 98. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d : x−1