PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1 ĐH-A-2009 Giải hệ phương trình:
2 2
log ( ) 1 log ( )
3x y xy 81
+ −
HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2
4
xy
>
+ =
+ − =
0
4
xy
>
⇔ =
+ − =
2 *CĐ-2009 Cho 0<a<b<1 Chứng minh BĐT:
2ln 2ln ln ln
a b b− a> a− b
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
(1+a ) lnb>ln (1a +b ) ln 2 ln 2
⇔ <
Xét hàm số ( ) ln 2
1
x
f x
x
= + với 0<x<1
2
2 2
1 (1 2ln )
1
f x
+ vì lnx<0 và 0<x<1 Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1)
Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b) Bài toán được chứng minh
3 ĐH-A-2008 Giải phương trình:
log x− (2x + − +x 1) log (2x+ x−1) =4
HD: Với điều kiện 1
2
x> , PT tương đương:
log x− (2x−1)(x+ +1) 2 log (2x+ x− =1) 4
log x− (x 1) 2 log (2x+ x 1) 3
Đặt t =log2x−1(x+1) ta được:
2
3
t
t
2
t t
=
⇔ =
Với t=1 ta có:
2 1
log x− (x+ = ⇔ + =1) 1 x 1 2x− ⇔ =1 x 2
thỏa ĐK 1
2
x>
Với t=2 ta có:
2
2 1
log x− (x+ = ⇔ + =1) 2 x 1 (2x−1)
2
0 5 4
x x
=
⇔
=
Do ĐK ta chỉ nhận 5
4
x= ĐS: x=2, 5
4
x=
4 ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2 0,7 6
4
x
+ <
HD:
2
6
4
4
4
x x
x
2 2
0 4
4
6 4
x x
x
+ >
+
+
2
6 4
x x x
+
+
4 x 3 x 8
⇔ − < < − ∨ >
5 ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2 1 2
3 2
0
x
− + ≥ log
HD:
2 1 2
3 2
0
x
− + ≥ log
2
2
3 2
0
3 2
1
x
x
− + >
2
4 2
0
x
< < ∨ >
2
4 2
0
x
< < ∨ >
< < ∨ >
⇔ < ∨ − ≤ ≤ +
⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6 ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3
2log (4x− +3) log (2x+ ≤3) 2 HD: BPT tương đương
2
3 4 log (4 3) log (2 3) 2
x
>
2 3
3 4 (4 3)
2 3
x x x
>
2
3 4 (4 3)
9
2 3
x x x
>
2
3 4
8 21 9 0
x
>
⇔
3 4 3
3 8
x x
>
⇔
− ≤ ≤
3
3
4 x
⇔ < ≤
7 *ĐH-B-07 Giải phương trình:
Trang 2( 2 1− ) (x + 2 1+ )x−2 2 0=
HD: Đặt t=( 2 1+ )xta được PT:
1
2 2
t
t
+ = ⇔ −t2 2 2 1 0t+ =
⇔ = − ∨ = + ⇔ = − ∨ =x 1 x 1
8 *ĐH-D-07 Giải phương trình:
1
4.2 3
x
− HD: Đặt t=2 x , t>0 ta được:
2
1
4 3
t
− 2
4
3
t
>
⇔
+ + = −
4 3
11 30 0
t
>
⇔
+ + =
Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô
nghiệm x
9 *Tham khảo 2007 Giải BPT:
log 8 logx + x log 2x≥0
HD: ĐK: x>0, x≠1
3log 2 log log
2 2
2
6
2t 1 t (t log )x
t
t t
⇔ − + = ⇔ = ∨ = −t 3 t 2 8 1
4
⇔ = ∨ =
10 *Tham khảo 2007 Giải PT:
2 1
log x 4 2
+
HD: ĐK: x>1
2 1
2 x− + 2log x+ 2 = +2 2 x+
log (x 1) log (2x 1) 1 log (x 2)
log (x 1)(2x 1) log 2(x 2)
2
2x 3x 5 0
2
⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm 5
2
x=
11 Tham khảo 2007 Giải PT:
2
log (x−1) +log (2x− =1) 2
HD: ĐK x>1
Đưa về 2log (3 x− +1) 2log (23 x− =1) 2
3
log (x 1)(2x 1) 1
⇔ − − = ⇔ −(x 1)(2x− =1) 3
2
2x 3x 2 0
2
⇔ = ∨ = −
Do ĐK chỉ nhận x=2
12 *Tham khảo 2007 Giải PT:
3
4
1 log
x
x
x
−
HD: ĐK x>0, x≠1
9
x
−
3
1
x
−
3
1 ( log )
t
−
(2 t)(1 t) 4(2 t) (2 t)(1 t)
t t
Do ĐK chỉ nhận 1 17
2
13 Tham khảo 2007 Giải BPT:
2
1 1 log 2
1 1 3 2
2 2
2
HD: ĐK 1
1 2
x< ∨ >x
1log ( 1)(2 1) 1log 1 1
2
1
( 1)(2 1)
x
−
( )2
1
2
x
−
2
0
( 1)( 3 1)
0 ( 1)(2 1)
− − +
3 1
0
2 1
x x
− +
−
⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1 2
x
< ∨ >
≤ <
⇔ ≤ <
14 Tham khảo 2007 Giải BPT:
2 + 7.2 7.2− + − =2 0 HD: 2t3−7t2+ − =7t 2 0 (t=2 ,x t>0)
2 ( 1)(2t t 5t 2) 0
2
⇔ = ∨ = ∨ =
⇔ = ∨ = ∨ = −
15 *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8x+4.12x−18x−2.27x =0 HD: 3.23x+4.3 2x 2x−3 22x x −2.33x =0
Trang 3Chia 2 vế của PT cho 33x ta đươc:
+ − − =
Đặt 2
3
x
t
= ÷ , t>0 ta có:
3t +4t − − =t 2 0 1 2
3
⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận 2
3
t = ⇔ x=1
16 Tham khảo 2006 Giải PT
log 2 2log 4 logx + x = x8
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠1
2 PT tương đương với:
log x+log 2x = log 2x
log x 1 log x 1 log x
log x 1 log x
+ ⇔ +1 log2x=2log2x
2
2x x
17 ĐH-B-2006 Giải BPT
log 4 144 4log 2 1 log 2+ − < + − 1+
HD: Biến đổi BPT
x
x 2
4 144
log log 5.2 5
16
−
x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < + ⇔4 -20.2x x +64 0<
2
t -20.t 64 0(t=2x 0)
⇔ + < > ⇔ −(t 4)( 16) 0t− <
⇔ < < ⇔ < <2 x 4
18 Tham khảo 2006
3
2
2 log x+ −1 log (3− −x) log (x−1) =0
HD: ĐK 1<x<3 Biến đổi PT
log (x+ +1) log (3− −x) log (x− =1) 0
2
( 1)(3 )
1
x
−
( 1)(3 )
1 1
x
−
Do ĐK chỉ nhận 1 17
2
x= +
19 *Tham khảo 2006
9x + −x −10.3x + −x + =1 0
HD: 19 2 10.32 1 0
x +x− x +x+ = Đặt 2
3x x, 0
t= + t >
⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =
20 ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có
nghiệm duy nhất
y x a
HD: Biến đổi
y x a
+
Xét hàm số ( ) x a x ln(1 ) ln(1 ), 1
f x =e + − −e + + +x a +x x> −
(1 )(1 )
f x e e
+ + + (vì a>0 và x>−1)
1
lim ( ) , lim ( )
x
t
→+∞ = +∞ →−+ = −∞ , f(x) liên tục trên ( 1;− +∞) Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x0 trên ( 1;− +∞)
Do ( ) 0,f x′ > ∀ > −x 1 nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm
Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x0 và HPT
có nghiệm duy nhất.(x=x0;y=x0+a)
21 ĐH-D-2006 Giải PT
2x +x −4.2x x− −2 x + =4 0 HD: Đặt
2
2
2 2
x x
x x
u v
+
−
=
=
Suy ra u v =22x (u>0,v>0) Phương trình thành:
u 4v uv 4 0− − + = ⇔u(1-v)+4(1-v)=0 (u+4)(1-v)=0
⇔ ⇔v=1⇔x2− =x 0
⇔ = ∨ =
22 Tham khảo 2006 Giải PT
log 3 −1 log 3 + − =3 6 HD: Đưa về:
log 3 −1 log 3(3 −1) = 6
log 3 1 1+log 3 1 6
3 (1 ) 6 log 3 1
t t
⇔ + − = ⇔ = ∨ = −t 2 t 3
log 3x 1 2 log 3x 1 3
Trang 43 1 9 3 1
27
27
28 log 10 log
27
23 ***Tham khảo 2006 Giải HPT
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
HD:
Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
t
f t
−
Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0
PT thành f(x)=f(y)
Xét x2−12xy+20y2=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0
Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu
của hàm số trên các khoảng (−1;0 ,(0;) +∞)làm cho
PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
Hệ đã cho thành
1, 0
x y
> − ≠
= ∨ =
=
vô nghiệm
Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
24 Tham khảo 2006 Giải
1
2 log x 1 log x log 0
4
HD: Đưa về (log x 1 log x 2 02 + ) 2 − =
. Đặt t=log2x 2
t +t 2 0− = ⇔t=1 t= 2∨ −
1 x=2 x=
4
25 *ĐH-B-2005 Giải hệ
log ( x ) log y2 3
HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương
log ( x) log y
x log
y
3 1
x y
⇔
=
=
Xét x− +1 2− =x 1 (1≤1≤2) ta có
x− + − +1 2 x 2 x−1 2− =x 1
Nghiệm của hệ là 1 2
26 ***ĐH-D-2005 CMR
x x x
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
x
x
x
Suy ra 12 15 20 3 4 5
x x x
27 Tham khảo-2005 Giải
x x
÷
2 2
2
3
HD: Đặt t=3x2−2x,t>0 ta có t2−2t−3≤0 ⇔−1≤t≤3 BPT thành 3x2−2x ≤ ⇔3 x2−2x≤0⇔ ≤ ≤0 x 2
28 ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0 CMR
2 4+ + 2 4+ + 2 4+ ≥3 3 HD: Môt bài toán hay Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy
ra Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4x=1
3
2 4+ x = + +1 1 4x ≥3 4x 2 4 323
x x
Tương tự với y,z ta có:
x y z + +
≥3 3 23 3 =3 3 (vì x+y+z=0)
29 ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
4
1 1 25
+ =
Trang 5HD: log (y x) log
y
4
1 1 25
+ =
log (y x) log y
1 25
y log
y x
> >
−
+ =
4
0
1 25
y
y x
> >
+ =
0
4 25
x y
> >
+ =
0 4 3 25
x
y
x
> >
=
2
0
4
3
9
> > > >
x
y
=
3
4
30 Tham khảo-2004 Giải BPT
log log x x2 x
2 4
2 4
⇔
2 2
2 2
+ − >
⇔
+ − >
2 2
⇔ + 2 2− >2 ⇔ 2x2− > −x 2 x
x x
≤
2 2
x
x
≤
⇔ > ∨ < − ∨ >
2 2
4 1⇔(x< − ∨ <4) (1 x)
31 Tham khảo-2004 Giải BPT
log log
2.x x ≥2 x
log log
1log 3log
log 2. x x log 2 x
1 log log
32 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau
có nghiệm duy nhất
x
x + = +x x>
HD: x x+1= +(x 1)x ⇔lnx x+1=ln(x+1)x
(x 1) lnx xln x 1
(x 1) lnx xln(x 1) 0
Đặt ( ) (f x = +x 1) lnx x− ln(x+1)
( ) ln ln( 1)
1
x x
+ 2
1
( 1)
f x
x x
− − −
+ Suy ra f’(x) nghịch biến trên
R+ Mà: lim ( ) lim ln 1 1 0
x
f x
→+∞ →+∞
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R+ 0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0 Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 và x0 là nghiệm duy nhất
Trang 633 ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số
ln x y
y f (x)
ln x( ln x)
f (x)
x
−
f(1)=0; 2
2
4 ( )
f e
e
= ; 3
3
9 ( )
f e
e
= GTNN là f(1)=0; GTLN là f e( )2 42
e
=
34 ***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4 2
11 6
2 1
>
−
− +
−
x
x
x
HD: 2 1 2 3 0
2
x
− + − >
−
x<1 thì
1
2 0
x
−
+ − <
− <
suy ra x<1 thỏa BPT
x=1 không thỏa BPT
1<x<2 thì
1
2 0
x
−
+ − >
− <
suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
x>2 thì
1
2 0
x
−
+ − >
− >
suy ra x>2 thỏa BPT
Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35 ***Tham khảo 2004 Cho hàm số
2 sin
2
y e= − x+ Tìm GTNN của hàm số và
CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
2
y= f x = −e x+ ( )f x′ = −e x cosx x+
( ) x sin 1 0
f x′′ = +e x+ >
Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến
khi x<0
GTNN là f(0)=1
y= f x = − + −e x+ ≥ − +e
2
2
x x
x e
→+∞
− + = +∞
( )
lim
x f x
→+∞ = +∞
2
2
x x
x e
→−∞
− + = +∞
( )
lim
x f x
→−∞ = +∞
Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng
2 nghiệm phân biệt
36 *Tham khảo 2004 Giải BPT log x log 33 > x
HD: Đưa về 3
0, 1 log 1
t t
> ≠
=
>
3 2
0, 1 log 1 0
t t
> ≠
⇔ =
−
>
3
0, 1 log
> ≠
⇔ =
− < < ∨ >
0, 1
1 log 0 log 1
> ≠
⇔ − < < ∨ >
1
⇔ < < ∨ >
37 ***Tham khảo 2004 Giải HPT
−
=
−
+
=
+
−
x y y x
x y
2 2
2 2
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
Thay y=x vào PT thứ hai 22x−2x−1=0
2x x 1 x 1
⇔ = − ⇔ = − (y=−1)
Thay y=1−x vào PT thứ hai 2x−1+2x− =3 0 Hàm số f x( ) 2= x−1+2x−3đồng biến trên R và f(1)=0 nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0)
38 Tham khảo 2003 Giải BPT
15.2x+ + ≥ 1 2x− + 1 2x+
HD: Đặt t=2x ta được 30t+ ≥ − + 1 t 1 2t
t=1 thỏa BPT
t>1 ta được 30t+ ≥ − 1 3 1t
2
1
t
>
1
4 0
t
>
⇔ < ≤1 t 4
t<1 ta được 30t+ ≥ + 1 t 1
2
1
30
< −
− ≤ <
⇔ − ∨
Trang 71
1
t t
− ≤ <
−
⇔ ≤ < − ∨ − ≤
1
1
30
t t
t
− ≤ <
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ ≤
1
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta
có 0< ≤t 4⇔ <0 2x ≤ ⇔ ≤4 x 2
39 Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm
thuộc (0;1)
4
2 1
2
2 x − log x + m = log
2 1
2
2 x − log x + m = log
log x log x m 0
Với 0<x<1 thì 0< < ⇔x 1 log2x<0
PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m
thuộc miền giá trị của hàm số
2
f t = − −t t t<
Khảo sát hàm số cho kết quả 1
4
m≤
40 ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2x −x−2 + −x x =3 HD: 2 2 2
2x −x−2 + −x x =3
2
2
4
2
x x
x x
−
−
2
2
2
3 4 0
x x
t
−
=
⇔
− − =
2
2x −x 4
⇔ = ⇔x2− − =x 2 0
⇔ = − ∨ =
41 Tham khảo 2003 Giải PT
5 log 5 4− = −1 x HD: log 55( x− = −4) 1 x⇔ − =5x 4 51 −x
5 5 4
x t t
t
=
⇔ − =
2
5
4 5 0
x
t
=
⇔ − − =
5 5
x t t
=
⇔ =
⇔ =x 1
42 ĐH-A-2002 Cho PT
0 1 2 1 2 3
2
3 x + log x + − m − = log
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3]
HD:
log x+ log x+ − = 1 5 0
2 3 2
log 1
6 0
⇔ + − =
2 3 log 1 2
t
⇔
=
2 3 log x 3
⇔ = ⇔ log3x= ± 3
3 3
⇔ =
2)
3
1≤ ≤x 3 ⇔ ≤0 log x≤ 3
0 1 2 1 2 3
2
3 x + log x + − m − = log
2 3 2
log 1 1
2
⇔
PT ban đầu có nghiệm x thỏa 1≤ ≤x 3 3khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1≤ ≤t 2
Khảo sát hàm số ta được 0≤ ≤m 2
43 Tham khảo 2002 Giải PT
2
2 3 27
16log 3log x 0
x x− x = HD: Với ĐK 0, 1, 1
x> x≠ x≠
8log 3log
3 2log 1 log
Hoặc log3x= ⇔ =0 x 1
Hoặc
3 2log x =1 log x
1 log
2
x
3
x
⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )
≤
− +
<
−
−
−
1 1 3
1 2
1
0 3
1
3 2
2 2
3
x x
k x x
log log
HD: Xét BPT ta có 2 ( )3
Giải xong được − ≤ ≤1 x 2
Xét BPT x− − − <13 3x k 0
3
k > f x = −x − x
44 ĐH-B-2002 Giải BPT
log log 9x 72 1
Trang 8HD: log log 9( 3( x 72) ) 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
< < >
3
1
9 72 1 log 9 72
9 72 3
x x
x x
x
>
< <
1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x
< <
1
3x 8 3x 9 6 2 3x 9
x
< <
( )
3
log 6 2 x 2
45 Tham khảo 2002 Giải HPT
4 3 0 log log 0
− + =
HD:
4 3 0
log log 0
− + =
1, 1
4 3 log log
⇔ = −
1, 1
4 3
≥ ≥
⇔ = −
=
2
1, 1
4 3
4 3 0
≥ ≥
⇔ = −
− + =
⇔ ∨
46 Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm
2
9+ −x − +a 2 3+ −x +2a+ =1 0
HD:
2
+ − − + + − + + =
2
1
2
3
x
t
−
=
⇔
Với −1≤x≤1 ta có 1 3
3≤ ≤t
Ta tìm a để PT 9t2−3(a+2)t+2a+ =1 0 có nghiệm t
thỏa 1 3
3≤ ≤t
Biến đổi PT ( ) 9 2 6 1
t
− +
−
2 2
( )
f t
t
− +
′ =
1
3
f t′ = ⇔ = ∨ =t t
f’(t) + 0 − − 0 +
-∞ 4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
47 Tham khảo 2002 Giải PT
2
2
0, 1 log 3 log 1 log (4 )
> ≠
0, 1
4 log 1 log
3
x x
x
> ≠
0, 1 4 1 3
x x
x
> ≠
⇔ − =
< < >
< < >
< < >
48 ĐH-D-2002 Giải HPT
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x
y
+
+
HD:
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x
y
+
+
2 5 4 (2 2)2
2 2
x
x
y
⇔ +
=
2 5 4 2
x x
y
⇔
=
3 2
2
5 4 0
x
y
=
⇔ − + =
2
5 4 0
x
y
=
⇔ − + =
2
1 4
x
y
=
⇔ = ∨ =
⇔ ∨
49 Tham khảo 2002 Giải PT
3 2
log 2 3 5 3 log 2 3 5 3
x
y
HD:
Trang 9( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
> ≠ > ≠
2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0
> ≠ > ≠
2 2
2 2
0, 1, 0, 1
2( ) 3( ) 5( ) 0
4( ) 3( ) 5( ) 0
> ≠ > ≠
2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
x y x y
> ≠ > ≠
⇔ − + + =
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
2
2
x
y
=
⇔ =
50 Tham khảo 2002 Giải BPT
2
1 2
HD: log ( ) log ( 2 1 2)
2
1 2
1 4x +4 ≥ 2 x + −32
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
x
+
+
− >
⇔
x
⇔ ≥ ⇔ ≥x 2
